Determinante, Skalarprodukt

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16.04.2009, 17:31	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante, Skalarprodukt 1 ) a) Sind drei Vektoren im $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ gegeben, so kann man sie als Zeilen einer 3×3-Matrix auffassen. Zeigen Sie: Zu zwei beliebigen Vektoren $\begin{eqnarray} v,w \neq 0 \end{eqnarray}$ im $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ gibt es genau einen Vektor $\begin{eqnarray} z\in\mathbb R^3 \end{eqnarray}$ , so dass gilt: $\begin{eqnarray} z \bullet a=\det\begin{pmatrix} v \\ w \\ a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} a\in \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ Nun weiß ich nicht wie ich vorgehen soll: Ich würde so anfangen: Es gilt: $\begin{eqnarray} z \bullet a=z_1a_1+z_2a_2+z_3a_3 \end{eqnarray}$ und es müsste $\begin{eqnarray} \det\begin{pmatrix} v \\ w \\ a \end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix} v_1 & v_2 & v_3\\ w_1 & w_2 & w_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \end{pmatrix}=v_1\cdot (w_2a_3-a_2w_3)-w_1\cdot (v_2a_3-a_2v_3)+a_1\cdot(v_2w_3-w_2v_3) \end{eqnarray}$ Ich könnte das ein wenig umsortieren und es würde so aussehen: $\begin{eqnarray} (v_2w_3-w_2v_3)\cdot a_1+(w_1v_3-v_1w_3)\cdot a_2+(v_1w_2-w_1v_2)\cdot a_3 \end{eqnarray}$ Ist dann $\begin{eqnarray} z=\begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} v_2w_3-w_2v_3 \\ w_1v_3-v_1w_3 \\ v_1w_2-w_1v_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ? Danke
16.04.2009, 17:50	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist der gesuchte Vektor, dessen Existenz du bewiesen hast. Was ist mit der Eindeutigkeit?
16.04.2009, 18:10	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante, Skalarprodukt Danke bis hierhin: Ich muss also noch die Eindeutigkeit zeigen, dazu nehme ich an es gebe ein $\begin{eqnarray} z' \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} z' \bullet a=\det\begin{pmatrix} v \\ w \\ a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Es gilt: $\begin{eqnarray} z'\bullet a=z'_1a_1+z'_2a_2+z'_3a_3=z_1a_1+z_2a_2+z_3a_3=z\bullet a\Leftrightarrow a_1(z'_1-z_1)+a_2(z'_2-z_2)+a_3(z'_3-z_3)=0 \end{eqnarray}$ Jetzt würde ich irgendwie zeigen dass die Komponenten gleich sind, weiß aber nicht ob ich auf der richtigen Spur bin
16.04.2009, 18:50	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gleichung soll für alle Vektoren $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ gelten. Dann kannst du natürlich insbesondere ganz spezielle Vektoren für $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ einsetzen.
16.04.2009, 18:53	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm ich weiß grade leider nicht worauf du hinaus willst Was meinst du mit spezielle Werte für a? Kann ich z.B $\begin{eqnarray} a_1=a_2=0 \end{eqnarray}$ setzen und bekomme $\begin{eqnarray} z_3=z'_3 \end{eqnarray}$
16.04.2009, 19:24	Rare676	Auf diesen Beitrag antworten »
Was kannst du denn über den Vektor in Klammern sagen? Welchen Wert wird dieser nach Voraussetzung nicht annehmen? Und was bleibt dann für a ?
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16.04.2009, 21:40	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Ausdruck in der Klammer ist ungleich 0 oder?
16.04.2009, 21:47	Rare676	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn du $\begin{eqnarray} z \neq z' \end{eqnarray}$ voraussetzt, dann ist natürlich die die Differenz dieser Vektoren ungleich 0... Wie müsste man als dein a wählen, damit deine Gleichung erfüllt wäre? Du kommst nun bestimmt alleine weiter
16.04.2009, 21:54	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann sollte a=0 sein Ist das jetzt ein Widerspruch
16.04.2009, 22:02	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Wähle $\begin{eqnarray} a=e_1 \end{eqnarray}$ und erhalte $\begin{eqnarray} z_1'=z_1 \end{eqnarray}$ . Analog dann noch mit $\begin{eqnarray} a=e_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a=e_3 \end{eqnarray}$ .
16.04.2009, 22:10	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann geht das doch aber nur für a=e1 und nicht für alle a oder? Ich weiß das sind jetzt dumme fragen
16.04.2009, 22:43	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Dieser Teil der Aufgabe lautet: Wenn für alle $\begin{eqnarray} a\in\mathbb R^3 \end{eqnarray}$ die Gleichung $\begin{eqnarray} z\bullet a=\det\begin{pmatrix} v \\ w \\ a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gilt, dann ist $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ eindeutig bestimmt. Wenn das für alle gelten soll, dann darf man natürlich auch $\begin{eqnarray} e_1,e_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} e_3 \end{eqnarray}$ einsetzen und kommt dann auf $\begin{eqnarray} z=\begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} v_2w_3-w_2v_3 \\ w_1v_3-v_1w_3 \\ v_1w_2-w_1v_2 \end{pmatrix}=v\times w \end{eqnarray}$ . Wenn es also so einen Vektor gibt, dann ist es $\begin{eqnarray} v\times w \end{eqnarray}$ . Nur in der umgekehrten Richtung musst du dann nachrechnen, dass dieser Vektor die Gleichung auch wirklich für alle $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ erfüllt.
17.04.2009, 00:12	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
Das heißt ich muss noch die umgekehret Richtung nachrechnen:S Wie mache ich das denn?
17.04.2009, 01:09	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hast du doch in deinem ersten Post schon getan: Wenn du $\begin{eqnarray} z=v\times w \end{eqnarray}$ wählst, dann gilt nach deiner Rechnung gerade $\begin{eqnarray} z\bullet a=\det\begin{pmatrix} v \\ w \\ a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} a\in\mathbb R^3 \end{eqnarray}$ .
17.04.2009, 09:23	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die ursprüngliche Aufgabe wird trivial, wenn man benutzt, dass die Determinante dreier Vektoren mit deren Spatprodukt übereinstimmt, also det(v\|w\|a)=(v x w)a Hierbei bezeichnen die Operationen "x" und "" das Vektorprodukt bzw. das Skalarprodukt. Zu zeigen ist also, dass folgende Gleichung nur eine Lösung z hat (v x w)a=za Vergleich beider Seiten liefert sofort z= v x w, womit auch die Eindeutigkeit ist klar ist.
17.04.2009, 15:00	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Mathespezialschüler @Ehos Wir haben das Spatprodukt leider noch nicht definiert.

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