Vektoren - Aufgabe mit quadratischer Pyramide

22.04.2009, 18:32

sunshine89

Vektoren - Aufgabe mit quadratischer Pyramide

Hab noch ein Problem...

Die Aufgabe lautet:

Eine gerade quadratische Pyramide hat die Grundfläche ABCD [A $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , B $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , C, D $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ]. Die Spitze liegt in der Ebene $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ :z=8.

a. Ermittle die Koordinaten von C und S und zeige, dass ABCD ein Quadrat ist.

b. Berechne den Winkel zwischen zwei beliebigen benachbarten Seitenkanten.

c. Berechne das Volumen und die Oberfläche der Pyramide.

Manche Dinge hab ich verstanden und auch die richtige Lösung bekommen.
Meine Fragen zu der Aufgabe:

- Wie berechne ich S ?
- Wie komme ich auf die Oberfläche?

22.04.2009, 18:43

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Schneide die Gerade, die auf der Grundfläche der Pyramide senkrecht steht und durch die Quadratmitte geht, mit der Ebene $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Die Quadratmitte ist die Mitte der Punkte $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ (oder $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ). Und wie du den Richtungsvektor der Geraden bekommst, sollte klar sein.

22.04.2009, 19:01

sunshine89

Auf diesen Beitrag antworten »

Also den Richtungsvektor habe ich.

Aber wie schneide ich diesen jetzt mit der Ebene?

Die Ebene heisst ja nur $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ :z=8

...hm, ich steh auf der Leitung.

22.04.2009, 20:53

TyrO

Auf diesen Beitrag antworten »

Setzte einfach die Koordinaten der Gerade in die Ebene ein und löse nach der Variablen auf.

22.04.2009, 21:03

sunshine89

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich scheine zu blöd zu sein.

Die Koordinaten sind ja

8
2
-2

...aber wie soll ich das in die Ebene einsetzen wenn die Ebene nur $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ :x=8 ist?

Versteh nicht wie das geht?

22.04.2009, 22:37

TyrO

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von sunshine89
Ich scheine zu blöd zu sein.

Die Koordinaten sind ja

8
2
-2

...aber wie soll ich das in die Ebene einsetzen wenn die Ebene nur $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ :x=8 ist?

Versteh nicht wie das geht?

Poste mal die ganze Gerade in Parameterform.

22.04.2009, 22:41

sunshine89

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} +t*\begin{pmatrix} 8 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

..oder darf ich bei dem Punkt nicht einfach irgend ein Punkt einsetzen? Setzte jetzt mal A ein....

Oder hab ich nicht mal die Gleichung richtig aufgestellt?

22.04.2009, 22:48

TyrO

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du denn auf diese Gerade. Der Punkt S liegt genau über dem Mittelpunkt der Strecke $\begin{eqnarray*} [AC] \end{eqnarray*}$

Nennen wir ihn M

$\begin{eqnarray*} \vec{OM} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Richtungsvektor der Geraden ist der Normalenvektor der Ebene, in der das Quadrat liegt.
Also suchen diesen Normalenvektor.

22.04.2009, 22:52

sunshine89

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenne ja den Punkt A und den Punkt C (hab ich berechnet)

Und dann C-A...und das ergibt ann (8/2/-2)

So kam ich auf den Richtungsvektor.

Hmm, deine Antwort muss ich jetzt noch mal überdenken.

22.04.2009, 23:05

TyrO

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich lös dir das mal. Es ist ja schon spät.

Der Normalenvektor ist gesucht.

$\begin{eqnarray*} \vec{AC} = \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{n} * \vec{AC} = 0 \end{eqnarray*}$

(I) $\begin{eqnarray*} 8n_1 + 2n_2 - 2n_3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{n} * \vec{AB} = 0 \end{eqnarray*}$

(II) $\begin{eqnarray*} 4n_1 + 4n_2 + 2n_3 = 0 \end{eqnarray*}$

(I) + (II)

$\begin{eqnarray*} 12n_1 + 6n_2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 12n_1 = - 6n_2 \end{eqnarray*}$

frei gewählt: $\begin{eqnarray*} n_2 = -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n_1 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 4 - 8 + 2n_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4 = 2n_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n_3 = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die gesuchte Gerade ist also :

$\begin{eqnarray*} \vec{g} : \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda*\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt lassen wir die Ebene und die Gerade schneiden.
Wir müssen dafür einfach nur die x3 Koordinate in die Ebene einsetzen.

$\begin{eqnarray*} 2 + 2*\lambda = 8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2*\lambda = 6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda = 3 \end{eqnarray*}$

In die Gerade einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \vec{OS} = \begin{pmatrix} 7 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

23.04.2009, 10:30

sunshine89

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, danke - aber ich habe noch zwei Fragen...

1) Wie kommst du auf den Punkt der Geraden? Von wo ist der? (4/2/1)

2) Ich verstehe nicht wie du die Gerade und die Ebene schneiden lassen hast? Wie kommst denn du auf diese Zahlen? : $\begin{eqnarray*} 2 + 2*\lambda = 8 \end{eqnarray*}$

verwirrt

Neue Frage »

Antworten »

Vektoren - Aufgabe mit quadratischer Pyramide

Verwandte Themen