Ellipse-Krümmungskreis!

15.04.2009, 22:13	makBebe91	Auf diesen Beitrag antworten »
Ellipse-Krümmungskreis! Hallo Leute! Ich brauche dringend eine Lösung für mein Beispiel, da ich morgen eine Verbesserung der Schularbeit abgeben muss und ich mich noch nicht so ganz auskenne. Ich habe am Montag eh eine Prüfung und möchte bis dahin alles lernen, doch nun brauche ich ein paar Lösungen zu folgenden Aufgaben: Von einer Ellipse (in Hauptlage mit a² = 120 > b²) kennt man die Tangente t: 4x + 7y = 60 a) Ermittle die Gleichung der Ellipse. Zeige, dass T=(8/4) der Berührüunkt ist. b) Ermittle mit Hilfe der Differentialrechnung die Gleichung des Krümmungskreises der Ellipse in T. Beispiel a) habe ich schon gelöst, die Gleichung ist : e: 2x² + 7y² = 240 (b²=240/7) Nur bei Beispiel b) kenne ich mich nicht wirklich aus. Wie kann ich da den Krümmungskreis berechnen? y, y' konnte ich mir noch ausrechnen, doch auf y" komme ich gar nicht. Bitte um möglichst schnelle Hilfe! Danke im Vorraus
16.04.2009, 20:45	Rechenschieber	Auf diesen Beitrag antworten »
Leite einfach den positiven Teil der Ellipse einmal ab und setze dann x=8 in die Ableitung ein. Dort muss dieselbe Steigung erscheinen, wie die Tangentengleichung. Deine Funktion die du ableiten musst heißt: + Wurzel aus [(240-2x²)/7] LGR
16.04.2009, 21:30	Rechenschieber	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, ich glaube, ich hätte etwas mehr schreiben können: Wenn es das ist, was ich vermute, suchst du im Berührpunkt die beiden Radien. Die beiden Radien sind von einem beliebigen Ellipsenpunkt die beiden Abstände zu den Brennpunkten. Strecke PF1 = r1 = Wurzel aus [y²+(e-x)²] und PF2 = r2 = Wurzel aus [y²+(e+x)²].
16.04.2009, 23:13	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke, makBebe91 sucht den Berührkreis, also denjenigen Kreis, der die Ellipse bei $\begin{eqnarray} T(8\|4) \end{eqnarray}$ am besten approximiert. [attach]10295[/attach] Am besten implizit differenzieren. Ich bezeichne die Ableitung nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ mit einem Strich: $\begin{eqnarray} \text{(I)} \ \ 2 x^2 + 7 y^2 = 240 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{(II)} \ \ 2x + 7yy' = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{(III)} \ \ 2 + 7 y'^{\, 2} + 7yy'' = 0 \end{eqnarray}$ Aus $\begin{eqnarray} \text{(II)} \end{eqnarray}$ berechnest du für $\begin{eqnarray} x = 8 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y = 4 \end{eqnarray}$ die Steigung $\begin{eqnarray} y' = - \frac{4}{7} \end{eqnarray}$ und schließlich aus $\begin{eqnarray} \text{(III)} \end{eqnarray}$ die zweite Ableitung $\begin{eqnarray} y'' = - \frac{15}{98} \end{eqnarray}$ .
16.04.2009, 23:53	Rechenschieber	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, habe ich mir im Nachhinein auch überlegt und ihr dazu schon eine PN mit Links hinzugefügt. Ich habe darüber nachgelesen, es ist etwas komplizierter als man glauben mag. Die zweite Ableitung wird sie auf jeden Fall brauchen. Ich dachte schon, dass sie mal eine Stufe höher anklingelt. Den Plot hab ich auch, selbst bis zur zweiten Ableitung inkl. Mal sehen, wenn sie sich meldet... LGR

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