Wie den Erwartungswert einer Funktion ausrechnen?

Neue Frage »

Steve06 Auf diesen Beitrag antworten »
Wie den Erwartungswert einer Funktion ausrechnen?
Hallo zusammen,
es soll der Erwartungswert folgendes (vereinfachten) Problems ermittelt werden:
,
wobei W eine normalverteilte Zufallsvariable (Wiener Prozess) sei und Alpha und Sigma Konstanten.



Bin für hilfreiche Kommentare dankbar.

Grüße
Steve
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Offenbar ist V logarithmisch normalverteilt. Da gilt es nur noch, die entsprechenden Parameter zu ermitteln.
 
 
Steve06 Auf diesen Beitrag antworten »

so herum habe ich es schon gelöst, also mit der Umrechnungsformel des Erwartungswertes für die Lognormal-Verteilung, ausgehend von den Normalverteilungsmomenten.

Ich wollte es nur, zur Probe und um auch mal etwas zu lernen, auf direktem Wege lösen können bzw. gezeigt bekommen.

Gruß und Dank
Steve
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Dann musst du dir anschauen, wie man das Erwartungswertintegral löst. Zunächst mal solltest du es aufstellen! Wo klemmt's denn da?
Steve06 Auf diesen Beitrag antworten »

bitte schön: (so gut ich es kann, hoffe es stimmt so)


Ist das so korrekt? Dann bleibt immer noch das Problem, das Integral zu lösen. Partielle Integration erscheint mir nicht erfolgsversprechend, da durch Ableitung eines Faktors kein einfacherer Term herauskommt.
Habe die Normalverteilungsparameter Beta und Gamma genannt, damit es keine Verwechslung mit dem Sigma gibt.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist

.

Den Exponenten



kannst du nun mit quadratischer Ergänzung bzgl. umformen. Mit der passenden Substitution kannst du dann das bekannte Normaverteilungsintegral



bei der Berechnung nutzen.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Steve06


Ist das so korrekt?

Das frage ich mich auch grade ... verwirrt ... wo kommen überhaupt beta und gamma her?
Steve06 Auf diesen Beitrag antworten »

@dual space:

Beta und Gamma stehen für "Mü" und "Sigma", also Erwartungswert und Std-Abw. der Normalverteilung. Jedoch wird das Sigma in der Problemstellung von oben bereits anderweitig verwendet.
Ich habe die Normalverteilungsdichtefkt. eingesetzt.
Stimmt etwas damit nicht?
Steve06 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
...Mit der passenden Substitution kannst du dann das bekannte Normaverteilungsintegral



bei der Berechnung nutzen.


Bin dabei das auszurechnen. Wenn ich diese letzte Beziehung von Dir nutze, bleibt aber (auf der rechten Seite Deiner Gleichung) gar kein z mehr übrig, also auch nichts, womit zurücksubstituiert werden kann, stimmt's?

Stimmt diese Gleichung überhaupt genau so? Konnte sie unter Wikipedia zumindest bei "Normalverteilung" nicht finden... ?
Steve06 Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, die gleichung muss stimmen, denn es kommt zum Schluss das gewünschte Ergebnis heraus (wie bei Anwendung der direkten Umwandlungsformel zwischen Log-N und Normal-Erwartungswerten).
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Steve06
Beta und Gamma stehen für "Mü" und "Sigma", also Erwartungswert und Std-Abw. der Normalverteilung.

Bzgl. welcher Zufallsgröße?
Steve06 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dual Space
Zitat:
Original von Steve06
Beta und Gamma stehen für "Mü" und "Sigma", also Erwartungswert und Std-Abw. der Normalverteilung.

Bzgl. welcher Zufallsgröße?


Dem Wert des Wiener-Prozesses W.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Demzufolge ist also und ?

Jetzt muss ich aber nochmal nachhaken, wie du auf dieses Integral kommst. Warum wird bzgl. des Prozesses W integriert?
Steve06 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dual Space
Demzufolge ist also und ?

Jetzt muss ich aber nochmal nachhaken, wie du auf dieses Integral kommst. Warum wird bzgl. des Prozesses W integriert?


Beta und Gamma stimmen so!

Das Integral ergibt sich aus der Regel für die Berechnung von Erwartungswerten von Funktionen von Zufallsvariablen, siehe etwa Wikipedia.
Man kann aufgrund der e-Funktion nicht einfach den Erwartungswert in den Exponenten hochziehen und in diesem Falle für für e hoch 0 eine 1 bekommen.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Steve06
Das Integral ergibt sich aus der Regel für die Berechnung von Erwartungswerten von Funktionen von Zufallsvariablen, siehe etwa Wikipedia.

Link?

Irgendwas scheint mir bei diesem Integral nicht zu stimmen, denn dieses lässt sich nur mit der Ito-Formel integrieren.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@Dual Space

Du bist da auf dem falschen Dampfer, begünstigt durch die von Steve gewählte unglückliche Schreibweise: Er betrachtet den Wienerprozess zu einem festen Zeitpunkt , d.h. sein ist nichts weiter als eine gewöhnliche normalverteilte Zufallsgröße . Und an der Stelle

Zitat:
Original von Steve06

hätte er wohl besser



schreiben sollen, hier ist nämlich ein ganz gewöhnliches Integral (kein Ito-Integral) gemeint. Augenzwinkern
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

OK ... so langsam dämmert es. Idee!

Und schnell zurück nach Bahrain. Big Laugh
Steve06 Auf diesen Beitrag antworten »

anbei noch der Wikipedia-Link zum Erwartungswert von Funktionen von Zufallsvariablen: http:
//de.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert#Erwartungswerte_von_Funktionen_von_Zufallsvariablen
, die erste Formel.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »