Berechnung Weg einer Kugel

26.04.2009, 17:19

goldnerbagger

Berechnung Weg einer Kugel

Der Weg einer Kugel ist eine Gerade, bis sie an den Rand des Gebietes stößt, dann ändert sich Bewegungsgerad nach der Spiegelregelung: sowohl Eingangsgerade als auch Ausgangsgerade schließen den gleichen Winkel zur Randlinie. Ist der Rand krumm, so wird er im Stoßpunkt durch die Tangente ersetzt. Stößt die Eingangsgerade in einem Eckpunkt, so ist die Weiterbewegung nicht definiert.

Ich habe die Parametergleichung und die Parabel als Rand

(0/0)+t(1/1,5) und die -1,7x^2+1,7 die Parabel
y>0, Schnitpunkt kann ich berechnen. Wie kann ich Eingangs/Ausgangsgerade am Stoßpunkt am krummen Rand berechnen?

Vielen Dank

26.04.2009, 23:26

mYthos

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Im Schnittpunkt ist nun die Steigung $\begin{eqnarray*} m_t \end{eqnarray*}$ (der Tangente) zu berechnen; dazu bildest du die 1. Ableitung der Parabelgleichung und setzt den x-Wert des Schnittpunktes ein.

Die Steigung $\begin{eqnarray*} m_g \end{eqnarray*}$ der Geraden ist aus dem Richtungsvektor bekannt (1,5).

Nun wollen wir die Steigung $\begin{eqnarray*} m_s \end{eqnarray*}$ der Spiegelgeraden berechnen. Dazu verwenden wir die Beziehung für den Schnittwinkel

$\begin{eqnarray*} \tan \alpha = \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \end{eqnarray*}$

und wenden sie jeweils auf die zwei in Frage kommenden Geraden an, die den gleichen Schnittwinkel haben:

$\begin{eqnarray*} \frac{m_g - m_t}{1 + m_g m_t} = \frac{m_t - m_s}{1 + m_t m_s} \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung kann nach $\begin{eqnarray*} m_s \end{eqnarray*}$ aufgelöst werden. Da es für den Schnittwinkel zwei verschiedene Möglichkeiten gibt (Summanden im Zähler vertauschbar), musst du auf die plausible Lösung prüfen.

mY+

27.04.2009, 00:42

riwe

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RE: Berechnung Weg einer Kugel
alternativ kannst du das ganze auch vektoriell lösen:

mit den bekannten richtungsvektoren von einfallender/einrollender kugel $\begin{eqnarray*} \vec{e} \end{eqnarray*}$ , tangente $\begin{eqnarray*} \vec{t} \end{eqnarray*}$ und normaler $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \vec{e} -\vec{r}=\lambda\cdot\vec{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{e}+\vec{r}=\mu\cdot\vec{t} \end{eqnarray*}$

kannst du den richtungsvektor der reflektierten kugel $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ berechnen

edit: und ein bilderl mit 2 parabeln

27.04.2009, 01:34

mYthos

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RE: Berechnung Weg einer Kugel

Zitat:

Original von riwe
...
mit den bekannten richtungsvektoren von einfallender/einrollender kugel $\begin{eqnarray*} \vec{e} \end{eqnarray*}$ , tangente $\begin{eqnarray*} \vec{t} \end{eqnarray*}$ und normaler $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \vec{e} -\vec{r}=\lambda\cdot\vec{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{e}+\vec{r}=\mu\cdot\vec{n} \end{eqnarray*}$

kannst du den richtungsvektor der reflektierten kugel $\begin{eqnarray*} \vec{r} \end{eqnarray*}$ berechnen
...

Nett! Allerdings dürfte die 2. Gleichung nicht stimmen ... (dort kommt t statt n)

mY+

27.04.2009, 07:16

goldnerbagger

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RE: Berechnung Weg einer Kugel
Erstmal vielen Dank für eure Ideen. Leider stellt sich bei mir noch die Frage wie ich die Tangente vektoriell bestimme. Mit erster Ableitung war mir noch bewußt. Jedoch wie mache ich es im Vektrorraum? Die Normale dazu würde ich per Orthogonalität bestimmen wollen. Muß das später dann auch noch in Matlab umsetzen können.

27.04.2009, 08:57

riwe

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RE: Berechnung Weg einer Kugel
genauso wie immer smile

im konkreten fall mit dem berührpunkt B:

$\begin{eqnarray*} y^\prime=-3.4\cdot x_B\to \vec{t}=\begin{pmatrix} 1 \\-3.4\cdot x_B \end{pmatrix} \wedge \vec{n}=\begin{pmatrix}3.4\cdot x_B \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

27.04.2009, 09:00

riwe

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RE: Berechnung Weg einer Kugel

Zitat:

Original von mYthos

Zitat:

Nett! Allerdings dürfte die 2. Gleichung nicht stimmen ... (dort kommt t statt n)

mY+

ja klar, ein offensichtlicher tipp- bzw. copy & paste-fehler zu später stunde.
ich korrigiere es oben.

diese form hat ja den vorteil, dass man sich nicht vor vertikalen und horizontalen tangenten fürchten muß
(was hier ja egal wäre)

17.07.2009, 17:19

goldnerbagger

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RE: Berechnung Weg einer Kugel
Hallo,

ich bin wieder an der Aufgabe dran. Ich hätte anfangs noch mitteilen müssen, dass sich die Kugel solange bewegt, bis sie den Rand des Gebietes y<-1,7x^2+1,7 und an der x-Achse , wobei y>0 sein soll, 8-mal berührt hat Es sein denn es wird schon früher genau eine Ecke (Nullstelle) getroffen. Da ich ich diese Aufgabe noch in Matlab umsetzen darf, wie könnte ich das Kriterium setzen, dass man den Spiegelungsvorgang mit einer orthonomalen Basis umsetzt?

19.07.2009, 17:16

riwe

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RE: Berechnung Weg einer Kugel
so in etwa smile

25.07.2009, 10:27

goldnerbagger

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RE: Berechnung Weg einer Kugel
Ja, genau so.
Aber wie stelle ich das mit der Orthonomalbasis an? Keine Idee.

25.07.2009, 10:59

riwe

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RE: Berechnung Weg einer Kugel
normiere halt $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{t} \end{eqnarray*}$ aus meinem 1. beitrag, wenn du unbedingt willst, notwendig ist es nicht.

dann verwende addition und subtraktion smile

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