Nullstelle

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25.04.2009, 16:03	Gast09	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstelle Hallo Leute, stehe vor folgendem Problem: Zeige, dass x-cos(x)=0 eindeutig lösbar ist und die Lösung in [pi/6,pi/3] liegt. Also: Gesucht ist Nullstelle von f(x)=x-cos(x). Dass eine Nullstelle existiert zeigt man z.B. mit dem Mittelwertsatz! Dass es genau eine gibt, habe ich versucht zu zeigen, dass f injektiv auf ganz R ist ( Klappt bei mir nicht). Also der Versuch: Betrachte f auf I=[pi/6,pi/3]. Dann ist f(pi/6)<0 und f(pi/3)>0 => Es. ex. eine Nullstelle. Weiter ist f '(x)=1+sin(x)>0 in I =>seien x,y aus I: 0=f(x)-(y)=f '(xi)(x-y) => x=y => f injektiv in I also genau eine Nusllstelle in I und weiter? Vielen Dank
25.04.2009, 16:05	Gast09	Auf diesen Beitrag antworten »
Viell. hat jemand einen weg zu zeigen, dass f injektiv auf R ist, dann ist man fertig!
25.04.2009, 18:44	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte wie folgt vorgehen: Da $\begin{eqnarray} \|\cos x\|\leq 1 \end{eqnarray}$ können Nullstellen höchsten im Intervall $\begin{eqnarray} [-1, 1] \end{eqnarray}$ auftreten. Da im Intervall $\begin{eqnarray} [-1, 0) \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \cos x > 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x < 0 \end{eqnarray}$ können Nullstellen nur im Intervall $\begin{eqnarray} [0, 1] \end{eqnarray}$ auftreten. Da im Intervall $\begin{eqnarray} [0, 1] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ streng monoton steigend ist und $\begin{eqnarray} \cos x \end{eqnarray}$ streng monoton fallend, kann es dort höchstens eine Nullstelle geben. Da $\begin{eqnarray} \pi/3 > 1 \end{eqnarray}$ , kann die rechte Intervallgrenze durch $\begin{eqnarray} \pi/3 \end{eqnarray}$ ersetzt werden. Es ist $\begin{eqnarray} \cos{\pi/6}=\sqrt{3}/2>\pi/6 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cos{\pi/3}=1/2<\pi/3 \end{eqnarray}$ . Also liegt die einzige Nullstelle im Intervall $\begin{eqnarray} [\pi/6, \pi/3] \end{eqnarray}$ . q.e.d.
25.04.2009, 20:05	Gast09	Auf diesen Beitrag antworten »
Also erstmal danke für die antwort! eigentlich ist auch alles soweiet klar, außer die letzte Zeile sagt mir jetzt nichts so recht! Gäbe es denn noch eine andere möglichkeit, wie z.b mit der injektivität? oder man zeigt dass es eine Nullstelle gibt, nimmt an es gibt eine weitere und bringt das entweder zum widerspruch oder zeigt dass beide gleich sind??
25.04.2009, 20:42	Gast09	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab viell eine möglichkeit gefunden und würde gerne wissen ob das richtig ist: Also es ex. eine Nullstelle klar. Sei x,y mit f(x)=f(y)=0 Dann gilt: 1) $\begin{eqnarray} \mid x-y \mid = \mid cos(x)-cos(y) \mid = \mid sin(\xi)(x-y) \mid \leq \mid x-y \mid \end{eqnarray}$ 2) x=arcos(x), y=arcos(y) $\begin{eqnarray} \mid x-y \mid = \mid arcos(x)-arcos(y) \mid = \mid \frac{1}{\sqrt{1-(\xi)^2}}(x-y) \mid \geq \frac{1}{1-(\xi)^2}\mid x-y \mid \geq \mid x-y \mid \end{eqnarray}$ aus 1 und 2 folgt x=y
25.04.2009, 20:53	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Die letzte Zeile besagt mit anderen Worten, für die Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = x - \cos x \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} f(\pi/6) < 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (f(\pi/3)) > 0 \end{eqnarray}$ . Da f(x) stetig ist, folgt, dass es in dem Intervall eine Nullstelle gibt. Und schon vorher habe ich gezeigt, dass es höchstens eine Nullstelle geben kann. Dein letzter Beitrag ist mir unverständlich geblieben.
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25.04.2009, 20:57	Gast09	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, dann ist die zeile klar, und der letzte beitrag ist einfach "nur" so, ob man es so machen kann!
25.04.2009, 21:00	Gast09	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich nehme an, es gebe eine weitere nullstelle y und zeige dass die gleich x ist ! hab alles etws kurz aufgeschrieben, im prinzip zweimal mittelwertsatz...meinst du das geht so oder sieht du irgednwo ein fehler?
25.04.2009, 21:09	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir sind die angegebenen Formeln nach wie vor etwas unklar. Einfacher scheint mir auf jeden Fall der Weg über die strenge Monotonie von x und cos x in dem fraglichen Intervall.

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