Ringisomorphismus folgern

19.04.2009, 16:33	babelon	Auf diesen Beitrag antworten »
Ringisomorphismus folgern Hallo, ich habe folgendes Problem. $\begin{eqnarray} \text{Sei } (R,+, \cdot ) \text{ ein Ring. Wir definieren den Ring } (R',+, \cdot ') \text{ wie folgt: Die Menge } R' \text{ ist gleich } R \text{. Die Addition in } R' \text{ ist dieselbe wie in } R \text{. Die Multiplikation } \cdot ' \text{ ist definiert als } a \cdot ' b := b \cdot a. \end{eqnarray}$ An dieser Stelle weiß ich durch Beweis bereits folgendes: $\begin{eqnarray} \text{(a) } (R', +, \cdot ') \text{ ist ein Ring.} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{(b) } (R, +, \cdot ) \text{ ist Schiefkörper } \Longleftrightarrow(R',+, \cdot ') \text{ ist Schiefkörper} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{(c) }((R')', +, ( \cdot ')') =(R, +, \cdot ) \end{eqnarray}$ Aber in (d) komme ich nicht weiter. Dort soll ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} R \cong S \Longleftrightarrow R' \cong S' \end{eqnarray}$ Mir ist natürlich klar, dass ich hier zwei logische Aussagen zu beweisen habe (die Hinrichtung und die Rückrichtung). Und ich habe mir die Bedingungen für Homomorphie und Isomorphie aufgeschrieben. Aber ich weiß nicht, wo ich ansetzen soll, weil meine Ideen mich nicht weiter bringen. Kann mir jemand bitte einen Tip geben. LG babelon
19.04.2009, 19:46	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphismus Wenn du einen Ringisomorphismus $\begin{eqnarray} \varphi: R\rightarrow S \end{eqnarray}$ hast, tut der's nicht genauso gut als Ringisomorphismus $\begin{eqnarray} \varphi: R'\rightarrow S' \end{eqnarray}$ ? Würde ich mal ausprobieren, wenn er's nicht tut, siehst du vielleicht, wie du ihn modifizieren mußt. Sag bitte bescheid, was raus kommt, das interessiert mich auch.
19.04.2009, 23:19	babelon	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schreibe hier jetzt mal auf, was ich raus habe: (dabei habe ich aber sehr viel Hilfe von anderer Seite bekommen) [Beweis:] (Hinrichtung) $\begin{eqnarray} \text{Nach Voraussetzung gilt: }R \cong S \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Sei } \varphi \text{ ein Isomorphismus zwischen R und S.} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Setze: } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \psi:R' \rightarrow S' \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{mit } x \rightarrow \varphi (x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Dann ist } \psi \text{ ein Isomorphismus, denn es gilt:} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{i) Seien } a,b \in R' \text{. Dann gilt} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{ }\psi(a)+ \psi(b)=\varphi(a)+ \varphi(b)= \varphi(a+b)=\psi(a+b) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{ii) Seien } a,b \in R' \text{. Dann gilt} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{ }\psi(a) \cdot ' \psi(b) = \varphi(a) \cdot ' \varphi(b)= \varphi(b) \cdot \varphi(a)= \varphi(b \cdot a)= \varphi(a \cdot ' b)= \psi(a \cdot ' b) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{iii) Mit } 1 \in R=R' gilt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \psi(1)= \varphi(1)=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{iv) } kern( \psi)=kern( \varphi)=1 \text{, da } \varphi \text{ injektiv.} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \psi \text{ ist injektiv.} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{v) } \psi(x)= \varphi(x) \text{ für alle} x \in R'=R \text{ und } \varphi \text{ ist surjektiv} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \psi \text{ ist surjektiv.} \end{eqnarray}$ (Rückrichtung) analog
19.04.2009, 23:57	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Bis auf die Tatsache, dass der Kern nur aus der Null und nicht aus der Eins besteht, stimmt das. Warum du für $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ den neuen Namen $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ eingeführt hast, verstehe ich aber nicht.
20.04.2009, 19:28	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ringisomorphismus @babelon Vielen Dank für die Antwort. Das sieht gut aus, leuchtet ein, und entspricht meinen Erwartungen. Was soll man denn auch sonst machen, wenn eine solche Aufgabe gestellt wird und nichts da ist außer einem Isomorphismus $\begin{eqnarray} \varphi : R\rightarrow S \end{eqnarray}$ ? Dein Beweis ist insbesondere bei der Multiplikation ganz prima, denn das ist die wesentliche Stelle. Mir ist noch nicht ganz klar, warum du von Hinrichtung und Rückrichtung sprichst. Jedenfalls wissen wir doch schon, daß $\begin{eqnarray} ((R')',+,(\cdot')')=(R,+,\cdot) \end{eqnarray}$ , und deshalb können wir wohl auf die "analoge" Beweisführung verzichten.
20.04.2009, 21:44	babelon	Auf diesen Beitrag antworten »
@Mathespezialschüler: in diesem Fall meine ich natürlich den kern bzgl. der additiven Gruppe und nicht bzgl der Multiplikation. Damit ist es die 0 und nicht die 1. Du hast Recht ! Ich finde es schon schön, wenn man mit $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ den Beweis macht, da man ja noch nicht weiß, wo es hinführt, sodass man die 'beiden' Abbildungen voneinander trennen kann @Elvis: Ich verstehe nicht, wie Du (c) nutzt, damit die Rückrichtung klar ist. LG babelon
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20.04.2009, 22:26	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur Rückrichtung: Wenn $\begin{eqnarray} R'\simeq S' \end{eqnarray}$ , dann gilt nach dem, was du eben bewiesen hast, auch $\begin{eqnarray} (R')'\simeq (S')' \end{eqnarray}$ . Da aber $\begin{eqnarray} (R')'=R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (S')'=S \end{eqnarray}$ ist, heißt das schon $\begin{eqnarray} R\simeq S \end{eqnarray}$ .
21.04.2009, 19:54	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ringisomorphismus Hallo, ich bin's nochmal, mit einer kleinen Nebenbemerkung, denn ich habe noch etwas mehr über den (immer noch schönen) Beweis nachgedacht, und glaube du hättest dir etwas Arbeit ersparen können. Weil die Mengen gleich sind $\begin{eqnarray} R=R', S=S' \end{eqnarray}$ und auch die Addition unverändert bleibt, ist als additive Gruppe $\begin{eqnarray} (R,+)=(R',+), (S,+)=(S',+) \end{eqnarray}$ . Also ist der Ringisomorphismus $\begin{eqnarray} \varphi : (R,+,\cdot)\rightarrow (S,+,\cdot) \end{eqnarray}$ als Gruppenisomorphismus $\begin{eqnarray} \varphi : (R+)\rightarrow (S,+) \end{eqnarray}$ auch ein Gruppenisomorphismus $\begin{eqnarray} \varphi : (R',+)\rightarrow (S',+) \end{eqnarray}$ . Beweisen muß man also tatsächlich nur $\begin{eqnarray} \varphi(a\cdot'b)=\varphi(a)\cdot' \varphi(b) \end{eqnarray}$

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