Vermessungsaufgabe (Vorwärtseinschneiden)

18.04.2009, 11:08

deziana

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Vermessungsaufgabe (Vorwärtseinschneiden)

Hallo,

ich hab mit folgender Aufgabe Probleme, ich weiß nicht so recht, wie und womit ich da genau anfangen soll!

Bitte helft mir!

Im Anhang befindet sich ein geometrisches Gebilde, von dem die Strecke AB = 483 m angegeben ist, desweiteren $\begin{eqnarray*} \alpha 1 \end{eqnarray*}$ = 108,7°; $\begin{eqnarray*} \alpha 2 \end{eqnarray*}$ = 41,5°; $\begin{eqnarray*} \beta 1 \end{eqnarray*}$ = 97°;
$\begin{eqnarray*} \beta 2 \end{eqnarray*}$ = 27,8°

Gesucht ist nun die Entfernung der Punkte P und Q!

Vielen Dank für eure Hilfe schomal im Vorraus!! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit (mY+): Titel geändert! Trigonometrie ist vieles, daher zu allgemein!

18.04.2009, 11:29

Airblader*

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Eine ganz ungeometrische Lösung:

Lege durch A ein Koordinatensystem, stelle die Geraden (AP) und (PB) auf und schneide sie -> du erhälst P. Analog für Q. Nun den euklidischen Abstand berechnen.

Für die Geraden geben dir die Winkel ja die Steigung, Nullstellen hast du auch.

air

18.04.2009, 12:47

deziana

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Wie macht man das mit dem Sinus bzw. Cosinussatz?
So sollen wir das jedenfalls machen und von dem anderen habe ich leider keine Ahnung!

18.04.2009, 13:19

riwe

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mit a =|AB| , e =|AQ| sowie d=|AP|

$\begin{eqnarray*} e:a=sin\beta_1:sin(\alpha_2+\beta_1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d:a =sin\beta_2:sin(\alpha_1+\beta_2) \end{eqnarray*}$

und nun benutzt du den cosinussatz im $\begin{eqnarray*} \Delta{AQP} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sphericalangle{(\alpha_1 -\alpha_2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |PQ|\approx 668.605933 \end{eqnarray*}$ smile

smile

18.04.2009, 14:37

deziana

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D.h zuerst muss die Seite e und d ermittelt werden und dann wird um e zu erhalten $\begin{eqnarray*} \frac{ \sin\beta_1}{(sin\alpha_2+\beta_1 )} \end{eqnarray*}$ und für d $\begin{eqnarray*} \frac{ \sin\beta_2}{(sin\alpha_1+\beta_2 )} \end{eqnarray*}$
gerechnet und danach wird der cosinussatz $\begin{eqnarray*} c^2= a^2+b^2-2a\cdot b\cdot cos\gamma \end{eqnarray*}$ mit dem Winkel $\begin{eqnarray*} (\alpha _1-\alpha _2) \end{eqnarray*}$ und damit habe ich dann die Entfernung der Punkte PQ bestimmt?

Ich weiß nicht wie ich dazu den Cosinussatz aufstellen soll, ich kenne ihn zwar aber habe ja kein b ??

18.04.2009, 14:47

riwe

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Zitat:

Original von deziana
D.h zuerst muss die Seite e und d ermittelt werden und dann wird um e zu erhalten $\begin{eqnarray*} \frac{ \sin\beta_1}{(sin\alpha_2+\beta_1 )} \end{eqnarray*}$ und für d $\begin{eqnarray*} \frac{ \sin\beta_2}{(sin\alpha_1+\beta_2 )} \end{eqnarray*}$
gerechnet und danach wird der cosinussatz $\begin{eqnarray*} c^2= a^2+b^2-2a\cdot b\cdot cos\gamma \end{eqnarray*}$ mit dem Winkel $\begin{eqnarray*} (\alpha _1-\alpha _2) \end{eqnarray*}$ und damit habe ich dann die Entfernung der Punkte PQ bestimmt?

Ich weiß nicht wie ich dazu den Cosinussatz aufstellen soll, ich kenne ihn zwar aber habe ja kein b ??

den 1. satz mußt du mir noch übersetzen smile

smile

das kommt mir (leider) sehr bekannt vor smile

smile

$\begin{eqnarray*} c\to |PQ| \quad{ }a\to e\quad{ }b\to d\quad{ } \gamma\to \alpha_1 -\alpha_2 \end{eqnarray*}$

wozu denkst du, habe ich ichgemalt:
im $\begin{eqnarray*} \Delta{AQP} \end{eqnarray*}$ traurig

traurig

traurig

traurig

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18.04.2009, 15:20

deziana

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Also wird zuerst der Sinussatz angewand, um die Seiten e und d zu errechnen!
e= $\begin{eqnarray*} \frac{sin97°}{sin(41,5°+97°)} \end{eqnarray*}$
für d wäre das dann $\begin{eqnarray*} \frac{sin 27,8°}{sin(108,7°+27,8°)} \end{eqnarray*}$
aber ich glaube das ist falsch! verwirrt

verwirrt

Der cosinussatz für diesen Fall müsste dann wie folgt lauten??
$\begin{eqnarray*} c^2= e^2+d^2-2\cdot e\cdot b\cdot 67,2° \end{eqnarray*}$

18.04.2009, 15:46

riwe

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Zitat:

Original von deziana
Also wird zuerst der Sinussatz angewand, um die Seiten e und d zu errechnen!
e= $\begin{eqnarray*} \frac{sin97°}{sin(41,5°+97°)} \end{eqnarray*}$
für d wäre das dann $\begin{eqnarray*} \frac{sin 27,8°}{sin(108,7°+27,8°)} \end{eqnarray*}$
aber ich glaube das ist falsch! verwirrt

verwirrt

Der cosinussatz für diesen Fall müsste dann wie folgt lauten??
$\begin{eqnarray*} c^2= e^2+d^2-2\cdot e\cdot b\cdot 67,2° \end{eqnarray*}$

da mußt nix glauben, das ist sogar saumäßig falsch.

es steht doch so schön da:

$\begin{eqnarray*} e:a=sin\beta_1 :sin(\alpha_2+\beta_1) \end{eqnarray*}$

und anlaloges gilt for d

und an einem hellen, sonnigen tag wie heute solltest du das RICHTIG nach e umstellen können böse

böse

18.04.2009, 15:55

deziana

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Achso ja klar, ich hab es falsch gelesen!

$\begin{eqnarray*} e= \frac{sin\beta_1}{sin (\alpha2+\beta1)} \cdot a \end{eqnarray*}$
und das Gleiche auch für d!

18.04.2009, 18:37

deziana

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Hier meine Ergebnisse!

Seite e = 267,37
Seite d = 312,95

Und für die Strecke PQ = 52287,15 bekomme ich nur dieses Ergebnis raus, was Falsch ist!

Wer kann weiter helfen??

18.04.2009, 18:54

sulo

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Du hast den Sinussatz falsch aufgestellt.

Er muss so lauten: $\begin{eqnarray*} e = \frac{483 \cdot sin97 }{sin41,5} \end{eqnarray*}$

Wobei zu beachten ist, dass die 41,5° entstehen aus: 180° - 97 ° - 41,5° und sich am Punkt Q befinden

18.04.2009, 18:55

riwe

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Zitat:

Original von deziana
Hier meine Ergebnisse!

Seite e = 267,37
Seite d = 312,95

Und für die Strecke PQ = 52287,15 bekomme ich nur dieses Ergebnis raus, was Falsch ist!

Wer kann weiter helfen??

das ist vorzüglich, auch

$\begin{eqnarray*} e\neq 267.37\quad{ }d\neq 312.96 \end{eqnarray*}$

vielleicht stellst du ja einmal deine rechnerei hier rein smile

smile

dann wird dir schon jemand weiter helfen

18.04.2009, 19:24

deziana

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Ich hab folgendes im Taschenrechner eingegeben:
Um e zu erhalten $\begin{eqnarray*} \frac{sin97\cdot 483}{sin(41,5+97)} = 267,36 \end{eqnarray*}$

und um d zu erhalten $\begin{eqnarray*} \frac{sin 27,8\cdot 483}{sin(108,7+27,8)} = 312,95 \end{eqnarray*}$

Dann habe ich versucht den Rest mit dem Cosinussatz auszurechnen mit folgender Rechnung:

$\begin{eqnarray*} c^2= 267,36^2+312,95^2-2\cdot 264,36\cdot 312,95\cdot cos 67,2°= 52287,15 \end{eqnarray*}$

Wo genau ist der Fehler???

PS: Ich bekomm das selbe Ergebnis mit meinem Sinussatz von sulo herraus !

18.04.2009, 19:26

sulo

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Ähmm, kannst Du nicht lesen? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Du hast den Sinussatz falsch aufgestellt.

Er muss so lauten: $\begin{eqnarray*} e = \frac{483 \cdot sin97 }{sin41,5} \end{eqnarray*}$

Wenn Du es so machst, bekommst du auch das richtige Ergebnis raus ....

18.04.2009, 19:27

deziana

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Zitat:

Original von sulo
Ähmm, kannst Du nicht lesen? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Du hast den Sinussatz falsch aufgestellt.

Er muss so lauten: $\begin{eqnarray*} e = \frac{483 \cdot sin97 }{sin41,5} \end{eqnarray*}$

Wenn Du es so machst, bekommst du auch das richtige Ergebnis raus ....

mit diesem Sinussatz bekomme ich das selbe herraus!

18.04.2009, 19:38

deziana

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kommt bei e 723,49 raus??

18.04.2009, 19:39

sulo

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Dann rechne mal so:

483 x sin 97° =

: sin 41,5°

Also schreibe ein "=", nachdem Du den Zähler eingegeben hast und teile dann das Ergebnis durch sin 41,5°

18.04.2009, 19:40

sulo

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Ja, ist richtig! Freude

Freude

18.04.2009, 19:46

riwe

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Zitat:

Original von deziana

Zitat:

Original von sulo
Ähmm, kannst Du nicht lesen? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Du hast den Sinussatz falsch aufgestellt.

Er muss so lauten: $\begin{eqnarray*} e = \frac{483 \cdot sin97 }{sin41,5} \end{eqnarray*}$

Wenn Du es so machst, bekommst du auch das richtige Ergebnis raus ....

mit diesem Sinussatz bekomme ich das selbe herraus!

es gibt nur EINEN sinussatz, nicht diesen und jenen

der ordnung halber

$\begin{eqnarray*} sin(180-\phi)=sin(138.5)=sin(41.5) \end{eqnarray*}$ smile

smile

18.04.2009, 19:55

deziana

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So nun bin ich beim cosinussatz und habe folgendes eingegeben:
(723,49)^2+(327,25)^2-2*(723,4)*(327,25)*cos67,2 und komme auf 446924,93 verwirrt

verwirrt

Das kann doch nicht stimmen!

18.04.2009, 19:58

sulo

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@ riwe
Du hast natürlich recht ... Das hatte ich nicht sofort bemerkt , weil mir noch die falsche Version, die Deziana weiter oben geschrieben hatte, im Kopf rumspukte.

Selbstverständlich kommt auf beiden Wegen das gleiche raus und ich denke, es hatte nur mit der Art und Weise zu tun, wie es in den Taschenrechner eingegeben wurde, dass deziana nicht auf die richtige Lösung kam...

Lieben Gruß, sulo

18.04.2009, 19:59

sulo

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Ist schon richtig ....

.... und dann musst Du nur noch die Wurzel ziehen und hast die Strecke errechnet ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.04.2009, 20:03

deziana

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Supi, ich komm endlcih auf die Richtige Lösung von 668,52m! Tanzen

Tanzen

Vielen Dank an euch beiden, ohne euch hätte ich das sicherlich nicht geschafft! smile

smile

Blumen

18.04.2009, 20:40

Rechenschieber

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Ich komme auf 668,606, genau wie Werner.
LGR

19.04.2009, 11:10

Alex-Peter

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RE: Vermessungsaufgabe (Vorwärtseinschneiden)
Hier eine rein zeichnerische Lösung

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