Wachstum |
| 14.04.2009, 10:32 | Bierdeckel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Wachstum Es wird angenommen, dass dieser "Haufen" im laufe des Wachstums eine perfekte Kugel bildet. Ein Bakterium hat der einfacherheit halber die Form eines Quades mit der Seitenlänge 10nm (10^-8m). Dabei werden die einzellnen Bakterien perfekt aufeinender geschlichtet. Auch wird die Zeit die ein Bakterium zur eigenen Teilung benötigt gleich null gesetzt. Es entsteht quasi "instant" aus dem nichts. (Wem das zu einfach ist kann für jedes Bakterium eine Kugel mit dem Radius 10nm annehmen, natürlich lassen diese sich dann icht mehr so einfach "stapeln"). Wie ihr den Rand der Kugel betrachtet lass ich euch mal. Ob diese wirklich Treppenförmig ist oder doch Glatt wie eine Kugel ist könnt ihr wählen wie ihr wollt. Es wird nicht berücksichtigt, dass durch das Wachstum eventuell einige zerquetscht werden, oder verhungern. Das Wachstum ist unbegrenzt. Es gilt zu berechnen. Nach welcher Zeit t hat das Wachstum so stark zugenommen, dass sich die Kugel an der Oberfläche mit Lichtgeschwindigkeit ausdehnt. Es soll idealerweise eine geschlossene Formel für die "Oberflächengeschwindigkeit" entstehen. (gut sehr fiktive Vorstellung 
aber irgendwie lustig.) Für Lösungen gibt es einen Keks ^^ (ja sonst nichts leider) |
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| 14.04.2009, 11:35 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Wachstum Das scheint mir kein Rätsel zu sein, sondern eine Aufgabe, die du zu bearbeiten hast. Oder irre ich mich? |
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| 14.04.2009, 11:46 | Bierdeckel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Wachstum Nein, Rätsel ist es keins. Aber Aufgabe auch nicht. Wer würde solche Angaben machen? Wer würde hier spielraum bei der Lösungsfindung geben? Es sollte nur für Leute die ein wenig Denksport betreiben eine Abwechslung darstellen. :/ (wenn die Aufgabe hier nicht reinpasst dann löscht sie eben wieder -.-, bitte) |
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| 14.04.2009, 12:39 | Duedi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn die "Teilungszeit" konstant 0 ist, ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit unendlich groß, also >> c |
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| 14.04.2009, 12:45 | Bierdeckel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja haste recht, ist vielleicht missverständlich ausgedrückt. Sollte so heißen. Die Durchschnittsgeschwindigkeit der letzen Zeiteinheit = c |
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| 14.04.2009, 12:50 | Duedi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Trotzdem ist noch nichts darüber ausgesagt, wie sich darstellen lässt. Bekannt ist nur, dass |
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| 14.04.2009, 13:01 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Wachstum
Na dann - *verschoben*. |
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| 14.04.2009, 13:16 | Bierdeckel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich verstehe nicht was du mir damit sagen willst. Es gilt rauszufinden, nach welcher Zeit t die Geschwindigkeit v einen bestimmten Punkt überschreitet. Es liegt an dir wie du das ganze angehst. Wenn du dich an der Geschwindikeit störst dann nimm einfach an die Kugel dehnt sich Gleichmäßig aus. Sprich nach 2.5minuten ist bereits 50% des Wachstums abgeschlossen 
Es darf dich dann eben nicht stören, dass es dann mal einen "halben" Quader gibt. Im normfall sollte die Angabe so in der Art heißten.
Damit es ein wenig genauer ist und jeder selbst entscheiden kann wie er rechnen möchte hab ich noch ein paar Zeilen hinzugefügt. |
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| 14.04.2009, 13:17 | Duedi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie kommst du auf die 2,5 min? |
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| 14.04.2009, 13:25 | Bierdeckel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hausnummer! Es geht nicht um die Details. Du kannst gerne eine Zahl annehmen. |
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| 14.04.2009, 13:34 | Duedi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann nehme ich einfach 0 an, das vereinfach die Sache deutlich. Dann ist nämlich nach 0 Sekunden auch schon der Punkt erreicht, in dem die Geschwindigkeit = c wird. |
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| 14.04.2009, 13:35 | Bierdeckel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mann kann versuchen, dass Ding anzugehen wie es gewollt ist. (ich denke das dürfte klar sein) oder mann kann solange an den Details rumschrauben bis es obsolet wird. /close |
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| 14.04.2009, 13:36 | Duedi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das bezweifle ich stark, dass hier irgendjemandem klar ist, was du meinst. |
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| 14.04.2009, 13:41 | Bierdeckel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie oben schon einmal geschrieben
Ich bitte dich hiermit, geh kurz eine Minute in dich und versuch meinen Gedanken, den gedanken eines Matheinteressierten - nicht Vollprofis - nachzuvollziehen und hier dann entsprechend zu handeln. Ich für meinen Teil hab aus diesem Thread gelernt lieber die Klappe zu halten. |
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| 14.04.2009, 14:34 | Duedi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Angabe mit den 5min hast du leider nicht gegeben. Jetzt ist die Aufgabe lösbar, und sogar recht interessant. Also: Wenn du weißt, dass sich die Anzahl verdoppelt, wie ändert sich dann das Volumen? |
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| 14.04.2009, 14:54 | Bierdeckel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Erster Post erste Zeile. -.- |
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| 14.04.2009, 14:54 | Duedi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ziehe alles zurück und entschuldige mich. |
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| 14.04.2009, 15:03 | Duedi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Noch eine Frage: Wie ist die Aufgabe gemeint? Als Rätsel, das du uns stellst und dessen Antwort du kennst, oder eine Aufgabe, bei deren Bearbeitung du Hilfe brauchst? |
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| 14.04.2009, 15:07 | Bierdeckel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich brauche dazu keine Hilfe. Ich wollte einfach nur ein wenig Abwechslung hier reinbringen. Ihr, (Moderatoren, Vielschreiber) seit ja fast ausschließlich mit Nachhilfe geben beschäftigt. Abwechslung eben. So gesehen ein Rätsel |
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| 14.04.2009, 15:23 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine Aufgabe ist aus verschiedenen Gründen unrealistisch. Sie wird also in keinem Lehrbuch zu finden sein. Trotzdem will ich sie mal lösen: Beim Wachtum gilt: Je mehr Bakterien vorhanden sind, um so mehr kommen pro Zeit hinzu. Mathematisch bedeutet dies, die Anzahl N ist proportional zur 1.Ableitung von N nach der Zeit ist, also N’=w*N_____(1) Der Proportionalitätsfaktor w ist ein Maß für die „Gebärfreudigkeit“ der Bakterien. Die Lösung der Differentialgleichung (1) lautet N(t)=No*exp(w*t)_____(2) Zur Zeit t=0 soll nur ein einziges Bakterium vorhanden sein. Also lautet die Anfangsbedingung N(0)=1. Daraus folgt in (2) für die Konstante No=1. Wenn sich die Anzahl N nach t=300s verdoppeln soll, erhält man nach Einsetzen von t=300s in (2) die Forderung 2*No=No*exp(300w). Umstellen nach w ergibt w=ln(2)/300s. Die Anzahl der Bakterien in Abhängigkeit von der Zeit lautet also N(t)=exp(w*t)___mit w=ln(2)/300s_____(3) Das Volumen eines Bakteriums sei Vo. Folglich ist das Volumen von N Bakterien das Produkt der Funktion (3) mit Vo, also V(t)=Vo*exp(w*t)___mit w=ln(2)/300s_____(4) Die Bakterien bilden einen kugelförmigen Klumpen. Das Volumen einer Kugel ist allgemein V=(4/3)*pi*R^3. Umgestellt nach dem Radius erhält man R=3.Wurzel{3V/(4*pi)}_____(5) Für das Volumen V setzen wir die Funktion (4) ein und erhalten für den Kugelradius R=3.Wurzel{3Vo*exp(w*t)/(4*pi)}____(6) Wir wollen wissen, wann dieser Radius mit Lichtgeschwindigkeit wächst. Diese „Radius-Geschwindigkeit“ ist die 1.Ableitung von (6) nach der Zeit. Das ist R’=[Vo*w/(4*pi)]*[3Vo*exp(w*t)/(4*pi)]^(-2/3)____(7) Wir setzen auf der linken Seite die Lichtgeschwindigkeit c ein und stellen nach der Zeit um. t=(1/w)*ln{4*pi/3Vo*[(Vo*w)/(4*pi*c)]^(3/2)}_____(8.) Der Ausdruck innerhalb der Klammer {...} ist ohne Dimension, so dass nach Division durch w insgesamt tatsächlich eine Zeit in Sekunden herauskommt. Um den Zahlenwert zu bekommen, setze die folgenden Parameter in (8.) ein Vo=10^(-27) m^3__Volumeneines Bakteriums w=ln(2)/300s______„Gebärfreudigkeit“ der Bakterien gemäß (3) c=10^8 m/s_______Lichtgeschwindigkeit |
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