Beweis Assoziativgesetz

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Kia82 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Assoziativgesetz
Hallo,

vor mir liegt ein formaler Beweis zur Assoziativität von Gruppen bei Abbildungen, der wie folgt aussieht:

zu zeigen: h*(g*f)=(h*g)*f

linke Seite: [h*(g*f)] (x)
= h*(g*f) (x)
= h*g(f(x))
=h(g(f(x)))

rechte Seite: [(h*g)*f](x)
=(h*g)*f(x)
= (h*g) (f(x))
= h(g(f(x)))


nun meine Fragen:

1. stimmt dieser Beweis soweit?
2. Könnte mir den jemand mündlich darstellen? Mathematisch ist mir der Beweis klar, aber wenn ich ihn nun in eigene Worte fassen muss, will das bei mir nicht so ganz gelingen.

Vielen lieben Dank schonmal!
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

1) Ja, das ist OK
2) Was für eine Erklärung magst du denn haben? Eine Intuitive ist ein Bildli, wie man es zum Beispiel bei Wikipedia findet, siehe hier.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »
Assoziativ
@Kia82

Zwei Funktionen sind genau dann gleich, wenn sie für jedes Element aus dem Definitionsbereich denselben Wert im Wertebereich haben. Also gilt eine Aussage für die Komposition (=Hintereinanderausführung) von Abbildungen genau dann, wenn die Aussage für jeden Punkt x gilt. Viele Beweise über Funktionen werden dadurch geführt, daß man wie in diesem Beispiel die zu beweisende Aussage "punktweise" beweist.

In anderen Worten: Die Komposition von Abbildungen ist assoziativ, weil das Assoziativgesetz für jeden Punkt aus dem Definitionsbereich gilt.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildungen
@Kia82

deine Bemerkung "... Beweis zur Assoziativität von Gruppen bei Abbildungen, ..." verstehe ich nicht. Was haben Gruppen damit zu tun ?
Kia82 Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildungen
@ Elvis

die Assoziativität bezieht sich bei diesem Beweis auf die Hintereinanderausführung von Abbildungen. Diese ergeben eine Gruppe. Daher kann ich deiner Erklärung im Zusammenhang mit Gruppen leider auch nicht ganz folgen.
Kia82 Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Problem ist, dass ich eine mündliche Prüfung zu diesem Thema habe. Wenn dann die Frage kommt, erklären sie mal den oben genannten Beweis, dann kann ich ihn mathematisch hinschreiben, aber eben nicht mündlich erklären.
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »
Assoziativgesetz
Okay, alles klar, es geht also darum zu zeigen, daß Abbildungen bezüglich der Hintereinanderausführung Gruppen bilden.

Das tun sie, weil für Abbildungen f,g,h
1. f*g eine Abbildung ist (damit ist * eine Verknüpfung auf der Menge der Abbildungen)
2. die Hintereinanderausführung assoziativ ist, denn das gilt "punktweise"
3. ein neutrales Element e existiert, so daß e*f=f*e=f
4. zu jeder Abbildung f eine inverse Abbildung f~ existiert mit f*f~=f~*f=e

zu "2." Genau das zeigt dein ursprünglicher Beweis, den ich bereits in Worte gefaßt habe.
zu "3." und "4." Das mußt du noch beweisen.

Tip: Lege zunächst fest, wo die Definitionsbereiche und Wertebereiche deiner Abbildungen sind. Im Prinzip spielt das eine untergeordnete Rolle, aber es ist wichtig für den Punkt "1.". Auch die anderen Beweisteile werden sehr viel besser verständlich, wenn man mit konkreten Abbildungen zu tun hat und nicht nur mit irgendwelchen Symbolen f,g,h.
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