Gerades Prisma

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24.04.2009, 11:43	sunshine89	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerades Prisma Hallo zusammen, hier noch eine Aufgabe, die ich nicht verstehe. Die Aufgabenstellung lautet: Das Dreieck ABC [ $\begin{eqnarray} A\begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} B\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} C\begin{pmatrix} 0 \\ y \\ z>0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ] ist die Grundfläche eines geraden Prismas mit der Höhe $\begin{eqnarray} h=\sqrt{3} \end{eqnarray}$ a. Bestimme die Koordinaten von C so, dass ABC ein gleichseitiges Dreieck ist. b. Ermittle die Koordinaten der übrigen Eckpunkte (2 Lösungen) c. Berechne Volumen und Oberfläche des Prismas. Eine Skizze habe ich gemacht, habe jetzt allerdings keine Ahnung wie ich auf die Koordinaten von C kommen soll. Und ich verstehe auch nicht, wie ich die übrigen Eckpunkte ermitteln kann. (Um das Volumen und die Oberfläche kümmerte ich mich noch nicht, da ich dazu ja erstmal a. und b. benötige) Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben wie ich das zu rechnen habe? Ich hab nämlich keine Ahnung.
24.04.2009, 12:04	123Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! $\begin{eqnarray} a. \end{eqnarray}$ Was muss bei einem gleichseitigen Dreieck gelten? Bestimme dazu die Längen $\begin{eqnarray} \|\vec{AB}\| \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \|\vec{AC}\| \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|\vec{BC}\| \end{eqnarray}$ . Teil b. und c. später. Gruß
24.04.2009, 12:15	123Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
b. Die Höhenlinie ist senkrecht zur Ebene durch $\begin{eqnarray} ABC \end{eqnarray}$ . Bestimme also ein Vektor $\begin{eqnarray} \vec{n}_0 \end{eqnarray}$ der senkrecht zur Ebene ist und die Länge 1 hat. (Einheitsnormalenvektor) Hinweis hierzu: Bestimme erstmal ein Vektor der senkrecht zur Ebene ist und teile dann diesen durch seinem Betrag. Dann kann man die Punkte bestimmen durch $\begin{eqnarray} \vec{A'} = \vec{A} + \sqrt{3} \cdot \vec{n}_0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B' \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} C' \end{eqnarray}$ analog. c. $\begin{eqnarray} V = \text{Grundfläche} \cdot \text{Höhe} \end{eqnarray}$ . Du musst die Fläche des gleichseitigen Dreiecks berechnen.
24.04.2009, 12:57	sunshine89	Auf diesen Beitrag antworten »
Also zuerst mal zu a. Im gleichseitigen Dreieck gilt: AB=AC=BC Die Länge von AB und BC habe ich, aber wie bekomm ich die Lösung von AC? Wie rechne ich das folgende aus? : $\begin{eqnarray} \sqrt{(-3)^2+(y-7)^2+z^2} \end{eqnarray}$
24.04.2009, 13:01	123Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist \|AB\|?
24.04.2009, 13:09	sunshine89	Auf diesen Beitrag antworten »
AB ist 7,07 ...oder ist das nicht richtig?
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24.04.2009, 13:13	123Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, $\begin{eqnarray} \|AB\| = \sqrt{50} \end{eqnarray}$ . Dann muss weiter gelten: 1) $\begin{eqnarray} \|AC\| = \sqrt{50} \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} \|BC\| = \sqrt{50} \end{eqnarray}$ Dies sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Kann man wunderbar lösen Tipp: Quadriere beide Gleichungen.
24.04.2009, 13:23	sunshine89	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du bei AB auf $\begin{eqnarray} \sqrt{50} \end{eqnarray}$ ? Und ergibt BC=4+y+z ? Und AC=-4+y-z ? ...ich glaube, ich rechne etwas falsch, da das Ergebnis schlussendlich so nicht stimmt.
24.04.2009, 13:28	123Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} \|AB\| = \sqrt{1+49} = \sqrt{50} \approx 7,07 \end{eqnarray}$ . Dann $\begin{eqnarray} \|BC\| = \sqrt{16+y^2+z^2} = \sqrt{50} \end{eqnarray}$ (Quadrieren) => $\begin{eqnarray} 16+y^2+z^2 = 50 \end{eqnarray}$ (1. Gleichung)
24.04.2009, 14:10	sunshine89	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, die erste Gleichung verstehe ich, aber die zweite? Lautet die so?: $\begin{eqnarray} 9+y^2-14y+49+z^2=50 \end{eqnarray}$ ...sollte das stimmen schaff ichs nicht, die zwei Gleichungen so aufzulösen, dass ich auf die einzelnen Variablen komm.
24.04.2009, 14:17	123Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gleichung stimmt Aber du kannst besser $\begin{eqnarray} 9+(y-7)^2 + z^2 = 50 \end{eqnarray}$ stehen lassen. Also hast du 1) $\begin{eqnarray} 16+y^2+z^2 = 50 \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} y^2 + z^2 = 34 \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} 9+(y-7)^2 + z^2 = 50 \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} (y-7)^2 + z^2 = 41 \end{eqnarray}$ Tipp: Subtrahiere die 1. Gleichung von der 2. Dann ist die Variable $\begin{eqnarray} z^2 \end{eqnarray}$ eleminiert.
24.04.2009, 14:39	sunshine89	Auf diesen Beitrag antworten »
Juhu - das hab ich geschafft - Danke ...so, jetzt zu b. Was ist denn meine Ebene von ABC?
24.04.2009, 14:40	123Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Was haste für $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ raus?
24.04.2009, 14:42	sunshine89	Auf diesen Beitrag antworten »
y = 3 z = 5
24.04.2009, 14:46	123Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
sehr schön Also hast du die Punkte $\begin{eqnarray} A = (3\|7\|0) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} B =(4\|0\|0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} C = (0\|3\|5) \end{eqnarray}$ . Die Ebene dadurch hat die Richtungsvekoren $\begin{eqnarray} \vec{AB} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{AC} \end{eqnarray}$ . Bestimme jetzt einen Vektor, der senkrecht zu $\begin{eqnarray} \vec{AB} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{AC} \end{eqnarray}$ ist.
24.04.2009, 14:53	sunshine89	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, lautet die Ebene so? : $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 1 \\ -7 \\ 0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -3 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn ja - wie bestimme ich denn jetzt den Vektor, der senkrecht zu $\begin{eqnarray} \vec{AB} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{AC} \end{eqnarray}$ ist?
25.04.2009, 11:43	sunshine89	Auf diesen Beitrag antworten »
Phu, es hat endlich klick gemacht bei b. Danke @123Mathe Jetzt hab ich ein Problem beim Volumen. Die Formel lautet ja $\begin{eqnarray} V=Gh \end{eqnarray}$ oder? Dann hab ich zuerst die Grundfläche berechnet mit $\begin{eqnarray} \frac{\vec{a}\vec{b}}{2} \end{eqnarray}$ Und anschliessend müsste ich diese Grundfläche ja nur noch mit der Höhe multiplizieren, also mit $\begin{eqnarray} \sqrt{3} \end{eqnarray}$ ..würde das stimmen? Bei mir kommt dann folgendes raus: V=43,29 VE ...laut der richtigen Lösung müssten es aber 37,5 VE sein. Kann mir jemand sagen was ich falsch mache?
25.04.2009, 12:06	sunshine89	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok - hab meinen Fehler entdeckt. Ich rechnete bei $\begin{eqnarray} \frac{\vec{a}\vec{b}}{2} \end{eqnarray*}$ nicht mit dem Kreuzprodukt, ich multiplizierte ganz normal. Und da liegt ja der Fehler

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