Kreisteilungspolynome konstruieren

26.04.2009, 21:54	pheips	Auf diesen Beitrag antworten »
Kreisteilungspolynome konstruieren Servus! Mit folgender Aufgabenstellung hab ichs gerade zu tun: Konstruieren Sie die Kreisteilungspolynome $\begin{eqnarray} \varphi_{n} \in \mathbb Z_{2}[x] \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Teiler von 15. So: Meinem Algebrabuch hab ich entnommen, dass sich $\begin{eqnarray} \varphi_{n} \end{eqnarray}$ rekursiv berechnen lässt durch: $\begin{eqnarray} \varphi_{n} = \frac{x^n-1}{\prod_{d\|n,d<n}\varphi_{d}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \varphi_{1} = x-1 \end{eqnarray}$ Ich würde daher folgende Ergebnisse erhalten: $\begin{eqnarray} \varphi_{1} = x-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varphi_{3} = \frac{x^3-1}{x-1} = x^2+x+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varphi_{5} = \frac{x^5-1}{x-1} = x^4+x^3+x^2+x+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varphi_{15} = ... = x^8 + x^7 + x^5 + x^4+x^3+x+1 \end{eqnarray}$ Meine Frage ist nun folgende: Ich wende die "Formel" zwar an, aber mir ist jetzt nicht ganz klar inwiefern das $\begin{eqnarray} \varphi_{n} \in \mathbb Z_{2}[x] \end{eqnarray}$ eine Rolle spielt. $\begin{eqnarray} \varphi_{1} \end{eqnarray}$ ist doch keine Element von $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{2}[x] \end{eqnarray}$ . -1 ist ja nicht in $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{2} \end{eqnarray}$ , oder denk ich da falsch? Heißt dies, dass nur $\begin{eqnarray} \varphi_{3},\varphi_{5},\varphi_{15} \end{eqnarray}$ Lösungen zur Aufgabenstellung sind, oder ist das eventuell anders gemeint? Außerdem hätte ich noch eine allgemeinere Frage: Man spricht allgemein doch von Kreisteilungspolynomen über einem Körper. Hier ist jedoch der Körper nicht explizit gegeben. Dennoch soll ich bei Polynomen über $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{2} \end{eqnarray}$ "landen". Steckt da implizit die Annahme, dass der Körper $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ ist? Wenn der Kröper in einem anderen Fall nicht $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ wäre, gilt dann diese rekursive Formel dennoch und ist dann mit '1', das entsprechende Einselement gemeint? Das geht aus meinem Buch leider nicht ganz deutlich hervor. Vielen Dank im voraus! lG Philipp
27.04.2009, 14:48	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi pheips, Hier geht es nicht um den Körper $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ , sondern es ist ja der Körper $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray}$ gegeben, also der Körper mit zwei Elementen. In $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray}$ ist jetzt auch die -1 enthalten, allerdings ist hier -1=1 (das additiv Inverse zu 1 ist hier 1) und dementsprechend ist $\begin{eqnarray} \varphi_1=x+1 \end{eqnarray}$ . Die Kreisteilungspolynome werden auch über endlichen Körpern als $\begin{eqnarray} \varphi_k=\prod_{{\rm ord}(e)=k}x-e \end{eqnarray}$ definiert, wobei $\begin{eqnarray} {\rm ord}(e)=k \end{eqnarray}$ heißt, dass wir über die primitiven k-ten Einheitswurzeln laufen. Das führt dazu, dass diese Polynome nur dann definiert sind, wenn k und die Charakteristik des Körpers teilerfremd sind. In der Aufgabe existieren also nur die Kreisteilungspolynome 1,3,5,7,... Die rekursive Berechnungsformel stimmt aber auch für endliche Körper, weshalb das so ist, steht z.B. hier (ab S.95). Natürlich liegen dann alle Koeffizienten in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray}$ . Gruß, Reksilat.
27.04.2009, 16:06	pheips	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal vielen Dank! Bez. Rekursionsformel hätte ich noch eine Frage: Diese liefert ja prinzipiell zuersteinmal immer die "selben Ergebnisse": $\begin{eqnarray} \varphi_{1} = x-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varphi_{2} = x+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varphi_{3} = x^2+x+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varphi_{4} = x^2+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \varphi_{5} = x^4+x^3+x^2+x+1 \end{eqnarray}$ usw..... Stimmt es, dass ich dieses Ergebnis prinzipiell immer hernehmen kann und dann nur noch meinem Körper "anpassen muss". Sprich schauen, welche n überhaupt in Frage kommen (also teilerfremd mit der Charakteristik sind) und diese dann eventuell in ihrer Darstellung vereinfachen (-1 zB durch +1 ersetzen im gegebenem Beispiel? Weiters entnehme ich meinem Algebrabuch, dass $\begin{eqnarray} \varphi_{105} = x^{48}+x^{47}+....-2x^{41}+......+1 \end{eqnarray}$ Es ist also einer der Koeffizienten 2. Was bedeutet dieses 2 aber dann für einen beliebigen Körper? Ist das einfach jenes Element, dass durch Addition des Einselementes zu sich selbst ensteht? Im $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{2} \end{eqnarray}$ also die 0? Vielen Dank im voraus! mfG Philipp
27.04.2009, 16:42	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, die Polynome sehen erstmal genauso aus und Du musst nur noch die Koeffizienten anpassen. In $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray}$ ist dann für $\begin{eqnarray} \varphi_{105} \end{eqnarray}$ der Koeffizient vor $\begin{eqnarray} x^{41} \end{eqnarray}$ eben Null. Der große Unterschied ist nun der, dass für endliche Körper nicht alle $\begin{eqnarray} \varphi_n \end{eqnarray}$ definiert sind und außerdem diese Polynome nicht immer irreduzibel sind. Beispiel: $\begin{eqnarray} \varphi_7=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 \end{eqnarray}$ ist in $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}[x] \end{eqnarray}$ irreduzibel, in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}[x] \end{eqnarray}$ dagegen gilt: $\begin{eqnarray} \varphi_7=(x^3+x^2+1)(x^3+x+1) \end{eqnarray}$ Gruß, Reksilat.
27.04.2009, 16:52	pheips	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Das hat einiges Licht ins Dunkel gebracht.

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