aufgabe zur hesse`schen normalenform

13.09.2006, 12:55

*chica*

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aufgabe zur hesse`schen normalenform

Hi, hi
hab hier ne augabe, mit der ich nicht ganz zurecht komme!!!

Aufgabe:

Berechne den Abstzand des Punktes R (9/4/-3) zu Ebene E
E: [Vektor x -(1/-3/1)]*(1/2/2)=0

Lösung:

Man ersetzt den Normalenvektor der Ebene E durch einen Normaleneinheitsvektor, indem man ihn durch seinen Betrag [Wurzel aus (1+4+4)=3] dividiert. Setzt man dann für den Ortsvektor von P ein, so erhält man eine Zahl deren Betrag den Abstand d = d(P, E) des Punktes P von der Ebene E angibt.

Hessesche Normalenform E: [Vektor x -(1/-3/1)]*1/3(1/2/2)=0

Abstandsberechnung d= Betrag von [(9/4/-3)-(1/-3/1)]*1/3(1/2/2)=14/3

Also erstens:
wie komm ich auf "seinen Betrag" (wie er in der antwort steht)?
zweitens:
ist punkt R und P der selbe?
und drittens:
warum ist in der hesse`schen normalenform "=0" und ist dass immer so?

ach und sorry wegen der komischen schreibweise der gleichungen, aber ich kanns nicht anderst!!! traurig

traurig

ciao *chica*

13.09.2006, 13:04

Bjoern1982

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Hi

Zitat:

wie komm ich auf "seinen Betrag" (wie er in der antwort steht)?

Der Betrag ist nur dazu da um gegebenenfalls eine negative Abstandszahl postiv zu machen

Zitat:

ist punkt R und P der selbe?

Ja

Zitat:

warum ist in der hesse`schen normalenform "=0" und ist dass immer so?

Weil das eine Ebenengleichung ist. Wenn du die Klammern auflösen würdest und entsprechend die entstehende Zahl auf die andere Seite bringst, hättest du dann die Koordinatengleichung der Ebene da stehen.

Ferner verdeutlicht die null auf der rechten Seite der HNF-Gleichung nochmal dass durch diese Gleichung alle Punkte (x,y,z) der Ebene festgelegt sind, die gewährleisten, dass der Verbindungsvektor XP SENKRECHT zum Normaleneinheitsvektor steht (siehe Lotbedingung)

Gruß Björn

13.09.2006, 13:16

*chica*

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ok,
mir ist schon klar was n betrag ist, aber nicht woher genau dieser kommt. also diese zahlen, also die wurzel aus(1+4+4)=3 ich finde in der aurfage diese zahlen nicht!!! wieso grad die wurzel aus(1+4+4) und nicht vielleicht aus(7+7+7) oder aus(1+2+3) verstehst du was ich meine????????

ciao *chica*

13.09.2006, 13:18

*chica*

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aaah, was ist ne Lotbedinung???

ciao *chica*

13.09.2006, 13:31

Bjoern1982

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Zitat:

mir ist schon klar was n betrag ist, aber nicht woher genau dieser kommt.

Stell dir einfach mal vor du hast einen Punkt R, der oberhalb von einer Ebene E liegt, und von dem du jetzt den Abstand zu E berechnen willst...
Angenommen du bekommst d=3 heraus.

Nun stelle dir mal den Punkt R an dieser Ebene senkrecht gespiegelt vor - er würde also dann unterhalb der Ebene liegen, aber durch die Spiegelung immer noch denselben Abstand zur Ebene haben - allerdings dann d= - 3

Da es ja keine negativen Abstände gibt, sind die Betragsstriche einfach zweckmäßig da, um eben negative Abstände wieder positiv zu machen.

Zitat:

wieso grad die wurzel aus(1+4+4)

Der Normalenvektor der Ebene lautet ja (1/2/2).
Für den Betrag, also die Länge dieses Normalenvektors, musst du $\begin{eqnarray*} |\vec{n}|= \sqrt{1^2+2^2+2^2} \end{eqnarray*}$ rechnen, also die einzelnen Komponenten des Normalenvektors quadrieren, die Summe davon bilden und davon dann die Wurzel ziehen - so ist der Betrag eines Vektors definiert.

Zitat:

aaah, was ist ne Lotbedinung???

Die Lotbedingung besagt, dass zwei Vektoren a und b genau dann senkrecht zueinader liegen, wenn ihr Skalarprodukt null ergibt, so dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \vec{a} \cdot \vec{b}=0 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe das hilft dir weiter.

Gruß Björn

13.09.2006, 14:04

*chica*

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Danke!!
ja das hilft mir ziemlich weiter!!!
eine frage noch:
ist so jeder Betrag eines Vektors definiert?

ich glaube meine fragen kommen dir n bissl lächerlich vor, aber schulisch gesehen stehen wir grad ziemlich am anfang des themas und wir haben sowas wie abstandsberechnug oder die HNF noch nie gurchgenommen. ich hab bloß die ehre ne gfs darüber zu halten!! traurig

traurig

ciao *chica*

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13.09.2006, 14:14

Bjoern1982

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Zitat:

ist so jeder Betrag eines Vektors definiert?

Ja

Zitat:

ich glaube meine fragen kommen dir n bissl lächerlich vor

Du brauchst dich hier doch nicht für deine Fragen zu rechtfertigen.
Ich beantworte sie dir gerne - sofern ich kann - und die Hauptsache ist ja, dass du danach schlauer bist.

Also, wenn noch was unklar sein sollte melde dich einfach smile

smile

Gruß Björn

13.09.2006, 14:16

Steve_FL

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ja

smile

stell dir das mal mit Pythagoras vor. Zuerst im zweidimensionalen.
Du hast einen Vektor, der hat ne X-Komponente und ne Y-Komponente.
Diese beiden Komponenten bilden ja mit dem Vektor zusammen ein Dreieck und die Länge des Vektors ist genau die Läneg der Hypothenuse dieses Dreiecks (denn zwischen den beiden Komponenten liegt ein 90°-Winkel).

ist zwar mathematisch etwas schlampig dahergeredet, aber fürs Verständnis sollts reichen smile

smile

13.09.2006, 14:51

*chica*

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also zuerst mal danke steve, für die

Zitat:

mathematisch etwas schlampig(e)

bildliche darstellung, aber die is echt gut!!

und ja, mir is immer noch was unklar...
undzwar:
ich wollte den abstand von 2 w.s.geraden ausrechnen:

g: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

h: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 13 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und als antwort geben die mir dass vor:
$\begin{eqnarray*} \vec{n} _{0} \end{eqnarray*}$ muss zu beiden richtungsvektoren orthogonal sein, also:
$\begin{eqnarray*} -3n_{1}+ n_{2}+ n_{3}= 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n_{1}+ n_{2}-2n_{3}= 0 \end{eqnarray*}$

und wir mach ich jezt weiter???

ciao *chica*

13.09.2006, 14:57

Bjoern1982

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Löse das Gleichungssystem, indem du z.B. durch das Additionsverfahren n2 in einer Gleichung eliminierst.

Dann versuche mal 3 Gleichungen auf zustellen :

Eine für n1, eine für n2 und eine für n3 - jeweils in Abhängigkeit von EINER gleichen Variable.

Falls ihr das Kreuzprodukt schon hattet, gehts natürlich noch um einges schneller.

Gruß Björn

13.09.2006, 15:17

*chica*

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kreuzprodukt??
ne aber das additionsverfahren hört sich gut an!
so und was jetzt?
n2 ist weg und -4n1+3n3 =0 hab ich jetzt noch übrich!
diese 3 gleichungen...
versteh ich nicht!!! verwirrt

verwirrt

ich meine einfach nur umformen kanns ja nicht sein...
wenn ich jetzt -4n1+3n3=0 nach n1 bzw. nach n3 auflöse erhalter ich
n1=3/4n3 und für n3=4/3n1
und nach einsetztn jeweils 1 und das ist falsch!!
hilfe geschockt

geschockt

ciao *chica*

13.09.2006, 15:32

Bjoern1982

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Setze nun n1 in die erste Gleichung ein und löse nach n2 auf.
Du erhälst somit eine Lösung für n2 in Abhängigkeit von n3.

Somit kannst du n1,n2 und n3 in Abhängigkeit von n3 ausdrücken.

Für eine Gleichung für n3 wähle einfach n3=n3 Augenzwinkern

Augenzwinkern

Schreib diese Gleichungen mal untereinander und schau mal, ob du saraus schon sowas wie eine Parameterfrom einer Gearden erkennst.

Wenn nicht, sag einfach nochmal bescheid smile

smile

13.09.2006, 16:03

*chica*

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ok

Zitat:

Setze nun n1 in die erste Gleichung ein und löse nach n2 auf.

also n2=13/4n3

jetzt hab ich das additionsv. nochmal gemacht und n3 "rausgeschmissen" und daraus folgt n2=5/3n1

LOL Hammer

LOL Hammer

LOL Hammer

LOL Hammer

LOL Hammer

LOL Hammer

Idee!

oh nein jetzt hab ich verstanden, was du mit EINER variablen meinst!!! alles um sonst!! traurig

traurig

13.09.2006, 16:17

*chica*

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okay!!!
bin zwar nicht blond und blauäugig, aber wie´s scheint trozdem blööd!!!
ne=13/4n3 und n1=3/4n3 !
so muss ich jetzt nicht n1 und n2 in die gleichung einsetzten? weil dann hätte ich ja nur noch n3´s! wenn ich jetzt nach n3 auflöse kommt dann n3=0 raus, kann das sein???

weil wenn n3 0 wär, wäre somit nicht auch gleich alles 0, weil ja alles in abhänigkeit von n3 ist und mit 0 multi. ergibt ja auch 0!!!!???????????

unglücklich

unglücklich

ciao *chica*

13.09.2006, 20:17

Bjoern1982

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Deine Gleichungen müssten jetzt so lauten (für n2 hab ich was anderes, rechne nochmal genau nach):

$\begin{eqnarray*} n_1=\frac{3}{4}n_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n_2= \frac{5}{4}n_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n_3=1n_3 \end{eqnarray*}$

Ersetze jetzt auf der rechten Seite jedes n3 durch eine Variable, z.B. durch k und schreibe jetzt deine Komponenten mal als Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n}= \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt noch das k vor den Vektor ziehen und du hast deine gesuchte Schnittgerade (die man dann noch durch rausziehen des Faktors 1/4 schöner schreiben kann)

Edit: Vergiss einfach die letzten Zeilen mit der Schnittgeraden...
Ich meinte natürlich Normalenvektor Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß Björn

13.09.2006, 20:45

*chica*

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boah, mein computer ist grad 2mal hintereinander abgestürtzt, böse

böse

naja, jetzt hatte ich wenigstens zeit um meine unerlagen zu der aufgabe zu suchen die ich aus wut schon längst in die ecke geschmissen hatte!!

ich denk das beste ist, dass ich nochmal neu anfang, ich meine weit bin ich ja eh noch nicht gekommen!!

ich schreib dir meine zwischen ergebnisse!!

ciao *chica*

13.09.2006, 20:51

Bjoern1982

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Bin gespannt Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.09.2006, 20:58

*chica*

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nur mal kurz fürs verständnis:

mit der ufgabe will ich den abstand 2er windschiefen geraden berechnen;
dazu muss ich eine ebene, die parallel zur einen und auf welcher die anderen geragen ist spannen.
so und daraus folgt, dass die richtungsvektoren der beiden geraden der der ebene ist.
jetzt kommt auch schon meine erste frage: die ebene hat aber trotzdem nur ein richtungsvektor, oder?
welchen nehme ich?
ist das egal, wegen parallel?

diese ebene hat 2 spannvektoren, wovon einer ein normalenvektor ist????

ich glaub ichh bring grad alles durcheinander!!!!!

Hilfe

Hilfe

ciao *chica* Hilfe

Hilfe

13.09.2006, 21:09

Bjoern1982

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Zitat:

diese ebene hat 2 spannvektoren, wovon einer ein normalenvektor ist????

Nee, das is so nicht richtig.
Ein Normalenvektor einer Ebene ist ein Vektor der senkrecht zu dieser Ebene liegt, also auch senkrecht zu den beiden Spannvektoren der Ebene. Wegen der Lotbedingung (hatte ich ja schonmal was zu geschrieben) gilt:

$\begin{eqnarray*} \vec{n} \cdot \vec{r_g} =0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \vec{n} \cdot \vec{r_h} =0 \end{eqnarray*}$

Durch Anwedung des Skalarprodukts der beiden Vektoren kommst du auf deine 2 Gleichungen welche alle Komponenten des gesuchten Normalenvektors, also n1,n2 und n3 enthalten.

Da man mit der Hilfe eines Normalenvektors immer besonders einfach eine Ebene in Koordinatenform (oder Normalenform) aufschreiben kann, sucht man also einen solchen.

13.09.2006, 21:23

*chica*

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skalarprodukt $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ 0 plan!!!
weiß nur, dass es da um annäherrung oder halbieren geht!

[QUOTE]Ein Normalenvektor einer Ebene ist ein Vektor der senkrecht zu dieser Ebene liegt $\begin{eqnarray*} <br /> ja, sag´s doch ich sollte blond sei!!<br /> <br /> ok, d.h. um weiter zurechnen muss ich die ebene aber trotzdem spannen, oder?<br /> dann sieht sie so aus:<br /> <br /> \end{eqnarray*}$ E: \vec{x} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}[latex]

erste klammer: stützvektor der geraden, die drauf liegt;
zweite klammer: richtungsvektor der geraden, die drauf liegt;
dritte klammer: richtungsvektor der parallelen gerade

bitte sag, dass das so stimmt!!!

cioa *chica*

13.09.2006, 21:26

*chica*

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ok, hab scheiße gebaut!!!

das komische etwas da unten sollte eine ebenengleichung sein!!

13.09.2006, 21:32

Bjoern1982

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War zwar nicht ganz einfach, aber ich denke, ich blicke da jetzt durch ^^

Zitat:

dritte klammer: richtungsvektor der parallelen gerade

Es muss Richtungsvektor der windschiefen Gerade heißen.
Wenn die beiden Richtungsvektoren der Ebene parallel wären, würden sie keine Ebene aufspannen, da die Spannvektoren einer Ebene immer linear unabhängig sein müssen.

Ansonsten ist wäre das dann eine mögliche Parameterform der gesuchten Ebene Freude

Freude

Jedoch brauchen wir dennoch den Normalenvektor dieser Ebene, um ihn nachher auch in die schöne Abstandsformel einzusetzen.

Gruß Björn

13.09.2006, 21:41

*chica*

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Zitat:

Wenn die beiden Richtungsvektoren der Ebene parallel wären, würden sie keine Ebene aufspannen

hm?? ich hab gelesen, dass die ebene (auf welcher die eine gerade liegt) parallel zur zweiten (windschiefen) geranden sein müsste und dass man dann jeden beliebeigen punkt von der zweiten w.s. geraden (die ja nun parallel zur ebene, aber nicht zur ersten w.s. geraden ist) nehmen um den abstand zu berechnen!

stimmt das nich??? wie geht´s dann?? verwirrt

verwirrt

ciao *chica*

13.09.2006, 21:48

Bjoern1982

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Doch, das ist vollkommen richtig.

Nur wenn eine Gerade und eine Ebene zueinander parallel sind heisst das noch nicht, dass die Gerade zu beiden Richtungsvektoren der Ebene parallel sein muss (das kann auch gar nicht gehen).

Wichtig ist hier nur, dass beide Richtungsvektoren der Ebene senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden liegen.

Hast dus jetzt verstanden?

13.09.2006, 22:02

*chica*

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wow!!! jetzt komm ich mir total dumm vor!!1

Zitat:

beide Richtungsvektoren der Ebene senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden

und trotzdem liegt eine gerade drauf...?
hey weist du was, langsamm glaub ich echt, dass es für heute keinen sinn mehr macht! bin jetzt schon seit halb 12 hier an mathe und ganz erlich, ich glaub, dass ich mich jetzt nur noch festfahre!!

allerdings kann ich heute nicht schlafen, wenn ich das nicht lösen kann, und das weiß ich!!

also, kannst du mir bite die ebenengleichung aufstellen???

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 13 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bitte, bitte, bitte! Gott

Gott

ciao *chica*

13.09.2006, 22:23

Bjoern1982

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Naja, wir waren ja schon fast am Ziel.

Der Schlüssel war ja das Berechnen eines Normalenvektors dieser Ebene.
Ich hatte dir ja auch 3 Gleichungen in Abhängigkeit von n3 angegeben.
Diese als Vektor geschrieben und n3=k gesetzt wären doch dann:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{3}{4} k\\ \frac{5}{4} k \\ 1k\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt nur noch das k vor den Vektor gezogen und 1/4 "ausgeklammert " liefert

$\begin{eqnarray*} k \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für k=1 wäre also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ein möglicher Normalenvektor der Ebene.

Mehr als diesen Normalenvektor brauchst du für die Abstandformel ja auch nicht.

Jetzt alles klar?

13.09.2006, 22:25

*chica*

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hey, ich muss jetzt das feld räumen, meine kl. schwester will ins bett und ich hab zur zeit kein netz mehr an meinem PC traurig

traurig

naja ich schau aber morgen wieder rein! also fals dir langweilig sein sollte, dann könntest du ja mal an meine ebenengleichung denken...

also bis dannn mal Wink

Wink

ciao *chica*

13.09.2006, 22:26

*chica*

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danke, du bist suppie Mit Zunge

Mit Zunge

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