Wieso wird 0/0 nicht definiert?

24.04.2009, 18:41

Ivan33

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Wieso wird 0/0 nicht definiert?

Eigentlich müsste $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} = a \end{eqnarray*}$ sein, da es egal ist, wie oft man z.B. 0 Kuchen zerschneiden soll damit man 0 Kuchen hat. - Es sind ja bereits 0 Kuchen.

In mathematischen Formeln bewiesen:
$\begin{eqnarray*} a \times 0 = 0<br /> \frac{0}{0} = a \end{eqnarray*}$

Oder:
$\begin{eqnarray*} \frac{0}{a} = 0<br /> \frac{0}{0} = a \end{eqnarray*}$

Wieso wird diese Gleichung dann nicht definiert?

Liegt es vielleicht daran, dass man aus dieser Gleichung beweisen kann dass $\begin{eqnarray*} 0^{0} = a \end{eqnarray*}$ ist, was eine unsinnige Aussage ist?

Denn: $\begin{eqnarray*} 0^{0} = \frac{0^{0+1}}{0} = \frac{0^{1}}{0} = \frac{0}{0} = a \end{eqnarray*}$

Und: Wieso wird $\begin{eqnarray*} 0^{0} \end{eqnarray*}$ als 1 definiert, wenn die Division durch 0 nicht definiert ist?

24.04.2009, 18:48

Q-fLaDeN

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RE: Wieso wird 0/0 nicht definiert?

Zitat:

Original von Ivan33
Und: Wieso wird $\begin{eqnarray*} 0^{0} \end{eqnarray*}$ als 1 definiert, wenn die Division durch 0 nicht definiert ist?

Das stimmt nicht. $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ ist ein undefinierter Ausdruck, genau so wie das teilen durch 0...

Es existiert lediglich der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to 0^+}~k^k = 1 \end{eqnarray*}$

24.04.2009, 18:50

Ivan33

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Doch es wird definiert.

Der Google Taschenrechner und der Windows Rechner kennt $\begin{eqnarray*} 0^{0} \end{eqnarray*}$ .

24.04.2009, 18:58

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von Ivan33
Doch es wird definiert.

Nein!

Zitat:

Original von Ivan33
Der Google Taschenrechner und der Windows Rechner kennt $\begin{eqnarray*} 0^{0} \end{eqnarray*}$ .

Diese Rechner kennen z. B. auch $\begin{eqnarray*} \left(-\frac{1}{2}\right)! \end{eqnarray*}$ (was nach den Rechnern übrigens $\begin{eqnarray*} \sqrt \pi \end{eqnarray*}$ ergibt), warum und wieso weiss ich auch nicht. Geschweige denn weiss ich, was die da rechnen. Aber definiert ist es sicher nicht. Siehe z. B. hier, letzter Satz in der Definition:

http://de.wikipedia.org/wiki/Fakult%C3%A4t_(Mathematik)#Definition

24.04.2009, 19:05

Elvis

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keine Division durch 0
@Ivan33

Warum $\begin{eqnarray*} \frac 0 0 \end{eqnarray*}$ nicht definiert wird, hast du fast schon gezeigt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du könntest es nämlich jedem beliebigen Wert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ gleichsetzen, es ist nicht sinnvoll, weil danach 1=2 wäre.

Im übrigen ist $\begin{eqnarray*} 0^0=1 \end{eqnarray*}$ sinnvoll nach dem Permanenzprinzip, weil $\begin{eqnarray*} x^0=1 \end{eqnarray*}$ immer gilt. das paßt sehr gut zu allen anderen Potenzgesetzen, und es ist eindeutig.

24.04.2009, 19:05

AD

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Die nächste Generation fragt...
... und da sollte man auch antworten. Eine einfache Antwort lautet:

Zitat:

Unter dem Quotienten $\begin{eqnarray*} x = \frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ versteht man üblicherweise die eindeutige (!) Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} p = q\cdot x \end{eqnarray*}$ , so sie denn existiert!

Die Gleichung $\begin{eqnarray*} 0 = 0\cdot x \end{eqnarray*}$ hat aber keine eindeutige Lösung, sonderen mehrere.

Wenn du es ausführlicher magst, kannst du dich ja durch die vielen Seiten unseres Klassiker-Threads

durch 0 teilen

wühlen - viel Spaß noch dabei! smile

smile

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24.04.2009, 19:35

Ivan33

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@Elvis

Hast recht!

Ich habe es ja schon fast gezeigt!

a ist nämlich eine Variable die ich z.B. durch 1 als auch durch 2 ersetzen kann.

Falls die Division durch 0 also definiert wäre würde

$\begin{eqnarray*} a^{0} = 1 = 2<br /> 1 = 2<br /> bzw.<br /> x = y \end{eqnarray*}$

gelten.

Aber die Definition $\begin{eqnarray*} 0^{0} = 1 \end{eqnarray*}$ halte ich nicht für sinnvoll, da die Division durch 0 nicht definiert ist.

24.04.2009, 19:36

Frank Xerox

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Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Diese Rechner kennen z. B. auch $\begin{eqnarray*} \left(-\frac{1}{2}\right)! \end{eqnarray*}$ (was nach den Rechnern übrigens $\begin{eqnarray*} \sqrt \pi \end{eqnarray*}$ ergibt), warum und wieso weiss ich auch nicht.

Die Fakultät lässt sich durch die Gammafunktion verallgemeinern, da

$\begin{eqnarray*} \Gamma(n)=(n-1)!, ~n\in\mathbb N. \end{eqnarray*}$

Wegen

$\begin{eqnarray*} \Gamma\left(\frac 12\right)=\sqrt{\pi} \end{eqnarray*}$

kommt man dann wohl zu

$\begin{eqnarray*} \left(-\frac 12\right)!=\sqrt{\pi} \end{eqnarray*}$ .

Das hat natürlich mit der anschaulichen Definition der Fakultät, für die natürlichen Zahlen, nicht mehr viel zu tun.

24.04.2009, 19:43

Leopold

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RE: keine Division durch 0

Zitat:

Original von Elvis
Im übrigen ist $\begin{eqnarray*} 0^0=1 \end{eqnarray*}$ sinnvoll nach dem Permanenzprinzip, weil $\begin{eqnarray*} x^0=1 \end{eqnarray*}$ immer gilt. das paßt sehr gut zu allen anderen Potenzgesetzen, und es ist eindeutig.

Ja und nein.

$\begin{eqnarray*} 0^4 = 0 \, , \ \ 0^3 = 0 \, , \ \ 0^2 = 0 \, , \ \ 0^1 = 0 \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ nach dem Permanenzprinzip?

24.04.2009, 19:49

IfindU

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Das artet wohl in eine philosophische Diskussion aus:
Wenn ich nicht Nichts habe, besitze ich dann etwas?

Da finde ich die Antwort "vielleicht" (nicht definiert) noch am sinnvollsten.

Nebenbei: Dann hat die 0 doch kein inverses multiplikative Element, ich dachte jeder Körper muss zu jedem Element ein Inverses besitzen.

24.04.2009, 19:51

Ivan33

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RE: keine Division durch 0

Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von Elvis
Im übrigen ist $\begin{eqnarray*} 0^0=1 \end{eqnarray*}$ sinnvoll nach dem Permanenzprinzip, weil $\begin{eqnarray*} x^0=1 \end{eqnarray*}$ immer gilt. das paßt sehr gut zu allen anderen Potenzgesetzen, und es ist eindeutig.

Ja und nein.

$\begin{eqnarray*} 0^4 = 0 \, , \ \ 0^3 = 0 \, , \ \ 0^2 = 0 \, , \ \ 0^1 = 0 \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ nach dem Permanenzprinzip?

Stimmt! Ein weiterer Grund weshalb die Definition $\begin{eqnarray*} 0^{0} = 1 \end{eqnarray*}$ nicht sinnvoll ist.

Außerdem finde ich es nicht sinnvoll alles vom Permanenzprinzip herzuleiten.

Ansonsten wäre $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} = 1 \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} \frac{x}{x} = 1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Vertrauen wir doch lieber der Realität. Und aus theoretischer Sicht ist $\begin{eqnarray*} 0^{0} \end{eqnarray*}$ eben unsinnig.

24.04.2009, 20:00

Leopold

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Dennoch gibt es Situationen, wo, ohne daß man viel Aufhebens davon macht, $\begin{eqnarray*} 0^0 = 1 \end{eqnarray*}$ interpretiert wird. Etwa bei einem Polynom oder einer Potenzreihe:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{k=0}^n a_k x^k \end{eqnarray*}$

So ist $\begin{eqnarray*} f(0) = a_0 \end{eqnarray*}$ , und niemand stört sich daran, daß $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ gar nicht definiert ist. Es wird einfach die Funktion $\begin{eqnarray*} x \mapsto x^0 \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ stillschweigend stetig ergänzt.

24.04.2009, 20:31

Dual Space

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@ivan33: Bist du wirklich erst 12 Jahre alt? In diesem Falle muss ich dir in gewisser Weise ein mathematisches "Talent" attestieren. Denn du argumentierst ziemlich gut für jemanden der in der Schule gerade das Bruchrechnen lernt. Freude

Freude

24.04.2009, 22:25

Elvis

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Unter Permanenzprinzip verstehe ich hier, daß man eine Möglichkeit gefunden hat, das Potenzgesetz $\begin{eqnarray*} x^{a+b}=x^a\cdot x^b \end{eqnarray*}$ sinnvoll und eindeutig fortzusetzen auf $\begin{eqnarray*} x^a=x^{a+0}=x^a\cdot x^0 \end{eqnarray*}$ , daher ist $\begin{eqnarray*} x^0=1 \end{eqnarray*}$ und deshalb muß auch $\begin{eqnarray*} 0^0=1 \end{eqnarray*}$ sein , wenn überhaupt irgendetwas.

25.04.2009, 10:58

BarneyG.

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Hallo,

ehe es vergessen wird:

Zitat:

Nebenbei: Dann hat die 0 doch kein inverses multiplikative Element, ich dachte jeder Körper muss zu jedem Element ein Inverses besitzen.

Da hast du leider falsch gedacht. Die Axiomatik eines Körpers verlangt nur die Existenz eines inversen mulitplikativen Elements für alle Elemente, die von 0 VERSCHIEDENEN sind! Die Forderung nach der Existenz eines inversen Elements für die 0 würde sofort zu Widersprüchen mit den anderen Axiomen führen. Aber das ist ja in dem von Arthur Dent genannten Thread bereits ausführlich durchgekaut worden.

Tja, und wie ist das nun mit dem Argument, des Permanenzprinzips? Kann man die Regeln der Potenzrechnung wirklich erhalten, wenn man 0 hoch 0 = 1 setzt? Das stimmt leider auch nicht!

Auf den ersten Blick kann man tatsächlich viel erreichen. Wie ja mein Vorredner ausgeführt hat.

Zitat:

Unter Permanenzprinzip verstehe ich hier, daß man eine Möglichkeit gefunden hat, das Potenzgesetz $\begin{eqnarray*} x^{a+b}=x^a\cdot x^b \end{eqnarray*}$ sinnvoll und eindeutig fortzusetzen auf $\begin{eqnarray*} x^a=x^{a+0}=x^a\cdot x^0 \end{eqnarray*}$ , daher ist $\begin{eqnarray*} x^0=1 \end{eqnarray*}$ und deshalb muß auch $\begin{eqnarray*} 0^0=1 \end{eqnarray*}$ sein , wenn überhaupt irgendetwas.

Aber auf den zweiten Blick stimmt es dann eben doch nicht mehr:

Setzen wir doch mal x = 0, a=2 und b=-2. Dann erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} 0^{(2-2)}=0^{2}\cdot 0^{-2} \end{eqnarray*}$

Und damit hat man

$\begin{eqnarray*} 0^{0}=0\cdot 0^{-2} \end{eqnarray*}$

Und damit müsste $\begin{eqnarray*} 0^{0}=0 \end{eqnarray*}$ sein.

Das Ganze scheitert eben daran, dass die Division durch Null nicht definiert ist. Wie man es auch dreht und wendet, es gibt keine Definition für den Ausdruck 0 hoch 0, die die Regeln der Potenzrechnung nicht in irgend einer Weise verletzt.

Grüße

25.04.2009, 12:32

Ivan33

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Zitat:

Original von Dual Space
@ivan33: Bist du wirklich erst 12 Jahre alt? In diesem Falle muss ich dir in gewisser Weise ein mathematisches "Talent" attestieren. Denn du argumentierst ziemlich gut für jemanden der in der Schule gerade das Bruchrechnen lernt. Freude

Freude

Ja, ich bin wirklich 12 Jahre alt.

25.04.2009, 13:09

BarneyG.

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Hallo Ivan33,

na, wenn du erst 12 Jahre alt bist, dann will ich dir auch mal mathematisches Talent attestieren. Toll argumentiert. Du wirst es sicher weit bringen im Leben, wenn du neugierig bleibst und fleißig lernst!

Aber noch mehr als dein jugendliches Alter beindruckt mich dann die geradezu geniale Wahl deines Nicks Ivan33. Denn das legt ja nun eher ein Alter von 33 Jahren nahe. Oder von 76 Jahren, falls es sich um das Geburtsjahr gehandelt hätte. Wenn du mir diesen kleinen Scherz mal freundlicherweise gestattest! Big Laugh

Big Laugh

Grüße

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