Gruppenverknüpfung *n

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13.04.2009, 13:03	babelon	Auf diesen Beitrag antworten »
*Gruppenverknüpfung n** Hallo, ich sitze gerade an meinem ersten Algebra-Zettel in diesem Semester. Die allererste Aufgabe benutzt eine Verknüpfung, die mir nicht bekannt ist. Ich habe in der Vorlesung und im geTEXten Skript des Professors danach gesucht und habe dort auch nichts gefunden. Ich gehe davon aus, dass der Professor die Verknüpfung bereits in seiner Linearen Algebra Vorlesung eingeführt haben muss. Die ist mir aber nicht bekannt. Ich hoffe, dass ihr mir weiter helfen könnt, indem es sich vielleicht aus dem Zusammenhang erschließt. Daher hier die komplette Aufgabenstelung: $\begin{eqnarray} \text{Sei n} \in \mathbb{N} \text{, n} \geq 2 \text{ und sei } U_n:=\{ k \in \mathbb{Z} \text{ \| } 1 \leq k \leq n \text{ und ggT}(k,n)=1 \}.<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Zeigen Sie explizit, dass }(U_n, \cdot_n) \text{ eine Gruppe ist.} \end{eqnarray}$ Dann warte ich jetzt mal darauf, was ihr mir sagen könnt. Gruß babelon
13.04.2009, 13:34	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen Hallo, das ist klar wie dicke Tinte. Damit kann nur die Einheitengruppe $\begin{eqnarray} ((\mathbb Z/n \mathbb Z)^{\times},\cdot) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} (\mathbb Z/n \mathbb Z),+,\cdot)) \end{eqnarray}$ gemeint sein. Zu deutsch: Rechne $\begin{eqnarray} a\cdot_n b:=a\cdot b (mod n) \end{eqnarray}$
13.04.2009, 13:37	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
latex Entschuldigung. Kann mir mal bitte jemand sagen, wie man in latex einen Zwischenraum setzt ? $\begin{eqnarray} (mod n) \end{eqnarray}$ sieht ja nun wirklich doof aus.
13.04.2009, 13:47	babelon	Auf diesen Beitrag antworten »
mod \, n
13.04.2009, 13:51	babelon	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis, vielen Dank für deine Antwort. Ich bin mir nicht ganz sicher, ob Du das meinst, was ich da heraus lese. Willst du mir sagen, dass $\begin{eqnarray} U_n \end{eqnarray}$ die Einheitengruppe $\begin{eqnarray} ( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \cdot_n )^{\times} \end{eqnarray}$ ist ?
13.04.2009, 14:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin zwar nicht Elvis, aber ich vermute, genau das will er dir sagen.
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13.04.2009, 14:45	babelon	Auf diesen Beitrag antworten »
hmmm, die Antwort ist jetzt ein wenig verwirrend, weil im Grunde meine Frage ist: $\begin{eqnarray} \text{Ist die oben definierte Menge }U_n \text{ das gleiche wie die Einheitengruppe } (\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}, \cdot_n) \text{ ?} \end{eqnarray}$ Würde mich freuen, wenn mir das jemand beantwortet. Gruß babelon
13.04.2009, 14:56	babelon	Auf diesen Beitrag antworten »
Behautpung: $\begin{eqnarray} U_n = ((\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})^{\times} \cup \{n\}, \cdot_n) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Aufgrund der Definition liegt }n \text{ immer in } U_n \text{, jedoch nie in }<br /> \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}<br /> \end{eqnarray}$ Ist das richtig?
13.04.2009, 15:34	babelon	Auf diesen Beitrag antworten »
ups... wegen der ggt-Bedingung ist es DOCH die Einheitengruppe entschuldigung !!! VIELEN DANK für die Hilfe gruß babelon
13.04.2009, 17:43	babelon	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich komme bei meiner oben angegebenen Aufgabe nicht weiter. Ich soll beweisen, dass die Menge $\begin{eqnarray} U_n \end{eqnarray}$ für sich alleine stehend mit $\begin{eqnarray} \cdot_n \end{eqnarray}$ eine Gruppe bildet. Das verwirrt mich! Denn ich muss dann zeigen, dass die Elemente aus der Menge alle ein multiplikatives Inverses in DIESER Menge besitzen. Wie zeige ich das ? Mir ist nicht einmal klar, wie ich es bei einer Beispiel-Menge sehen kann: Bsp: $\begin{eqnarray} U_6 = \{1,4,5\} \end{eqnarray}$ Hier weiß ich nicht mal, wie ich die Mutiplikationstabelle schreiben müsste Hilfeeee gruß babelon
13.04.2009, 19:46	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppe Hallo, babelon, inzwischen dürfte klar sein, um welche Gruppen es sich hier handelt. Das war aber eigentlich nur ein deutlicher Hinweis darauf, daß du bei der Lösung dieser Aufgabe die Multiplikation $\begin{eqnarray} mod\, n \end{eqnarray}$ verwenden mußt. Du sollst ja explizit nachweisen, daß die mittels ggT definierte Menge eine Gruppe bezüglich dieser Verknüpfung ist. Mein Vorschlag: Fang doch mal damit an, das zu zeigen, was du kannst. Die größeren Probleme kannst du noch ein wenig vor dir herschieben. Zuerst solltest du einen Plan haben, also aufstellen, welche Kriterien du beweisen möchtest, um zu zeigen, daß $\begin{eqnarray} U_n \end{eqnarray}$ eine Gruppe ist. Wenn du nun aber glaubst, daß $\begin{eqnarray} 4\in U_6 \end{eqnarray}$ gilt, hast du ein Riesenproblem. Ich glaube das eher nicht wegen $\begin{eqnarray} ggT(4,6)=2\neq 1 \end{eqnarray}$

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