Zahlentheorie: Primzahlen als Summe von zwei Quadraten - Beweis

14.04.2009, 18:08

Peter123

Zahlentheorie: Primzahlen als Summe von zwei Quadraten - Beweis

Hallo!

Ich soll diese Aufgabe lösen (bis Donnerstag). Komme aber nicht weiter.
Kann mir jemand helfen?
Grundsätzlich ist das Vorwissen aus der Zahlentheorievorlesung vorhanden.
Erklärungen an kniffligen Stellen wären aber bevorzugt smile

Excercise 1.1 (aus Lemmermeyer: Reciprocity Laws - From Euler to Eisenstein)

Use induction to prove that, for primes p, the solvability of $\begin{eqnarray*} [latex]x^{2} \end{eqnarray*}$ \equiv -1 mod 4[/latex] implies that p is a sum of two squares.
(Hint: Put $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ =x, $\begin{eqnarray*} b_{0} \end{eqnarray*}$ =1, and start with $\begin{eqnarray*} [latex]a_{0} \end{eqnarray*}$ ^{2}[/latex]+ $\begin{eqnarray*} [latex]b_{0} \end{eqnarray*}$ ^{2}[/latex] = pm for some integer m; show that one can always choose x in such a way that m<p. If m>1, then there is a prime q dividing m; deduce from the induction hypothesis that q= $\begin{eqnarray*} A^{2} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} B^{2} \end{eqnarray*}$ is a sum of two squares. Show that you can choose the sign of B to make $\begin{eqnarray*} A -Bx\equiv 0 mod q \end{eqnarray*}$ , and prove that $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ + 1 = q( $\begin{eqnarray*} [latex]a_{1} \end{eqnarray*}$ ^{2}[/latex]+ $\begin{eqnarray*} [latex]b_{1} \end{eqnarray*}$ ^{2}[/latex]). This gives $\begin{eqnarray*} [latex]a_{1} \end{eqnarray*}$ ^{2}[/latex]+ $\begin{eqnarray*} [latex]b_{1} \end{eqnarray*}$ ^{2}[/latex]=p $\begin{eqnarray*} m_{1} \end{eqnarray*}$ for some $\begin{eqnarray*} m_{1} \end{eqnarray*}$ <m. Repeat.)

14.04.2009, 18:11

Peter123

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, das mit dem Latex hat irgendwie nicht funktioniert unglücklich

Kann das jemand reparieren.

Hier der Text als nicht-LateX

Excercise 1.1 (aus Lemmermeyer: Reciprocity Laws - From Euler to Eisenstein)
Use induction to prove that, for primes p, the solvability of x^2 congruent -1 mod p implies that p is a sum of two squares.
(Hint: Put a0=x, b0=1, and start with (a0)^2 + (b0)^2 = p*m for some integer m; show that one can always choose x in such a way that m<p. If m>1, then there is a prime q dividing m; deduce from the induction hypothesis that q=A^2 + B^2 is a sum of two squares. Show that you can choose the sign of B to make A - Bx congruent 0 mod q, and prove that x^2 + 1 = q((a1)^2+(b1)^2). This gives (a1)^2+(b1)^2=p*(m1) for some m1<m. Repeat.)

14.04.2009, 18:46

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Peter123
Erklärungen an kniffligen Stellen wären aber bevorzugt smile

Welche wären das im einzelnen? So auf Anhieb sehe ich nur, dass man das hier

Zitat:

Original von Peter123
Show that you can choose the sign of B to make A - Bx congruent 0 mod q, and prove that x^2 + 1 = q((a1)^2+(b1)^2).

ein wenig näher hätte ausschmücken können. Vielleicht wollte man aber auch bewusst nicht jedes kleine Detail verraten. Augenzwinkern

Ich geb erstmal nur folgenden zusätzlichen Hinweis:

$\begin{eqnarray*} (A^2+B^2)(x^2+1) = (A-Bx)^2 + (Ax+B)^2 \end{eqnarray*}$

15.04.2009, 11:28

Peter123

Auf diesen Beitrag antworten »

@Arthur Dent:

Vielen Dank für die Antwort. Die Fibonacci-Identität ist mir bekannt, leider komme ich damit auch nicht weiter. Ich übersehe wahrscheinlich irgend etwas elementares.

Ich würde mich sehr freuen, falls Du die Zeit hättest, den ganzen Beweis aufzuschreiben, so dass ich ihn heute abend oder morgen früh spätestens ansehen und verstehen kann, sonst sehe ich schwarz für meinen Vortrag morgen unglücklich

Vielen Dank schon einmal im voraus.

15.04.2009, 12:16

Auf diesen Beitrag antworten »

Glaub ich dir gern, dass dich das freuen würde. Das widerspricht aber dem hiesigen Boardprinzip, zumal du bisher auch nicht den winzigsten eigenen Gedanken zur Problemlösung dargelegt hast. Ich hatte gefragt, welche Details des doch ziemlich ausführlichen Hinweises unklar sind, darauf bist du nicht eingegangen. Ein "alles ist unklar", und das einen Tag vor dem Vortrag, ist schlichtweg inakzeptabel.

Neue Frage »

Antworten »

Zahlentheorie: Primzahlen als Summe von zwei Quadraten - Beweis

Verwandte Themen