gruppenbeweis nummer 2 oder auf dem schlauch stehen im quadrat

27.04.2009, 20:57

möchtegernmathegenie

gruppenbeweis nummer 2 oder auf dem schlauch stehen im quadrat

ist (G,*) in den folgenden fällen eine gruppe?Man gebe einen Beweis der Gruppenaxiome oder ein Gegenbeispiel für ein verletztes Axiom an.

$\begin{eqnarray*} G= \mathbb R \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit der Verknüpfung

$\begin{eqnarray*} (a1,a2)*(b1,b2)= (a1\cdot b2,a2\cdot b1) \end{eqnarray*}$

Hurra,wer hätts gedacht ich weis nicht mal ansatzweise wie ich damit umgehen soll ich weis allerdings es hat etwas mit der Produktmenge zu tun

27.04.2009, 21:04

möchtegernmathegenie

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RE: gruppenbeweis nummer 2 oder auf dem schlauch stehen im quadrat
G1: $\begin{eqnarray*} ((a1,a2)*(b1,b2))*(c1,c2)=(a1,a2)*((b1,b2)*(c1,c2)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall a,b,c\in \mathbb R \times \mathbb R \end{eqnarray*}$

und genau bis dahin komme ich und bin mit meinem latein am ende,
ok scheint wohl keine hilfe in sicht,villeicht sollte ich mein problem noch genauer beschrieben,oder ich versuch das ding hier jetz mal ansatzweise zu lösen

wenn $\begin{eqnarray*} (a1,a2)*(b1,b2)= (a1\cdot b2,a2\cdot b1) \end{eqnarray*}$

dann ist $\begin{eqnarray*} (a1,a2,a3)*(b1,b2,b3)*(c1,c2,c3)=(a1\cdot b2\cdot c3,a2\cdot b1\cdot c3,a3\cdot b3\cdot c2) \end{eqnarray*}$

alles klar,keine chance das ich das hier jetz ohne hilfe peile

27.04.2009, 23:53

Reksilat

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RE: gruppenbeweis nummer 2 oder auf dem schlauch stehen im quadrat
Hi mgmg,
(tut mir leid, aber Dein Benutzername ist mir einfach zu lang)

Das mit den 3-Tupeln $\begin{eqnarray*} (a1,a2,a3) \end{eqnarray*}$ in Deinem letzten Beitrag ist Quatsch. Für sowas ist die Verknüpfung $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ ja gar nicht definiert.

Im Gegensatz zum letzten Thread bezeichnet " $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ " ja hier wirklich die reelle Multiplikation. Versuche doch einfach mal mit konkreten Zahlenbeispielen die Assoziativität:
$\begin{eqnarray*} ((a1,a2)*(b1,b2))*(c1,c2)\stackrel{?}{=}(a1,a2)*((b1,b2)*(c1,c2)) \end{eqnarray*}$
zu widerlegen.

PS: Zur Übung kannst Du danach neutrales Element und Inverses ausrechnen, da gibt es nämlich keine Probleme. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

28.04.2009, 14:07

möchtegernmathegenie

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RE: gruppenbeweis nummer 2 oder auf dem schlauch stehen im quadrat
Tut mir leid,aber ich fürchte ich kann einfach nicht mit diesen Tupeln umgehen

$\begin{eqnarray*} ((a1,a2)*(b1,b2))*(c1,c2)\stackrel{?}{=}(a1,a2)*((b1,b2)*(c1,c2)) \end{eqnarray*}$

na gut probieren wir halt mal,das was du meintest,

a1=a2=1
b1=b2=2
c1=c2=3

((1,1)*(2,2))*(3,3)=(1,1)*((2,2)*(3,3))

(2,2)*(3,3)=(1,1)*(6,6)

(6,6)=(6,6)

??????

28.04.2009, 14:15

Reksilat

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RE: gruppenbeweis nummer 2 oder auf dem schlauch stehen im quadrat
Na wir betrachten einfach die Menge der Paare von reellen Zahlen, also z.B. $\begin{eqnarray*} (2;5) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (-8,73;0) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (\pi;-9) \end{eqnarray*}$ ...

Auf dieser Menge definieren wir eine Verknüpfung $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ , indem wir sagen:
$\begin{eqnarray*} (a;b)*(c;d):=(a\cdot d; b\cdot c) \end{eqnarray*}$

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} (8;2)*(-4,5)=(8\cdot 5; 2\cdot (-4))=(40;-8) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ ist hier eine Verknüpfung von Tupeln, darf also wirklich nur zwischen Zahlenpaaren stehen. Dagegen ist $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ hier die normale Multiplikation der reellen Zahlen.

Zum Üben:
$\begin{eqnarray*} (2;3)*(1;0)=? \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (3;3)*(-1;-2)=? \end{eqnarray*}$

Gruß,
Reksilat.

28.04.2009, 14:29

möchtegernmathegenie

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RE: gruppenbeweis nummer 2 oder auf dem schlauch stehen im quadrat
also, a1=a2 bzw b1=b2 muss nicht gelten richtig?

also könnte a1=3 sein
a2=5
b1=-1
b2=1
c1=6
c2=7
????nur zum beispiel??

28.04.2009, 14:52

möchtegernmathegenie

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RE: gruppenbeweis nummer 2 oder auf dem schlauch stehen im quadrat
1 b)

$\begin{eqnarray*} ((a1,a2)*(b1,b2))*(c1,c2)=(a1,a2)*((b1,b2)*(c1,c2)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ((a1,a2)*(b1,b2))*(c1,c2)=(a1\cdot b2,a2\cdot b1)*(c1,c2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a1,a2)*((b1,b2)*(c1,c2))=(a1,a2)*(b1\cdot c2,b2\cdot c1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a1\cdot b2,a2\cdot b1)*(c1,c2)=(a1\cdot b2\cdot c2,a2\cdot b1\cdot c1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a1,a2)*(b1\cdot c2,b2\cdot c1)= (a1\cdot b2\cdot c1,a2\cdot b2\cdot c1) \end{eqnarray*}$

lieber Reksilat,bitte sag mir das ich so einigermaßen auf dem richtigen weg bin!!!

$\begin{eqnarray*} (a1\cdot b2\cdot c1,a2\cdot b2\cdot c1)\neq (a1\cdot b2\cdot c2,a2\cdot b1\cdot c1) \end{eqnarray*}$

und sorry,im voraus ich weis nicht,ob es nur bei mir so ist das die latex darstellung mal so,mal so funzt!! Hammer

28.04.2009, 15:35

möchtegernmathegenie

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RE: gruppenbeweis nummer 2 oder auf dem schlauch stehen im quadrat
Kann es sein,das bei dieser Aufgabe (G,*) gar keine Gruppe sein kann???
da es ja eigentlich heißt eine gruppe besteht aus einer nichtleeren Menge und einer zweistelligen verknüpfung!!!
und wenn aber $\begin{eqnarray*} G= \mathbb R \times \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (0,0)\in \mathbb R \times \mathbb R \end{eqnarray*}$

nicht ausgeschlossen ist,kann es sich um gar keine Gruppe handeln da es ja sein kann,das es eine leere menge gibt wenn bspw a1=0=a2 vorliegt!!!!
Stimmts??

28.04.2009, 16:14

Reksilat

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RE: gruppenbeweis nummer 2 oder auf dem schlauch stehen im quadrat

Zitat:

Original von möchtegernmathegenie
1 b)

$\begin{eqnarray*} ((a1,a2)*(b1,b2))*(c1,c2)=(a1,a2)*((b1,b2)*(c1,c2)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ((a1,a2)*(b1,b2))*(c1,c2)=(a1\cdot b2,a2\cdot b1)*(c1,c2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a1,a2)*((b1,b2)*(c1,c2))=(a1,a2)*(b1\cdot c2,b2\cdot c1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a1\cdot b2,a2\cdot b1)*(c1,c2)=(a1\cdot b2\cdot c2,a2\cdot b1\cdot c1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a1,a2)*(b1\cdot c2,b2\cdot c1)= (a1\cdot b2\cdot c1,a2\cdot b2\cdot c1) \end{eqnarray*}$

lieber Reksilat,bitte sag mir das ich so einigermaßen auf dem richtigen weg bin!!!

$\begin{eqnarray*} (a1\cdot b2\cdot c1,a2\cdot b2\cdot c1)\neq (a1\cdot b2\cdot c2,a2\cdot b1\cdot c1) \end{eqnarray*}$ :

Das sieht schon mal ganz ordentlich aus, nur etwas unübersichtlich im ersten Teil. Richtig geordnet steht dort ja:
$\begin{eqnarray*} ((a1,a2)*(b1,b2))*(c1,c2)=(a1\cdot b2,a2\cdot b1)*(c1,c2)=(a1\cdot b2\cdot c2,a2\cdot b1\cdot c1) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} (a1,a2)*((b1,b2)*(c1,c2))=(a1,a2)*(b1\cdot c2,b2\cdot c1)=(a1\cdot b2\cdot c1,a2\cdot b1\cdot c2) \end{eqnarray*}$
Dass diese beiden Ausdrücke nicht gleich sind, musst Du jetzt nur noch durch ein konkretes Zahlenbeispiel zeigen, indem Du die Werte $\begin{eqnarray*} a_1,...,c_2 \end{eqnarray*}$ geeignet belegst (Nullen und Einsen reichen dafür) und beide Ausdrücke ausrechnest, so dass die beiden Ausdrücke ungleich sind.

Dann gilt die Assoziativität nicht und G ist keine Gruppe.

Zitat:

Original von möchtegernmathegenie
Kann es sein,das bei dieser Aufgabe (G,*) gar keine Gruppe sein kann???
da es ja eigentlich heißt eine gruppe besteht aus einer nichtleeren Menge und einer zweistelligen verknüpfung!!!
und wenn aber $\begin{eqnarray*} G= \mathbb R \times \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (0,0)\in \mathbb R \times \mathbb R \end{eqnarray*}$

nicht ausgeschlossen ist,kann es sich um gar keine Gruppe handeln da es ja sein kann,das es eine leere menge gibt wenn bspw a1=0=a2 vorliegt!!!!
Stimmts??

Hä?

G ist bestimmt nicht leer, ich kann haufenweise Elemente angeben:
(8;0), (1;1), (0,-4), ... usw. smile

Falls Du Dir noch unsicher bist, versuche doch noch neutrales Element und das Inverse zu einem beliebigen Element (x,y) zu finden. So was hilft auf jeden Fall den Umgang mit Gruppen zu üben.

Gruß,
Reksilat.

28.04.2009, 17:54

möchtegernmathegenie

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habe jetz einfach a1=1
a2=2
a3=3
b1=4.... usw

ergebniss $\begin{eqnarray*} (40,56)\neq (35,64) \end{eqnarray*}$

28.04.2009, 18:01

Reksilat

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Was ist denn nun schon wieder a3? Sorry muss jetzt erstmal weg - vielleicht hilft inzwischen jemand anders.

Gruß,
Reksilat.

28.04.2009, 18:22

möchtegernmathegenie

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oh sorry,sitz grade in ner anderen vorlesung,weis ich grade selbst nicht wie a3,b3,c3 dahin kommt,war ein resultat von reizüberflutung

also auf jedenfall denk ich habs jetz richtig,hab für a1=1,a2=2,b1=3,b4=4,c1=5,c2=5

und eben $\begin{eqnarray*} (24,30)\neq (20,36) \end{eqnarray*}$

28.04.2009, 18:25

Elvis

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g r u p p e
Hallo, bin wieder da. Wink

Die Schreibweise gefällt mir gar nicht. unglücklich

Wie wär's, wenn wir uns erst mal auf eine einfachere Schreibweise ohne Indices einigen und das sieht dann so aus:
$\begin{eqnarray*} (a,b)*(c,d)=(ad,bc) \end{eqnarray*}$ .
Die Verknüpfung * hat also etwas mit Paaren reeller Zahlen zu tun, und die reelle Multiplikation $\begin{eqnarray*} a\cdot b=ab \end{eqnarray*}$ schreiben wir wie üblich nicht hin, dann wird das mit latex alles viel einfacher. Big Laugh

Und dann dasselbe Programm wie gestern, und bitte sorgfältig schreiben. Gibt es ein neutrales Element $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ , für das gilt $\begin{eqnarray*} (a,b)*(x,y)=(ay,bx)=(a,b) \end{eqnarray*}$ ? Du siehst : sauber aufschreiben, was man will, ist die halbe Miete.

28.04.2009, 18:33

möchtegernmathegenie

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RE: g r u p p e
na gut,also die schreibweise is eher nich so vorteilhaft,aber ist denn die aufgabe wenigstens gelöst?

muss schnell weg für ne halbe stunde,dann setz ich noch mal hin und probiers anders,aber wenn ich des jetz wenigstens halbwegs gelöst hätte,auch wenn die schreibweise nich so toll is,hätt ich mal fürs erste ein erfolgerlebniss smile

28.04.2009, 18:40

Elvis

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Okay, ist geschenkt. Ich hatte vor lauter Vorfreude auf eine weitere Gruppe glatt übersehen, dass ihr ja schon so gut wie gezeigt habt, dass diese Verknüpfung nicht assoziativ ist. Also: Ende und Aus, keine Gruppe. traurig

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