Linearität, Verknüpfung von Funktionen, Diagonalisierbarkeit...

24.04.2009, 12:56

peter_k

Linearität, Verknüpfung von Funktionen, Diagonalisierbarkeit...

Es sei K ein Körper und $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ der K-Vektorraum aller (n,n)-Matrizen über K, also $\begin{eqnarray*} V=K_{n,n} \end{eqnarray*}$
Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \varphi: V\rightarrow V \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} A\rightarrow A- A^t \end{eqnarray*}$

eine lineare Abbildung ist und dass $\begin{eqnarray*} f(\varphi)=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 -2x \end{eqnarray*}$ gilt. Ist $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ diagonalisierbar?

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So...ich habe mit dem Teil $\begin{eqnarray*} f(\varphi)=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 -2x \end{eqnarray*}$ angefangen.

Das bedeutet doch nichts anderes als:

$\begin{eqnarray*} f(\varphi)=( A-A^t)^2 -2(A-A^t) \end{eqnarray*}$

oder?

Und da $\begin{eqnarray*} A \in K_{n,n} \end{eqnarray*}$ habe ich das einfach mal so geschrieben:

$\begin{eqnarray*} f(\varphi)=(\begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1n} \\ ... & ... & ... \\ a_{n1} & ... & a_{nn} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{n1} \\ ... & ... & ... \\ a_{1n} & ... & a_{nn} \end{pmatrix})^2 - 2(\begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1n} \\ ... & ... & ... \\ a_{n1} & ... & a_{nn} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{n1} \\ ... & ... & ... \\ a_{1n} & ... & a_{nn} \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

Aber wenn ich das jetzt weiter ausrechne komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 0 & a_{12}-a_{21} & ... & a_{1n-a_n1} \\ a_{21}-a_{12} & 0 & ... & a_{2n}-a_{n2} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1}-a_{1n} & a_{n2}-a_{2n} & ... & 0 \end{pmatrix}^2 - 2(\begin{pmatrix} 0 & a_{12}-a_{21} & ... & a_{1n-a_n1} \\ a_{21}-a_{12} & 0 & ... & a_{2n}-a_{n2} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1}-a_{1n} & a_{n2}-a_{2n} & ... & 0 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

Und das ist ja nicht gleich 0, wenn ich mich nicht täusche...wo liegt hier der Fehler?

24.04.2009, 14:02

Reksilat

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RE: Linearität, Verknüpfung von Funktionen, Diagonalisierbarkeit...
Hallo Peter,

Zitat:

So...ich habe mit dem Teil $\begin{eqnarray*} f(\varphi)=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 -2x \end{eqnarray*}$ angefangen.

Das bedeutet doch nichts anderes als:

$\begin{eqnarray*} f(\varphi)=( A-A^t)^2 -2(A-A^t) \end{eqnarray*}$

oder?

Nein, denn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bildet Abbildungen aus $\begin{eqnarray*} {\rm Hom}(V,V) \end{eqnarray*}$ wieder auf $\begin{eqnarray*} {\rm Hom}(V,V) \end{eqnarray*}$ ab. Hier ist gemeint, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ auf die Nullabbildung abbildet.

Es ist also zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f(\varphi)=\varphi\circ \varphi -2\varphi \end{eqnarray*}$ die Nullabbildung auf $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist.

Gruß,
Reksilat.

24.04.2009, 14:20

peter_k

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Achso...danke!

Also relativ simpel:

$\begin{eqnarray*} \varphi \circ \varphi -2\varphi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \varphi(A-A^t) - 2(A-A^t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = A-A^t - (A-A^t)^t-2(A-A^t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = A-A^t-A^t +A-2A+2A^t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -2A^t+2A^t+2A-2A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 0 \end{eqnarray*}$

Müsste ja soweit richtig sein, oder? Linearität ist ja simpel zu zeigen...Wegen der Diagonalisierbarkeit muss ich noch mal grübeln.

24.04.2009, 14:21

Reksilat

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Dann mach das mal... Bisher OK.

24.04.2009, 16:44

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von peter_k
$\begin{eqnarray*} \varphi \circ \varphi -2\varphi \end{eqnarray*}$ [...]

Dort muss $\begin{eqnarray*} (\varphi\circ\varphi-2\varphi)(A) \end{eqnarray*}$ stehen.

24.04.2009, 23:16

peter_k

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OK, danke.

Gibt es noch ne andere Möglichkeit die Diagonalisierbarkeit zu prüfen, als mit dem charakterstischen-/Minimalpolynom?

Weil wie ich folgende Determinante ausrechnen soll, ist mir ein Rätsel:

$\begin{eqnarray*} \chi_{\varphi(A)} (x)= \begin{vmatrix} -x & a_{12}-a_{21} & ... & a_{1n}-a_{n1} \\ a_{21}-a_{12} & -x & ... & a_{2n}-a_{n2} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1}-a_{1n} & a_{2n}-a_{n2} & ... & -x\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

25.04.2009, 00:27

Reksilat

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Also erstens sollst ja nicht das charakteristische Polynom von $\begin{eqnarray*} \varphi(A) \end{eqnarray*}$ ausrechnen, sondern von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ .

Nur zur Übung: Wenn wir die Matrixdarstellung von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ berechnen wollen (eine $\begin{eqnarray*} n^2\times n^2 \end{eqnarray*}$ -Matrix!), dann brauchen wir doch zuerst eine Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ - nehmen wir also die Standardbasis $\begin{eqnarray*} \{\delta_{ij}|i,j\} \end{eqnarray*}$ (Matrizen mit lauter Nullen und einer Eins an der Stelle (i,j)).
Damit ist $\begin{eqnarray*} \varphi(\delta_{11})=\delta_{11}-\delta_{11}^T=0 \end{eqnarray*}$ , der erste Basisvektor wird also auf Null abgebildet und in der ersten Spalte von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ stehen somit lauter Nullen. Den Rest der Matrixdarstellung kann man ähnlich berechnen, das wollen wir hier aber nicht tun.

Wie Du ja sagst, möchtest Du das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ berechnen. Dann schau doch einfach mal nach, welche Eigenschaften das Minimalpolynom hat und suche nach Hinweisen dazu in dieser Aufgabe. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

25.04.2009, 10:50

peter_k

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Kann man denn einfach sagen, da $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 - 2x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ auf die Nullmatrix abbildet, dass es das charakteristische Polynom ist?

Muss ich dafür noch zeigen, dass die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ Eigenwerte von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ sind?

25.04.2009, 11:38

Reksilat

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Zwei Mal Nein:
1) Das charakteristische Polynom von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ hat den Grad $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ (wie oben geschrieben eine n²xn²-Matrix), $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ dagegen hat den Grad 2. Das kann es also nicht sein.
Versuche doch noch mal genauer die Eigenschaften von charakteristischem und Minimalpolynom zu nachzulesen.

2) Die Nullstellen des charakteristsichen Polynoms sind genau die Eigenwerte der linearen Abbildung - das muss man nicht noch zeigen.

Gruß,
Reksilat.

25.04.2009, 15:18

peter_k

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Naja..die einzigen Eigenschaften des charakteristischen Polynoms $\begin{eqnarray*} \chi_A(x) \end{eqnarray*}$ , die ich kenne sind:

i) zerfällt es vollständig in paarweise verschiedene Linearfaktoren, so ist A diagonalisierbar

ii) Nullstellen sind Eigenwerte von A

Und fürs Minimalpolynom:

i) zerfällt es vollständig in paarweise verschiedene Linearfaktoren, so ist A diagonalisierbar

ii) es hat die gleichen Nullstellen wie $\begin{eqnarray*} \chi_A(x) \end{eqnarray*}$

iii) es teilt $\begin{eqnarray*} \chi_A(x) \end{eqnarray*}$

iv) im Allgemeinen sind das charakteristische und das Minimalpolynom verschieden

Sehe jetzt aber keinen Hinweis in der Aufgabe dazu verwirrt

25.04.2009, 16:02

Reksilat

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Was Du vergessen hast ist, dass $\begin{eqnarray*} \chi_A(A)=0 \end{eqnarray*}$ ist, ebenso $\begin{eqnarray*} m_A(A)=0 \end{eqnarray*}$ und außerdem:

Gilt $\begin{eqnarray*} f(A)=0 \end{eqnarray*}$ für eine beliebiges Polynom $\begin{eqnarray*} 0\neq f\in K[x] \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} m_A \end{eqnarray*}$ ein Teiler dieses Polynoms. Deshalb heißt es ja auch Minimalpolynom.

Gruß,
Reksilat.

PS: Die Eigenschaft (iv) ist ziemlich sinnlos, da ja die beiden Polynome gleich, aber auch verschieden sein können.

25.04.2009, 17:02

peter_k

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Ok, also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, teilt das Minimalpolynom $\begin{eqnarray*} \mu_\varphi(x) \end{eqnarray*}$ das Polyonom $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2-2x \end{eqnarray*}$ .

Da ja $\begin{eqnarray*} f(x)=(x-2)x \end{eqnarray*}$ gilt, kommt ja als Teiler nur $\begin{eqnarray*} x^2-2x \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (x-2) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in Frage...aber wenn wir da nun $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ einsetzen muss ja auch wieder die Nullmatrix rauskommen.

Also käme ja nur $\begin{eqnarray*} \mu = f(x) \end{eqnarray*}$ als Minimalpolynom in Frage. War das jetzt richtig gedacht? verwirrt

25.04.2009, 17:09

Reksilat

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Im Prinzip ja, da fast immer $\begin{eqnarray*} \varphi\neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi-2\neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt. Einzig wenn die Dimension des Vektorraums n=1 ist, kommt was anderes raus.

Gruß,
Reksilat.

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