Kettenregel - Verständnisproblem

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Lerisah Auf diesen Beitrag antworten »
Kettenregel - Verständnisproblem
Hallo,
ich hänge zur Zeit irgendwie bei der Kettenregel fest und verstehe nur Bahnhof.
Kettenregel ist ja folgende:




Ich habe hier jetzt folgendes Beispiel aus dem Lambacher Schweizer:



So, jetzt teilen die hier die Funktion erstmal auf in folgende Teile:







1. Wieso lauten v und u und ? Für mich wäre und (ohne Basis x) logischer... verwirrt

2. Wieso fällt bei das weg ? Das ist doch die korrekte Ableitung von unserem x³ ?

Wäre nett, wenn mich jemand aufklären könnte, ich stehe entweder ganz gewaltig auf dem Schlauch oder bin einfach zu blöd dafür... Wink

EDIT: Latex etwas verbessert (klarsoweit)
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kettenregel - Verständnisproblem
Zitat:
Original von Lerisah
1. Wieso lauten v und u und ? Für mich wäre und (ohne Basis x) logischer... verwirrt

Was soll denn für eine Funktion sein? Oder anders gefragt: was soll denn genommen werden?

Zitat:
Original von Lerisah
2. Wieso fällt bei das weg ? Das ist doch die korrekte Ableitung von unserem x³ ?

Das "Quadrat" ist ja auch noch da. Nur wird es nicht an das x gehängt, sondern an das v(x). Mir scheint, daß du noch ein bißchen Probleme mit verschachtelten Funktionen hast.

Tipp: vermeide Zeilenschaltungen im Latexcode.
Lerisah Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kettenregel - Verständnisproblem
Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von Lerisah
1. Wieso lauten v und u und ? Für mich wäre und (ohne Basis x) logischer... verwirrt

Was soll denn für eine Funktion sein? Oder anders gefragt: was soll denn genommen werden?


Unsere Funktion in der Klammer soll hoch3 genommen werden. Würde ich das x³ ja als "ganze" Funktion nehmen hätte ich doch die Klammer * x³ ?
Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von Lerisah
2. Wieso fällt bei das weg ? Das ist doch die korrekte Ableitung von unserem x³ ?

Das "Quadrat" ist ja auch noch da. Nur wird es nicht an das x gehängt, sondern an das v(x). Mir scheint, daß du noch ein bißchen Probleme mit verschachtelten Funktionen hast.


Wieso kommt das an unser v dran ?

Irgendwie will ich immer multiplizieren, und das mit dem verschachteln ist für mich irgendwie total unlogisch geschockt
Sich das alles selbst beizubringen ist manchmal echt schwer
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kettenregel - Verständnisproblem
Also machen wir mal 2 Übungen:

1) Wir setzen v(x) = 5x-1 und u(x) = sin(x). Was ist dann u(v(x)) ?

2) Wir setzen v(x) = 5x-1 und u(x) = x³. Was ist dann u(v(x)) ?
Lerisah Auf diesen Beitrag antworten »

1) u(v(x)) = sin (5x-1)

2) u(v(x)) = (5x-1)³
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr schön. Und wenn wir uns u(v(x)) = (5x-1)³ ansehen, dann ist das gerade das f(x), das du ableiten möchtest. Also Kettenregel nehmen, einsetzen, fertig.
 
 
Lerisah Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich habs mal versucht:

1.) f ' (x)= 5 cos (5x-1)

2.) f ' (x)= 15 (5x-1)²
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Alles richtig. Freude
Lerisah Auf diesen Beitrag antworten »

da hab ich`s ja tatsächlich nochmal geschafft

Danke mal wieder ;o)

Könnte ich eigentlich auch, wenn ich eine gebrochenrationale Funktion untersuchen soll, auch nur die Quotientenregel verwenden, wenn ich mir alles ausmultipliziere ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt Hast du mal ein Beispiel?
Lerisah Auf diesen Beitrag antworten »

Quotientenregel eben, 1. Ableitung damit und dann die 2. für mein v² benötige ich doch dann die Kettenregel. Und wenn ich mein v² einfach vorher ausrechne und damit weiter ableite geht das doch auch oder nicht ?

Hmm, ich hab das grad mal selbst probiert an einem Beispiel.. da kommen endlos riesige Zahlen raus... wohl keine gute Idee verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Die Anfälligkeit für Fehler ist da enorm größer. Augenzwinkern
Lerisah Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich habe nochmal versucht eine gebrochenrationale Funktion abzuleiten. Ich finde aber meinen Fehler nicht unglücklich






=> u'(x)=3x^{2} -1 und v'(x)=2x

1. Ableitung: Quotientenregel ->



Die 1. Ableitung stimmt, das steht so auch im Beispielheft drin.

Nun zur 2. Ableitung: Quotietenregel im Nenner, Kettenregel im Zähler:




=>

v(x) leite ich mit der Kettenregel ab, also:


-> u(v(x))






Ableitung von Verkettung: 2x(x²-4) * 2x = 4x (x²-4)

Da soll nun rauskommen als 2. Ableitung:

Bei mir kommen da total die komischen riesigen megazahlen raus mit x hoch 5 etc..... Hab ich die Kettenregel falsch angewendet ? Ich sitz seit 30min dran und finde den Fehler nicht...

edit: MOAH und zu blöd für Latex bin ich anscheinend auch noch böse
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lerisah


Müßte das nicht sein?

Zitat:
Original von Lerisah
Ableitung von Verkettung: 2x(x²-4) * 2x = 4x (x²-4)

Kleiner Tippfehler: 2(x²-4) * 2x = 4x (x²-4)

Am besten gibst du jeden Zwischenschritt an. Und was heute mit dem Latex los ist, weiß ich auch nicht.
knups Auf diesen Beitrag antworten »

oh weih! Das ist schwer zu lesen.
Also: der Zähler sei u(x) =x^3 - x, der Nenner v(x) = x^2 - 4, dann sind die Ableitungen
u´(X) = 3x^2 - 1 und v´(x) = 2x.
Mit der Quotientenregel müßte das doch nun zu bewältigen sein.Wie kommst du zu der merkwürdigen Ableitung des Zählers???
Der sich ergebende Bruch für f´(x) muß natürlich vereinfacht werden im Zähler (Nenner stehen lassen!!) , dann wie gehabt den Zähler und den Nenner (Potenzregel, Kettenregel) diff.
Ich hoffe, das ist etwas besser lesbar - ich bi für Latex im Moment zu faul und vielleicht funktioniert es ja auch noch nicht wieder.
Zur Kontrolle der 2.Ableitung: der Zähler ist 6x(x^2+12),
der Nenner natürlich (x - 4)^3
Lerisah Auf diesen Beitrag antworten »

@klarsoweit: Also bei mir im Heft steht +4 im Zähler nicht -4

Tippfehler, weil das x wegfällt bei 2x vor der Klammer (also u(x)) oder ?

@knups: Welche merkwürdige Ableitung meinst Du denn ? f'(x) ?

Ich rechne das jetzt nochmal alles von a-z durch und poste es mit Zwischenschritten, wenn ichs wieder verhaue Big Laugh
Lerisah Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich komme nicht auf diesesa dämliche Ergebnis, irgendwie setze ich was falsch ein bzw. zusammen, ich habe keine Ahnung und keinen Nerv mehr Teufel




Funktionen in u (x) und v (x) zerlegen:





Daraus folgen die Ableitungen:



v'(x) wird zerlegt in innere und äußere Funktion:

innere:

äußere:

Einsetzen ergibt:



Kettenregel besagt:



Einsetzen:

= = v'(x) => in die Quotientenregel einsetzen:









Zusammenfassen:



Ich kapier es nicht... wo ist mein Fehler ? böse
knups Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, aber das lag an der recht umständlichen Methode, x^2 als u(x) zu setzen.





Dein Fehler:v´(x) ist falsch! rictig ist
v´(x)=
Lerisah Auf diesen Beitrag antworten »

ich rechne doch in meinem letzten Beitrag mit der Ableitung


bzw.


und komm nicht auf die im Zähler verwirrt

Ich kapiers nicht...
knups Auf diesen Beitrag antworten »

diese Zeile ist eindeutig falsch - und ich habe keine Lust, den Rest durchzurechnen


= = v'(x) => in die Quotientenregel einsetzen
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lerisah
= = v'(x) => in die

Hier hast du bei der Kettenregel gehuddelt, zu´m Glück aber mit dem richtigen Ergebnis gerechnet. Es muß heißen:


Zitat:
Original von Lerisah
Quotientenregel einsetzen:



Hier ist erstmal der Nenner falsch. Desweiteren ist es ratsam, nicht die Klammern im Zähler auszumultiplizieren, sondern erst (x² - 4) auszuklammern und rauszukürzen. Das führt zu:



Jetzt kannst du die Klammern ausmultiplizieren.

Zitat:
Original von Lerisah
Zusammenfassen:



Hier hast du die x³-Terme falsch zusammengefaßt und hinter der 288 fehlt ein x.
knups Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Rechnung ist nicht so ganz falsch (das ist in der Mathe natürlich unsinnig, entweder oder). Die 1.Abl. stimmt, bei der 2.Abl. ist wohl irgendwo ein Rechenfehler.Im Zähler muß 72x, nicht 72 stehen und im Nenner natürlich (x^2 - 4)^3
also Minus statt plus.
Ich hpffe, du findest deinen Fehler
Wäre nett, wenn du antworten würdest
Gruß aus der Rhön

Hier ist ein Fehler! Ein Faktor x ist zuviel

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