Stetigkeit / Differenzierbarkeit einer Funktion

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MatzeJe Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit / Differenzierbarkeit einer Funktion
Hallo, bei o.g. Thema hab ich noch so meine Schwierigkeiten deswegen mal zur Kontrolle.
es sei gegeben:

für und
für
(soll eine Funktion sein, weis nich wie man das mit latex schreibt)

Ich soll jetzt angeben wo die Funktion nicht stetig bzw. nicht differenzierbar ist. Das kann ja nur bei x0 = 1 sein oder muss ich die Unendlichkeit ebenfalls untersuchen.
Ich würde jetzt für den rechtsseitigen Grenzwert untersuchen:



und für den linkssseitigen Grenzwert



Da es beide Grenzwerte gibt sie aber verschieden sind ist meine Funktion stetig aber bei x0= 1 nicht differenzierbar - oder? verwirrt
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit / Differenzierbarkeit einer Funktion
Hallo,

Vielleicht als Tipp: Lasse die Schreibweise mit dem Unendlichkeitssymbol weg, das ist erstens vollkommen überflüssig und scheint Dich zweitens eher zu verwirren, denn was meinst Du damit, man müsse „die Unendlichkeit untersuchen“? Die beiden Teilfunktionen



und



sind normale Polynomfunktionen und somit an jeder Stelle stetig und differenzierbar. Also kann f höchstens an der „Schnittstelle“ 1 unstetig oder nicht differenzierbar sein – wie Du auch schon richtig gesagt hast.



Zitat:
Original von MatzeJe

Ich würde jetzt für den rechtsseitigen Grenzwert untersuchen:



und für den linkssseitigen Grenzwert



Die Idee ist richtig, aber die obigen Grenzwerte sind nicht links- und rechtsseitiger Grenzwert von f für x --> 1! Was wolltest Du berechnen? Die einseitigen Differentialquotienten? Dann ist der Term aber auch falsch.
MatzeJe Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte die Schnittstelle einmal von rechts kommend und einmal von links kommend mit der h-Methode untersuchen.

(Die Aufgabenstellung war mit dem Unendlichkeitssymbol, deswegen auch die Frage nach der Untersuchung im unendlichen)
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatzeJe

Ich wollte die Schnittstelle einmal von rechts kommend und einmal von links kommend mit der h-Methode untersuchen.


Mit der h-Methode berechnet man aber den Differentialquotienten:



Die einseitigen Grenzwerte von f kann man doch direkt berechnen:







Zitat:
Original von MatzeJe

(Die Aufgabenstellung war mit dem Unendlichkeitssymbol, deswegen auch die Frage nach der Untersuchung im unendlichen)


OK. Wenn das schon da stand, dann ist die Schreibweise erst recht idiotisch. Augenzwinkern

Also



bedeutet einfach



und



heißt schlichtweg

MatzeJe Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, also ist der Grenzwert ja für beide Teilfunktionen 2.
Das heißt ja dann das meine Funktion überall stetig ist und differenzierbar - oder?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Stetig ja, aber die Differenzierbarkeit hast Du noch nicht untersucht. Du musst den linksseitigen und den rechtsseitigen Differentialquotienten untersuchen, z. B. eben mit der h-Methode oder direkt über den Differenzenquotienten.

Der linksseitige Differentialquotient von f an der Stelle 1 lautet:



Dabei ist f1 die „linke Teilfunktion“:



Für die Seite, auf der die Schnittstelle liegt, brauchst Du also keine Grenzwertberechnung zu machen, sondern kannst einfach die Ableitungsregeln benutzen.

Für die andere Seite – in diesem Fall die rechte – ist das aber schon nötig, denn beim Berechnen der Ableitung bleibt man ja nicht mehr innerhalb des Definitionsbereich der rechten Teilfunktion, man kann diese Funktion also nicht isoliert betrachten.

Mit der Differenzenquotientenmethode:



Mit der h-Methode:

 
 
MatzeJe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jacques

Für die andere Seite – in diesem Fall die rechte – ist das aber schon nötig, denn beim Berechnen der Ableitung bleibt man ja nicht mehr innerhalb des Definitionsbereich der rechten Teilfunktion, man kann diese Funktion also nicht isoliert betrachten.

wegen der Bedingung x>1 nehme ich an (aber ich strebe x=1 doch nur an, erreiche es jedoch nie - oder?), allerdings würde es rein rechnerisch doch auch mit der Ableitung funktionieren oder ist das Zufall?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, man kann doch in beiden Fällen die Ableitungsregeln benutzen. Das liegt aber nur an der Stetigkeit der Funktion an dieser Stelle! Wenn man direkt die Funktion auf Differenzierbarkeit untersucht hätte, dann hätte man es so machen müssen wie oben beschrieben.

Als Beispiel:



f ist bei 3 nicht stetig, kann also dort auch nicht differenzierbar sein:



(f1 ist wieder die linke Funktion)

Die rechtsseitige Ableitung ist:

MatzeJe Auf diesen Beitrag antworten »

Um mal zusammenzufassen, um die Stetigkeit einer Funktion bei x0 festzustellen bilde ich den Grenzwert der Teilfunktionen gegen x0. Ist dieser gleich ist meine Funktion in x0 stetig. Nun kann ich die Ableitungsfunktionen der Teilfunktionen bilden sind die Ergebnisse dieser in x0 ebenfalls gleich ist meine Funktion in x0 differenzierbar. Ist x0 nicht stetig so kann x0 auch nicht differenzierbar sein.
Oder?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatzeJe

Um mal zusammenzufassen, um die Stetigkeit einer Funktion bei x0 festzustellen bilde ich den Grenzwert der Teilfunktionen gegen x0. Ist dieser gleich ist meine Funktion in x0 stetig.


Richtig. Freude

Noch als Anmerkung: Bei stetigen Funktionen stimmt der Grenzwert mit dem Funktionswert überein. Wenn die Teilfunktion stetig ist, in deren Bereich die Schnittstelle liegt, dann kannst Du also einfach einsetzen.



Zitat:
Original von MatzeJe

Nun kann ich die Ableitungsfunktionen der Teilfunktionen bilden sind die Ergebnisse dieser in x0 ebenfalls gleich ist meine Funktion in x0 differenzierbar.


Richtig. Freude

Aber die einseitigen Ableitungen sind nur dann beide Male mit den Ableitungen der Teilfunktionen identisch, wenn die Hauptfunktion an der Schnittstelle stetig ist. Sonst kann man nur die Teilfunktion ableiten, in deren Definitionsbereich die Schnittstelle liegt. Bei der anderen muss man den Grenzwert per Hand berechnen.



Zitat:
Original von MatzeJe

Ist x0 nicht stetig so kann x0 auch nicht differenzierbar sein.


Richtig, das ist einfach ein allgemeines Kriterium: Aus Differenzierbarkeit folgt stetigkeit. Wenn also die Stetigkeit nicht gegeben ist, dann kann auch keine Differenzierbarkeit gelten.
MatzeJe Auf diesen Beitrag antworten »

mmmmh, dann ist meine Aufgabe aber irgendwie komisch:

An welchen Stellen sind die folgenden Funktionen nicht stetig, an welchen nicht differenzierbar? Begründung durch Rechnung.

a)

Lösung stetig für , nicht differenzierbar in x0=0,6

b) siehe 1. beitrag

Lösung stetig für , nicht differenzierbar in x0=1

Oder überseh ich jetzt was??? verwirrt
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatzeJe

b) siehe 1. beitrag

Lösung stetig für , nicht differenzierbar in x0=1

Oder überseh ich jetzt was??? verwirrt


Das passt doch: smile

Sei



die linke Teilfunktion und



die in 1 stetig fortgesetzte rechte Teilfunktion. Du kannst beide Funktionen genau so ableiten wie die entsprechenden „Standard-Polynomfunktionen“



und



Die linksseitige Ableitung von f bei 1 ist also:



Die rechtsseitige Ableitung ist



Die Grenzwerte stimmen nicht überein, also ist f bei 1 nicht differenzierbar.



Zur zweiten Funktion:

Schreibe die Definition wieder abschnittsweise auf:



Die Funktion ist stetig, aber nicht differenzierbar in 0,6: Der linksseitige Grenzwert ist +1, der rechtsseitige Grenzwert -1.
MatzeJe Auf diesen Beitrag antworten »

mich wundert halt nur das dort steht ...nicht stetig..., weil ja alle beide komplett stetig sind. Danke für deine Geduld, werd morgen früh wieder on sein. Wink
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MatzeJe

mich wundert halt nur das dort steht ...nicht stetig...


Wo steht das? Du schriebst:

Zitat:
Original von MatzeJe

a) Lösung stetig für , nicht differenzierbar in x0=0,6

b) Lösung stetig für , nicht differenzierbar in x0=1
MatzeJe Auf diesen Beitrag antworten »

Morgen,
in der Aufgabe steht es.

Zitat:
Original von MatzeJe
mmmmh, dann ist meine Aufgabe aber irgendwie komisch:

An welchen Stellen sind die folgenden Funktionen nicht stetig, an welchen nicht differenzierbar? Begründung durch Rechnung.
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

OK, dann lautet die Antwort eben: Die Funktion ist an keinen Stellen nicht stetig. Big Laugh

Aber im Ernst:

Bei der Aufgabenstellung sollten sicher keine direkten Hinweise auf die Antwort gegeben werden, Du kannst die Aufgabe also so verstehen: An welchen Stellen – sofern existent – ist die Funktion nicht stetig? An welchen Stellen – sofern existent – ist die Funktion nicht differenzierbar? Ob die Funktion überhaupt irgendwo unstetig oder nicht differenzierbar ist, bleibt also offen. Und in der Musterlösung wird ja dann auch festgestellt, dass die Funktion überall stetig ist.

Ich glaube, man darf in die Formulierungen nicht so viel hineininterpretieren, wie man das in der Umgangssprache macht. Als Beispiel: Wenn es z. B. heißt, dass die Menge irgendwelcher Objekte gebildet wird – z. B. eben die der Unstetigkeitsstellen –, dann würde man bei umgangssprachlicher Interpretation wohl davon ausgehen, solche Objekte existieren auch. Aber aus „mathematischer Sicht“ hat der Satz keine Nebenbedeutung, die Menge kann sich am Ende auch als leer herausstellen. Oder ein anderes Beispiel: Aus der Frage „wie viele Nullstellen gibt es?“ könnte man auch wieder alle möglichen Nebenbedeutungen herauslesen – es gibt Nullstellen, und zwar mehrere. Aber aus mathematischer Sicht kann „mehrere Nullstellen“ auch „keine Nullstellen“ oder „mehrere gleiche Nullstellen“ heißen.
MatzeJe Auf diesen Beitrag antworten »

Sowas in der Art war mir auch schon in den Sinn gekommen. Naja, dann hab ichs ja erstmal was die Stetigkeit bzw. Differenzierbarkeit von Funktionen angeht. Danke für deine Hilfe werde wahrscheinlich noch das ein oder andere mal mich hier rum treiben und nervende Fragen stellen LOL Hammer .
Hoffe ich treffe dann wieder auf so kompetentes Personal Big Laugh
thx
MatzeJe Auf diesen Beitrag antworten »
Neues Problem
In meinem Lehrbuch steht ist



dann ist die Funktion differenzierbar. Wenn ich das auf meine Funktion aus dem 1. Beitrag anwende

für und
für
(soll eine Funktion sein, weis nich wie man das mit latex schreibt)

wird diese plötzlich differenzierbar da beide Grenzwerte 0 sind.
Wo mach ich den da den Fehler. ich rechne:

für

und

für



verwirrt verwirrt
Gast1232414 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Neues Problem
Zitat:
Original von MatzeJe


Warum ist das Null? Binomische Formel.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Neues Problem
Zitat:
Original von MatzeJe
In meinem Lehrbuch steht ist



dann ist die Funktion differenzierbar.

Was hast du für ein Lehrbuch? Das ist jedenfalls falsch.
MatzeJe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Neues Problem
hab ich ja gemacht,



ist das falsch
MatzeJe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Neues Problem
Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von MatzeJe
In meinem Lehrbuch steht ist



dann ist die Funktion differenzierbar.

Was hast du für ein Lehrbuch? Das ist jedenfalls falsch.


statt h verwenden die delta x (hab ich mit latex nicht hinbekommen) , aber ansonsten steht das da so.
MatzeJe Auf diesen Beitrag antworten »

immer noch verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte umgehend Buch als Altpapier zum Wertstoffhof bringen, das ist ja gemeingefährlich, eine solchen Unsinn zu verbreiten. Augenzwinkern
Ableitung hat was zu tun mit Grenzwert von Differenzen-Quotienten, da gehört ein in den Nenner.
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Das sieht eher nach der Definition von Stetigkeit aus:





Der Differentialquotient von f an der Stelle x0 ist definiert als



oder derselbe Grenzwert in anderer Schreibweise:



f ist genau dann bei x0 differenzierbar, wenn der obige Grenzwert existiert.

Wie ja Elvis schon gesagt hat: Im Nenner muss ein h bzw. Delta x stehen.
MatzeJe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Neues Problem
Zitat:
Original von MatzeJe
In meinem Lehrbuch steht ist



dann ist die Funktion differenzierbar.


Hammer Hammer Hammer Hammer Hammer Hammer Hammer Hammer Hammer
Ich Trottel lesen sollte man schon können, der Satz lautet:

Eine Funktion ist nur dann differenzierbar wenn ist.

Und das ist ja bekanntlich die Bedingung der Stetigkeit.
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