Frage zu Quotientenraum

26.04.2009, 16:41	TommyAngelo	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu Quotientenraum Ich habe mich gerade in dieses Thema eingelesen und möchte wissen, ob ich es kapiert habe. Es geht um den Quotientenraum R^2/U mit U = span{(1,1)}. Jetzt kann ich doch einen Vektor, der nicht in U liegt, also z.B. (1,0) als Basis für R^2/U nehmen: {(1,0)+U} Stimmt das soweit?
26.04.2009, 17:07	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja.
26.04.2009, 19:44	TommyAngelo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab hier folgende Aufgabe: [attach]10351[/attach] Könnte ich dann als Basis $\begin{eqnarray} v_1+U,...,v_{n-1}+U \end{eqnarray}$ nehmen?
26.04.2009, 19:51	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, kannst du, aber warum rechnest du das nicht einfach nach?
26.04.2009, 20:00	TommyAngelo	Auf diesen Beitrag antworten »
Was will man da schon rechnen? Das sind ja nur Überlegungen. $\begin{eqnarray} v_1,...,v_{n-1} \end{eqnarray}$ liegen nicht in U, weil $\begin{eqnarray} v_n \end{eqnarray}$ fehlt. So soll es ja sein, und dann kann man sie als Basisvektoren für V/U verwenden.
26.04.2009, 20:11	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass dies eine Basis ist, folgt aber nicht so ohne Weiteres, du musst das schon noch nachrechnen!
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26.04.2009, 20:38	TommyAngelo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss ja die lineare Unabhängigkeit zeigen, dann fang ich mal an: $\begin{eqnarray} \lambda_1v_1+...+\lambda_{n-1}v_{n-1}+\lambda_n(v_1+...+v_n)=0 \end{eqnarray}$ Die ersten n-1 Vektoren sind ja die Basisvektoren von V/U. Zusammen mit dem Basisvektor von U müssen sie nach der Dimensionsformel V aufspannen, d.h. alle linear unabhängig sein. $\begin{eqnarray} (\lambda_1+\lambda_n)v_1+...+(\lambda_{n-1}+\lambda_n)v_{n-1}+\lambda_nv_n=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_1,...,v_n \end{eqnarray}$ sind ja jetzt linear unabhängig. Sie spannen ja V auf. $\begin{eqnarray} \Rightarrow \lambda_1+\lambda_n = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda_{n-1}+\lambda_n = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda_n=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \lambda_1,...,\lambda_n=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow span\{v_1,...,v_{n-1},(v_1+...+v_n)\} = V \end{eqnarray}$ Weil $\begin{eqnarray} span \{(v_1+...+v_n)\}=U\Rightarrow span\{v_1+U,...,v_{n-1}+U \} =V/U \end{eqnarray}$

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