Ähnlichkeit von Matrizen |
| 14.04.2009, 14:35 | Hans123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Ähnlichkeit von Matrizen Wie kann man am besten zeigen, ob zwei matrizen ähnlich zueindander sind? Angenommen all diese Eigenschaften wie spur char.pol. etc stimmen überein. Was muss man dann noch zeigen? Danke Hans |
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| 14.04.2009, 15:08 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Auch die Minimalpolynome müssen übereinstimmen. Aber auch das reicht im allgemeinen nicht aus. Die Jordannormalformen müssen übereinstimmen. |
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| 14.04.2009, 16:14 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich glaube zwei ähnliche Matrizen A, A' können sich maximal durch eine orthogonale Transformation D voneinander unterterscheiden. Es muss also eine orthogonale Transformation D existieren, so dass A'=D°AD Dabei ist D° die Inverse zu D. Die orthogonale Transformation D ist dadurch gekennzeichnet, dass deren Inverse mit deren Transponierten übereinstimmt. Volkstümlich ausgedrückt: Alle Zeilen von D stehen senkrecht aufeinander und haben den Betrag 1. |
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| 14.04.2009, 16:41 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das stimmt nicht. Beweis: Sei D eine 2x2-Diagonalmatrix mit 2 verschiedenen Werten ungleich Null auf der Diagonalen und S eine invertierbare 2x2-Matrix, deren Spaltenvektoren nicht senkrecht aufeinander stehen. Setze Dann sind A und D ähnlich, und die Spaltenvektoren von S sind die Eigenvektoren von A. D.h., die Eigenvektoren von A stehen nach Annahme nicht senkrecht aufeinander. Nach deiner Behauptung gibt es eine orthogonale Matrix O, so dass Dann sind aber auch die Spalten von O Eigenvektoren von A, und die stehen senkrecht aufeinander. Widerspruch! |
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| 15.04.2009, 09:40 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt. Meine Antwort war nicht richtig. Kommen wir nochmals auf die Ausgangsfrage zurück: Wie stellt man rein praktisch fest, ob zwei reguläre Matrizen A,B ähnlich sind. Ich glaube, die Übereinstimmung der Eigenwerte hinreichend, oder? |
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| 15.04.2009, 09:56 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
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| 15.04.2009, 10:47 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gib mal bitte ein einfaches Beispiel für zwei reguläre 2x2-Matrizen A, B, deren Eigenwerte übereinstimmen, die aber nicht ähnlich sind. |
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| 15.04.2009, 10:51 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Folgende Matrizen sind nicht ähnlich haben aber die gleichen Eigenwerte und sind regulär. |
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| 16.04.2009, 08:59 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für die Antwort. |
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