Ableitung

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28.04.2009, 18:42

Sascha092

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Ableitung

hab das problem beim ableiten bei der funktion $\begin{eqnarray*} \sqrt{2x}+ \sqrt{2x} \end{eqnarray*}$

28.04.2009, 18:48

Jacques

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Hallo,

Addiere die Wurzeln einfach und leite dann nach der Faktor- und der Kettenregel ab:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2x} + \sqrt{2x} = 2\sqrt{2x} \end{eqnarray*}$

Übrigens: Der Ausdruck, den Du hingeschrieben hast, ist keine Funktion, sondern ein Term. Die zugehörige Funktion gibt man z. B. so an:

$\begin{eqnarray*} f\colon\, \mathbb{R}_{\geqslant 0} \to \mathbb{R} \quad\ x \mapsto 2\sqrt{2x} \end{eqnarray*}$

(Zumindest die Definitionsmenge sollte man in diesem Fall angeben, weil sie ja nicht ganz R ist)

28.04.2009, 19:02

Sascha092

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also im buch steht einfach nur bestimmen sie die ableitung und dann $\begin{eqnarray*} \sqrt{2x}+ \sqrt{2x} \end{eqnarray*}$ also wie zum bsp. bei f(x)=x^4 +x^5 das is dann ja 4x³+ 5x^4

28.04.2009, 19:05

Sascha092

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28.04.2009, 19:09

klarsoweit

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Zitat:

Original von Jacques
$\begin{eqnarray*} \sqrt{2x} + \sqrt{2x} = 2\sqrt{2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ... = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt x \end{eqnarray*}$ , wodurch man sich die Kettenregel erspart. Augenzwinkern

28.04.2009, 19:14

Sascha092

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hmm ok ich übernehm das mal so
im unterricht hatten wir jedoch $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ und da kam dann raus $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ müsste das nich so ähnlich aussehen?... also kettenregel hatten wir noch nich haben heute summenregel und faktorregel gemacht..

28.04.2009, 19:18

Sascha092

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ach srry da kam raus $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2 \sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

28.04.2009, 20:09

Sascha092

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wie kommt man denn eig auf $\begin{eqnarray*} ... = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt x \end{eqnarray*}$ , man zieht den term im prinziop ausinander oder?

28.04.2009, 20:13

Jacques

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Man benutzt die Wurzel- bzw. Potenzregeln:

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{2x} = 2 \sqrt{2} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

28.04.2009, 20:15

enmi

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hallo,

ist im prinzip ganz einfach:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2x} +\sqrt{2x} \end{eqnarray*}$

die quadratwurzel einer zahl (in diesem fall von 2x) kann auch mit hilfe einer potenz berechnet werden. deine aufgabe lautet dann:

$\begin{eqnarray*} (2x)^{\frac{1}{2}}+(2x)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

da die hochzahl sowohl für 2 als auch für x gilt kann man schreiben

$\begin{eqnarray*} (2)^{\frac{1}{2}} \cdot (x)^{\frac{1}{2}} + (2)^{\frac{1}{2}} \cdot (x)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ ist ein konstanter faktor (irgend ein zahlenwert) und bleibt daher erhalten. $\begin{eqnarray*} (x)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ wird ganz einfach abgeleitet (hochzahl vor die variable und die hochzahl -1 rechnen.

das ergibt dann:

$\begin{eqnarray*} (2)^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2}\cdot(x)^{- \frac{1}{2}} + (2)^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2}\cdot(x)^{- \frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

jetzt musst du nur noch wissen, dass eine negative hochzahl (in diesem fall $\begin{eqnarray*} <br /> (x)^{- \frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ )
bewirkt, dass $\begin{eqnarray*} (x)^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x)^{\frac{1}{2}}} \end{eqnarray*}$ geschrieben wird.

deine aufgabe lautet dann:

$\begin{eqnarray*} (2)^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{(x)^{\frac{1}{2}}} + (2)^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{(x)^{\frac{1}{2}}} \end{eqnarray*}$

jetzt wird noch ausmultipliziert:

$\begin{eqnarray*} \frac{(2)^{\frac{1}{2}}\cdot 1\cdot 1}{2\cdot(x)^{\frac{1}{2}}} + \frac{(2)^{\frac{1}{2}}\cdot 1\cdot 1}{2\cdot(x)^{\frac{1}{2}}} \end{eqnarray*}$

wenn du diesen ausdruck nun wieder mit dem wurzelzeichen statt der potenz schreibst, dann erhälst du:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2} \cdot 1\cdot 1}{2\cdot\sqrt{x} } + \frac{\sqrt{2} \cdot 1\cdot 1}{2\cdot\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

vereinfacht sieht das so aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}}{2\cdot\sqrt{x} } + \frac{\sqrt{2}}{2\cdot\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

brüche mit gleichem nenner werden addiert, indem man den zähler addiert (der nenner bleibt gleich.

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2\cdot\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

jetzt noch rasch die beiden wurzeln addieren und du erhälst

$\begin{eqnarray*} \frac{2\cdot\sqrt{2}}{2\cdot\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

die 2 wird noch schnell gekürzt und übrig bleibt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

war doch gar nicht so schwer Augenzwinkern

- oder?!?

hoffe ich habe alles richtig gemacht. natürlich ist es mit der kettenregel einfacher (aber wenn ihr die noch nicht gelernt habt funktioniert es auch so).

sg
enmi

28.04.2009, 20:27

Sascha092

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ziemlich kompliziert Big Laugh

hmm schon wieder n anderes ergebniss^^
geht das i.wie einfacher ohner kettenregel?
oder wie würds denn mit kettenregel aussehen.. vllt versteh ichs ja auch so könnte mir einer mal die rechnung in den einzelnen schritten zeigen?

28.04.2009, 20:35

enmi

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welches ergebnis hast denn du?

kompliziert erscheint es wahrscheinlich deshalb, weil ich schritt für schritt (wie von dir gewünscht) erklärt und angeschrieben habe. welchen teil meiner erklärung hast du nicht verstanden?

sg
enmi

28.04.2009, 20:51

Sascha092

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also verstanden so mit erklärung schon nur ich würd da selbst jetz niemals drauf kommen^^ da waren ja schonmal 1 anworten und die haben i.wie andere ergebnisse... also in der schule hatten wir nichts was annähernd so lang und ausührlich war.. mittlerweile bin ich mir aber nicht mehr sicher ob ich das prinzip verstanden habe
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{\sqrt{2}}* \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ ist doch $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{\sqrt{2} } *\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ,oder? verwirrt

28.04.2009, 21:00

enmi

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also nochmals:

ganz allgemein gilt
$\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ kann auch als $\begin{eqnarray*} a^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$ geschrieben werden. dies gilt bei der quadratwurzel

bei der 3ten wurzel wäre es dann $\begin{eqnarray*} a^{\frac{1}{3} } \end{eqnarray*}$

und

bei der 4ten wurzel wäre es dann $\begin{eqnarray*} a^{\frac{1}{4} } \end{eqnarray*}$

usw.

dieses prinzip wird eigentlich immer bei der ableitung einer wurzel angewendet.

ich habe jetzt absichtlich die variable a verwendet, damit du dieses allgemeine erklärung nicht mit deiner aufgabe verwechselst.

aber es funktioniert bei deiner aufgabe nicht anders.

aus

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2x} +\sqrt{2x} \end{eqnarray*}$

wird

$\begin{eqnarray*} (2x)^{\frac{1}{2}}+(2x)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

sg
enmi

28.04.2009, 21:20

Sascha092

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ja das hab ich verstanden^^ $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{\sqrt{2}}* \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ ist doch $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{\sqrt{2} } *\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ,oder? verwirrt also wenn das so einigermaßen stimmt hab ichs verstanden ;D

28.04.2009, 21:25

enmi

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nein, dass stimmt nicht!!!

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{\sqrt{2}}* \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{\sqrt{2} } *(x)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

28.04.2009, 23:27

Sascha092

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achso ja

stimmt^^ also ich muss immer nur den faktor ändern/ableiten on dem die funktion abhängig ist richtig?

29.04.2009, 07:34

enmi

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abgeleitet werden nur die variablen

die 1. ableitung von x² ist 2x

ein konstanter FAKTOR bleibt erhalten

die 1. ableitung von 3x² ist 2.3.x = 6x

ein SUMMAND ohne variable fällt weg

die 1. ableitung von x² + 5 ist 2x

Freude

29.04.2009, 12:38

Sascha092

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ja das wusst ich ja ich hatte nur das problem mit der wurzel ... aber $\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ ist doch das selbe wie $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ nur halt anders geschrieben... da wird ja im prinzip nichts verändert

29.04.2009, 13:14

enmi

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vollkommen korrekt:

$\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ ist das selbe wie $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ Freude

sg
enmi

29.04.2009, 13:27

Sascha092

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ja aber ich wollte die funtkion ja ableiten
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{\sqrt{2}}* \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
so dann darf ich $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$
nicht verändern da das die konstande is also muss
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ verändert werden
dann schreib ichs anders auf nähmlich
$\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$
würde ich das jetz in dezimalzahlen ausdrücken hätte ich
$\begin{eqnarray*} x^{0,5} \end{eqnarray*}$
jetz leite ich ab 0,5*x^-0,5
oder?

29.04.2009, 13:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von Sascha092
jetz leite ich ab 0,5*x^-0,5

Wenn du $\begin{eqnarray*} f(x) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ ableiten möchtest, dann formst du das um zu $\begin{eqnarray*} f(x) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot x^{1/2} \end{eqnarray*}$ .

29.04.2009, 14:02

knups

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warum denn einfach, wenn´s auch umständlich geht... wie wäre es mit folgender Überlegung:
sqrt(2x) = sqrt(2) * sqrt(x), dann ist sqrt(2) ein konstanter Faktor und es wird nur noch die Wurzel aus x diff. Schreibt man die Wurzel als Hochzahl 1/2 und wendet die Potenzregel an, bekommt man....?

Ich komme leider mit LATEX und Formeleditor nicht zurecht, hoffe, dass mein Text trotzdem verständlich ist.

29.04.2009, 14:23

Sascha092

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{2x} = \sqrt{2} *\frac{1}{2x} \end{eqnarray*}$
oder?

29.04.2009, 14:42

klarsoweit

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Nein. Es ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{2x} = \sqrt{2} \sqrt x = \sqrt 2 \cdot x^{1/2} \end{eqnarray*}$ .

Ich hoffe, daß das jetzt mal ein für alle mal geklärt ist.

29.04.2009, 15:35

knups

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Du machst deinem Namen alle Ehre! Vielen Dank für die "Übersetzung" meines Beitrags.
Du hast recht - das war wirklich zu viel für ein solch simples "Problem"
Nun muß ich mich noch mit LATEX und Formeleditor anfreunden
Gruß aus der Rhön

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