IMO Auswahlklausur 2000 Schubfachprinzip

27.04.2009, 17:19

++Alpha++

IMO Auswahlklausur 2000 Schubfachprinzip

Hallo
Ich lese gerade Mathematische Lösungsstrategien von Wolfgang Mayer und hänge gerade an den Übungsaufgaben zum Schubfachprinzip.
Da steht folgende Aufgabe aus der Auswahlklausur zur IMO 2000:

In einem Rechteck mit Seitenlängen 17 und 10 sind 74 Punkte markiert.
Zeige das es zwei Punkte gibt deren abstand 2 nicht überschreitet.

Im Buch gibt es eine ähnliche Aufgabe, dort wird ein Quadrat in unterquadrate zerlegt.
Ich weis jetzt allerdings nicht wie ich die Aufgabe auf ein 10 mal 17 Rechteck zu übertragen. traurig

Ich habe überlegt die Aussage für ein 17 mal 17 Quadrat zu Beweisen. Dann würde ich das Quadrat in 64 Teilquadrate mit einer Seitenlänge von $\begin{eqnarray*} \frac{17}{8} \end{eqnarray*}$ und einer Diagonale von $\begin{eqnarray*} \frac{17}{8}\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ zerteilen. Leider ist $\begin{eqnarray*} \frac{17}{8}\sqrt{2} \geq 2 \end{eqnarray*}$ also klappt das nicht.
Wie kann ich die Ausage dann beweisen?

27.04.2009, 18:32

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Damit du das Schubfachprinzip anwenden kannst, darf die Anzahl der Teilflächen maximal 73 betragen, ansonsten greift das Prinzip ja nicht. Die Teilflächen müssen ja nicht unbedingt Quadrate sein. Die Aufgabe ist so raffiniert, das auch Rechtecke nicht reichen (zumindest nicht alle kongruent) - aber ja vielleicht andere Zerlegungsfiguren... Augenzwinkern

EDIT: Iss mal einen Löffel Honig, dann kommt dir vielleicht eine passende Idee. Augenzwinkern

28.04.2009, 11:41

++Alpha++

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Ich hab jetzt mal versucht Das Rechteck in ein 10 auf 10 Quadrat und ein 7 auf 10 Rechteck zu unterteilen dann müsste man "nur" noch die aussage für a Punkte auf dem Rechteck und b auf dem Quadrat zu Beweisen sodass gilt $\begin{eqnarray*} a + b \geq 74 \end{eqnarray*}$
Mit der Quadratunterteilung komm ich auf ein $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ von 64 das heist $\begin{eqnarray*} a \geq 24 \end{eqnarray*}$ wenn ich dann aber das Rechteck in Rechtecke mit $\begin{eqnarray*} \frac{10}{7} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \frac{7}{3} \end{eqnarray*}$ überdecke ist die diagonale wieder kleiner als 2.
Dann hab ich an Gleichschenklige dreiecke gedacht aber damit kann ich die Fläche nicht lückenlos überdecken.
Mit dem Edit kann ich leider gar nichts anfangen. verwirrt

28.04.2009, 11:44

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Oha, und ich dachte, der Hinweis wäre schon recht deutlich. Dann mal noch deutlicher:

http://www.was-wir-essen.de/bilder/common/Honigwabe_150.jpg

EDIT: Was soll's - machen wir es ganz deutlich

[attach]10372[/attach]

28.04.2009, 18:46

++Alpha++

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Oh man

hab fleißig gearbeitet wie eine Biene Augenzwinkern

aber
Nach deiner Vorlage hätte ich eigentlich keine 5 Minuten brauchen dürfen.
Also noch mal von vorn:
Man überdeckt das Rechteck mit 73 Sechsecken mit einer Seitenlänge von $\begin{eqnarray*} \frac{7}{10} \end{eqnarray*}$ . Nach dem Schubfachprinzip sind in einem Sechseck 2 Punkte markiert. Da der Durchmesser des Sechsecks beträgt $\begin{eqnarray*} \frac{14}{10} \leq 2 \end{eqnarray*}$ daher Müssen die 2 Punkte einen Abstand von weniger als 2 haben.
Stimmt das jetzt so?

28.04.2009, 18:48

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Wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} \frac{7}{10} \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Nein: Die Seitenlänge der Sechsecke ist schlicht und einfach 1.

28.04.2009, 18:54

++Alpha++

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Ups, da hab ich doch glatt die kürzere Seite nochmal 3 zentimeter Kürzer gemacht Hammer

Aber das heißt wenn ich im letzten Beitrag $\begin{eqnarray*} \frac{7}{10} \end{eqnarray*}$ durch 1 (und damit auch $\begin{eqnarray*} \frac{14}{10} \end{eqnarray*}$ durch 2) ersetzt stimmt alles?

28.04.2009, 18:57

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Ja, das ist es. Die Aufgabe ist also ziemlich auf Kante genäht, es gibt bei der Zerlegung nur wenig Spielraum zu verschenken.

28.04.2009, 19:05

++Alpha++

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Endlich gelöst, Tanzen

Allerdings wäre ich ohne Hilfe niemals auf so eine Zerlegung gekommen. Gott

Und das soll man dan auchnoch in der Klausur innerhalb von ein Paar Stunden lösen.
Soll ich eigentlich für weitere Aufgaben aus dem Buch (es gibt sicher noch ein paar Aufgaben für die ich einen "kleinen" Anstoß brauche) jeweils ein neues Thema aufmachen oder kann ich die einfach hintendranhängen?

28.04.2009, 19:10

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Zitat:

Original von ++Alpha++
Und das soll man dan auchnoch in der Klausur innerhalb von ein Paar Stunden lösen.

Mit dem richtigen Riecher geht es auch in 20 Minuten (s.o.).

Zitat:

Original von ++Alpha++
Soll ich eigentlich für weitere Aufgaben aus dem Buch (es gibt sicher noch ein paar Aufgaben für die ich einen "kleinen" Anstoß brauche) jeweils ein neues Thema aufmachen oder kann ich die einfach hintendranhängen?

Wenn es thematisch passt, in denselben Thread - sonst neuer Thread.

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