Schwerpunkt von 2 Dreiecken

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26.04.2009, 15:45	PS277	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwerpunkt von 2 Dreiecken Mein Problem ist folgendes: Es gilt: AF:FC = CE:EB = BD: DA Und ich soll bweisen, dass: Das Dreieck ABC und das Dreieck DEF haben den gleichen Schwerpunkt. Als Hinweise hab ich noch: 1. Ich brauche keinen Vektorzug 2. Setze Vektor(AF)= r Vektor(AC), Vektor(CE) = r Vektor(CB), Vektor(BD) = r Vektor(BA) Ich selbst habe bis jetz noch keine idee gehabt wie ich überhaupt am sinnmäßigsten anfangen könnte, hoffe ihr könnt mir dabei helfen. [attach]10350[/attach] MfG PS277
26.04.2009, 18:18	Alex-Peter	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwerpunkt von 2 Dreiecken Tipp: Den Schwerpunkt S in einem Dreieck findest Du: Verbinde den Eckpunkt eines Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenueber liegenden Seite, und das fuer alle drei Eckpunkte, A, B, und C. Mache das gleiche auch fuer das kleinere Dreieck. Dann nachdenken.... ?
26.04.2009, 19:31	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bezeichne den Mittelpunkt von $\begin{eqnarray} \overline{AB} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ und den Schwerpunkt mit $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ , dann ist der Vektor $\begin{eqnarray} \overrightarrow{AS} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{MC} \end{eqnarray}$ (Schwerpunktseigenschaft). Mit der Vereinbarung $\begin{eqnarray} \vec{a} = \overrightarrow{AB} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{b} = \overrightarrow{AC} \end{eqnarray}$ ist das Dreieck vollständig festgelegt. Der Schwerpunktsvektor ist dann $\begin{eqnarray} \overrightarrow{AS} = \frac{\vec{a}}{2} + \frac{1}{3}(\vec{b} - \frac{\vec{a}}{2})=\ldots \end{eqnarray}$ Nun machst du dasselbe mit dem Dreieck $\begin{eqnarray} DEF \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \overrightarrow{AF} = r \vec{b} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \overrightarrow{AE} = \vec{b} + \ldots \end{eqnarray}$ . Bezeichne den Mittelpunkt von $\begin{eqnarray} \overline{DF} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} M_1 \end{eqnarray}$ und bestimme $\begin{eqnarray} \overrightarrow{M_1E} \end{eqnarray}$ . Du kannst nun zeigen, dass $\begin{eqnarray} \overrightarrow{AM_1} + \frac{1}{3}\overrightarrow{M_1E} = \overrightarrow{AS} \end{eqnarray}$ ist. mY+
03.05.2010, 22:01	Valk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komme bei diesem Beweis leider nicht weiter. Ich habe für $\begin{eqnarray} \vec{AE} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \vec{b} \end{eqnarray}$ + r * $\begin{eqnarray} \vec{c} \end{eqnarray}$ Ebenso gilt doch: $\begin{eqnarray} \vec{AE} = \vec{AM_{1}} + \vec{M_{1}E} \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} \vec{AS} = \vec{AM_{1}} + \vec{M_{1}E} \end{eqnarray}$ folgt jeweils mit Vektoren: b/3 + ra/3 - (A $\begin{eqnarray} M_{1} \end{eqnarray}$ )/3 + (A $\begin{eqnarray} M_{1} \end{eqnarray}$ ) = b/3 woraus folgt: b/3 + ra/3 + 2/3 * (A $\begin{eqnarray} M_{1} \end{eqnarray}$ ) = b/3 Aber weiter komme ich nicht, und mein Lösungsweg scheint mir sowieso fragwürdig. Vlt. kann mir jemand helfen? Vielen Dank. PS: Entschuldigt den Doppelpost, ich hoffe, jetzt ist es lesbar Edit (mY+): Ich habe den fehlerhaften Beitrag davor gelöscht.
03.05.2010, 23:23	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
eine variante mit $\begin{eqnarray} t=\frac{\overline{AF}}{\overline{FC}} \end{eqnarray}$ und den entsprechenden ortsvektoren $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ ... dann gilt für den ortsvektor des schwerpunktes S im $\begin{eqnarray} \Delta{ABC}\quad{ } \vec{s}=\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \end{eqnarray}$ und analog für das $\begin{eqnarray} \Delta{DEF}\quad{ } \vec{s}_{DEF}=\frac{1}{3}(\vec{d}+\vec{e}+\vec{f}) \end{eqnarray}$ nun ist aber $\begin{eqnarray} \vec{d}=\vec{b}+t\cdot\overrightarrow{BA} \end{eqnarray}$ usw. einsetzen ergibt die behauptung
04.11.2011, 13:28	gast123456	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo ich versteh bei dieser aufgabe nicht wie das verfahren beim dreieck DEF funktioniert. könnte mir das einer nochmal erklären ? mfg
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04.11.2011, 21:25	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Teilverhältnis, welches die Punkte F, E und D auf den entsprechenden Seiten erzeugen, ist auf allen drei Seiten gleich, wir setzen es t. Für das kleinere Dreieck verwenden wir nun dieselbe Schwerpunktsformel (s = (1/3)(a + b + c)), die Ortsvektoren zu D, E, F sind nach obigen Voraussetzungen: d = b + tBA e = c + tCB f = ... ------------------- Die Addition und Beachtung der Orientierung der neben dem Parameter t stehenden Vektoren ergibt schließlich die Behauptung. P.S.: Warum hast du die PN zurückgezogen? mY+
05.11.2011, 16:39	gast123456	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe am ende raus ,dass (a+b+c) = r* (a+b+c) ist. stimmt dies und wenn ja was sagt das aus ? Mfg
05.11.2011, 19:10	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du den vorigen Beitrag verstanden und dann die Rechnung dort vervollständigt? Es soll ja wieder für den Schwerpunkt S gelten: s = (a + b + c)/3 Und das sollst du zeigen. Deine Gleichung sagt nichts über die Schwerpunkteigenschaft aus und ist auch zum Großteil falsch. r ist ja nicht gerade 1 : 1 (1). Addiere die drei Gleichungen, die ich dir bereits angesetzt habe (beachte dabei den besonderen Term auf der rechten Seite) und verwende die Summe für die Berechnung des Schwerpunktes. Tipp: Wie groß ist denn die Vektorsumme BA + AC + CB ? mY+
05.11.2011, 19:56	gast123456	Auf diesen Beitrag antworten »
also momentan steh ich total auf dem schlauch. ich soll d = b + tBA e = c + tCB f = a + t* AC addieren richtig ? dann steht doch da d+e+f = a+b+c+ t(BA+ CB+ AC) oder ? und die Vektorsumme ergibt den Nullvektor aber wie hilft mir das weiter ? Ich kann zwar den Nullvektor einsetzen aber dann steht doch d+e+f = a+b+c + t (0) da und ich weiß nicht was ich damit anfangen soll. Mfg
05.11.2011, 20:13	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Also steht bei dem Parameter t der Nullvektor! Das heisst doch, dass dann gilt: d + e + f = a + b + c (denn t*0 = 0) Nun lautet der Schwerpunktvektor des 2. Dreieckes: s = (d + e + f)/3 = (a + b + c)/3 Sollte nicht genau dies gezeigt werden? mY+
05.11.2011, 20:54	gast123456	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja um ehrlich zu sein bin ich mir nicht sicher ob genau das gezeigt werden sollte. In der Aufgabe stand, dass man zeigen soll das das Dreieck ABC und das Dreieck DEF denselben Schwerpunkt haben und ich bin mir nicht zu 100% sicher ob es reicht zu sagen das sowohl der Schwerpunkt von ABC als auch der Schwerpunkt von DEF die selbe Form ( S = 1/3 *(a+b+c bzw d+e+f)) reicht. Aber ich belass es mal dabei und hoffe das dies als Lösung ausriecht. Danke für die Hilfe. Mfg
05.11.2011, 23:23	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, das ist es doch! Wenn beide Dreiecke denselben Schwerpunkt haben, dann müssen sich doch bei beiden Dreiecken die gleichen Koordinaten ergeben, was denn sonst? mY+

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