Rentenrechnung

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Paul_007 Auf diesen Beitrag antworten »
Rentenrechnung
Moin Moin,

ich habe mal ne Frage zu folgender Aufgabe.

"Welchen Betrag muss man heute einzahlen, um eiene in 7 Jahren beginnende 14-mal verschüssig zahlbare Rente von 1000 € jährlich zu erhalten? i=4,5%"

Mein Rechenweg:



Wo ist mein Denkfehler? [die letzte Hochzahl heißt hoch 14 ... wird komisch dargestellt]

Bitte um Hilfe ... Danke!
domelius Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rentenrechnung
Sicherlich meinst du nicht "verschüssig" , sondern vorschüssig, d.h am Anfang jeder Zinsperiode (im konkreten Fall ist die erste Zahlung am Anfang des 7 Jahres)

Rentenbarwert einer vorschüssigen Zahlung, beginnend in der k-ten Periode und endend in Periode T:

Paul_007 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, verstehe ich leider immer noch nicht. Hammer
domelius Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rentenrechnung
Zuerst solltest du den Wert der Rentenzahlungen am Anfang der 7 Periode Bestimmen:

, wobei

Dann ist

Besser als das kann man das nicht erklären.
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

Ich halte mich aus finanziellen Dingen meist heraus, weil ich ohnehin nichts investieren kann, wegen meiner Armut, aber doch kann ich hier meine Formeln mitteilen.

Also:
Eine Rente soll ab einem gewissen Zeitpunkt bereitgestellt werden, das wäre mit Beginn des 7.Jahres, da vorschüssig gezahlt wird.
Da der Wert n (Anzahl der Zahlungen = Anzahl der Jahre) bereits feststeht, kann man nun den Barwert errechnen.
Ob dies von heute 14 Jahre lang, oder mit Beginn des 7. Jahres bis zum 20. Jahr geschieht, spielt für die Rechnung keine Rolle.

Der Endwert eines Kapitals ist gleich dem Endwert der vorschüssigen Rentenzahlungen.
Zunächst lautet die Formel für die vorsch. Rentenzahlungen
K(n)= Rq * (q^n -1) / (q-1) .......(R=Raten)
Da der Endwert eines Kapitals nun aber Barwert * Zinsfaktor ist lautet die Gleichung wie folgt:
B*q^n= Rq*(q^n -1)/( q-1)
Diese Formel muss nun auf beiden Seiten durch q^n dividiert werden, um den Barwert zu erhalten.
Anschließend die Rate 1000 € einsetzten und den Faktor 1,045.
Das Ergebnis ist nun genau das Kapital, was mit Ende des 6. Jahres angezahlt sein muss.
Bis dahin lässt du weiter das Geld arbeiten, denn es bringt dir bis dahin ja Zinsen.
Nun gilt die Formel für den Barwert einer einmaligen Zahlung:

B=K(n)/q^n

Und jetzt aufgepasst: für K(n) muss du jetzt das gefundene B aus obiger Rechnung verwenden, da man zwei verschiedene Variablen benutzt, aber ein und dasselbe meint.
Wir haben zwar oben den Barwert errechnet, aber dieser ist auch wieder Kapital (Laufzeit 6 Jahre)

Wünsche viel Erfolg

LGR
Paul_007 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke euch für die ausführlichen und hilfreichen Antworten. Habe mir das jetzt nochmal durch gerechnet und es stimmt. Vielen Dank.

Ich stehe aber leider schon wieder vor einer Aufgabe, die mir nicht ausgehen will. Nach einigem Probieren und mehrfach in den Taschenrechner eingeben weiß ich nicht weiter.

Ich glaube ich habe in der Formel einen Denkfehler, komme aber seit einer 3/4h nicht darauf.

Gegeben sind eine Jahresrente und die Verzinsungsdauer in Jahren.
Gefragt: Barwert (K0)
nachschüssige Rente: R = 1200
i4 = 2 1/4 %
n = 20




PS: Die Hochzahl soll 20 sein, wird wieder etwas komisch dargestellt.

Kann mir jemand nen Tipp geben? Ich komme einfach nicht darauf.
 
 
domelius Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist i4? Warum rechnest du mit 1,0225^4? Wann wird die Rente zum ersten Mal ausgezahlt? Schreib mal bitte die komplette Aufgabenstellung verständlich!

Der Barwert einer über T Perioden glechbleibenden nachschüssigen Rente, die in Periode 1 anfängt, berechnet sich wie folgt:



Bei einer vorschüssigen Rente dagegen:



mit

Du solltest den Unterschied unbedingt verstehen.

Ich habe den Eindruck, du hast eine Formel auswendig gelernt und versuchst, bei jeder Aufgabe einfach einzusetzen. Du solltest jedoch auch die Grundideen verstehen, sonst klappt es nicht weiter.

PS: Um die Hochzahlen richtig in Latex darzustellen, solltest du diese in { } schreiben, wenn sie aus mehreren Ziffern bestehen.
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, ob du die vorhergehende Aufgabe auch verstanden hast, können wir nicht beurteilen, denn du hast die Lösung nicht gepostet.
Wenn ich mich recht erinnere, lag sie um mehr als 8000€ aber <9000€ zum Einzahlungsdatum.
Erst wenn wir wissen ob du das wirklich gecheckt hast, ist die nächste Aufgabe interessant.

Also poste mal die Lösung, bitte.
LGR
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe ist (wieder einmal) leider unvollständig bzw. nicht im Originalwortlaut gestellt!

Zitat:
Original von domelius
Was ist i4? Warum rechnest du mit 1,0225^4?
...


Dies würde bei einem Quartalszinssatz (i4) von 2,25% zutreffen. Da die Rente aber jährlich ausbezahlt wird, ist der Jahres-Zinsfaktor . Bei 20 Jahresraten müsste aber der Exponent 20*4 = 80 irgendwo auftauchen ...

mY+
Paul_007 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rentenrechnung
Zitat:
Original von domelius
Zuerst solltest du den Wert der Rentenzahlungen am Anfang der 7 Periode Bestimmen:

, wobei

Dann ist

Besser als das kann man das nicht erklären.


7850,06 bekomme ich als Ergebnis raus, scheint auch so zu stimmen dank der sehr guten Erklärung.

Zu meiner aktuellen Frage ... es tut mir leid, aber das ist die Folge Angabe die ich hier stehen habe, ich habe weder etwas weggekürzt oder sonst etwas. unglücklich

Und ja, i(4) ist die Quartalsverzinsung. Das ganze verwirrt mich nämlich auch, wie ich das in der Formel berücksichtige.

domelius wenn ich deine Formel ansehe stimmt bei mir scheinbar nicht mal der Ansatz? verwirrt
domelius Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rentenrechnung
So, ich denke es ist fast richtig. Du solltest nur nicht mit dem Zinsfaktor, sonder mit dem Diskontfaktor multiplizieren. Richtig wäre:

. Siehe auch die erste der beiden Formeln, die ich aufgeschrieben habe. In diesem Fall ist
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, dein Ergebnis ist falsch.
7850,26 ist eindeutig zuwenig.
Du hast entweder nicht nach meiner Formel gearbeitet, oder Eingabefehler gemacht.
Nun zäumen wir das Pferd von hinten auf:
Und bitte! Nur der Reihenfolge nach lesen und verstehen.

Am Anfang des 14. Jahres wird das letzte Mal die Rente von 1000 € gezahlt (Kontostand 0 = Null)
Damit das Kapital auf diese 1000 € angewachsen ist, sind ein Jahr lang 4,5% Zinsen in diesen 1000 € enthalten. Das heißt, dass am Anfang des 13. Jahres der Betrag von 1000/1,045 = 956,938 € vorhanden sein mussten.
Aber auch noch 1000 €, die Anfang des 13. Jahres gezahlt wurden. Diese werden ja nicht mitverzinst.
Somit kannst du dir die Tabelle erstellen.
14. Jahr 1000
13. Jahr 1956,94
12. 2872,67
11. 3748,96
:
:
1. Jahr 10682,85 € sind nun der Betrag der genau für die Rentenzahlung vorhanden sein muss.

Die Formel nannte ich Dir bereits.
Sie lautet: B= Rq*(q^n -1)/[( q-1)*q^n]

10682,85 € sind aber nur 6 Jahre verzinst worden. Also teilst du, um den Einzahlungsbetrag für heute zu errechnen,
10682,85/1,045^6

Dies ergibt 8203,31€.

Solange du nicht mit dieser Art Aufgabe fertig wirst, brauchst du die nächste gar nicht in Angriff nehmen. Hier ist wirklich erst der Durchblick gefragt.

LGR
domelius Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Rechenschieber
10682,85 € sind aber nur 6 Jahre verzinst worden. Also teilst du, um den Einzahlungsbetrag für heute zu errechnen,
10682,85/1,045^6


Sein Ergebnis ist völlig korrekt. Hier solltest du 10682,85 durch 1,045^7 teilen und nicht durch 1,045^6. Die erste Rentenzahlung erfolgt ja genau 7 Jahren nach dem heutigen Zeitpunkt - entsprechend solltest du über 7 Jahren diskontieren. Vom Zeitpukt 0 bis zum Zeitpunkt 7 sind es ja genau 7 Zinsperioden.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmals zum ersten Beispiel. Hält man sich an ein bestimmtes "Kochrezept" bei Rentenaufgaben (hier im Forum schon oft gepostet, von mir aus gerne noch einmal), so braucht man sich weder einen Arm voll Formeln merken, noch entstehen solche Irrtümer wie vordem. Einzig und allein "Zählen" muss man können: 14 Jahre nach Beginn des 8. Jahres ist man am Beginn des 21. Jahres (man muss 21 - 7 rechnen!).

-------------------
Vorgehen bei Rentenaufgaben:

1. Aufstellen der Zeitlinie
2. Eintragen aller Zeiten und Beträge
3. Wahl des Zeit-Bezugspunktes
4. Summierung der Reihen

Beträge VOR dem Zeitbezugspunkt (sie liegen in der Vergangenheit) werden mit den Potenzen des Aufzinsungsfaktors q = 1 + i (i = p/100) aufgezinst (in die Zukunft bezogen), solche NACH dem Zeitbezugspunkt (liegen in der Zukunft) mit diesem abgezinst (in die Vergangenheit bezogen).

Die bereits auf den Zeitbezugspunkt bezogenen Beträge bilden eine geometrische Reihe, die nach deren Summenformel zusammengefasst (summiert) werden.
-----------------

Weitere Hinweise stehen noch bei

finanzmathe-zins

Mit diesem Werkzeug lautet die 1. Aufgabe dann so:

Zeitbezugspunkt heute (Anfang des 1. Jahres); r = 1000 GE; q = 1,045
Die erste Zahlung (am Beginn des 8. Jahres) ist 7 Jahre, die letzte 20 Jahre vom Zeitbezugspunkt entfernt.





Wir haben beim Summieren "von hinten" angefangen, also mit dem kleinsten Glied der geometrischen Reihe. Dadurch muss NICHT mit einem gebrochenen Quotienten gerechnet werden, sondern man kann einfach wieder q verwenden.

Analog kann man dies nun auch auf die 2. Aufgabe umsetzen, es ist sogar noch einfacher ...

mY+
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

Originaltext:

"Welchen Betrag muss man heute einzahlen, um eiene in 7 Jahren beginnende 14-mal verschüssig zahlbare Rente von 1000 € jährlich zu erhalten? i=4,5%"


Wenn heute der 1. 1. 2000 wäre, beginnt die erste Rentenzahlung am 1.1.07.
Das ist genau in 7 Jahren.
6 Jahre lang wird das Geld verzinst (ohne das abgehoben wird).
Mit beginn des 7. Jahres werden bereits 1000 Euro 14 mal gezahlt (vorschüssig).

Oder man schreibt so etwas ähnliches wie:
"Nach Ablauf von 7 Jahren wird..."

LGR
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Rechenschieber
...
6 Jahre lang wird das Geld verzinst (ohne das abgehoben wird).
Mit beginn des 7. Jahres werden bereits 1000 Euro 14 mal gezahlt (vorschüssig).
...


Himmiherrgottsakramentfixnochmalhallelujamilextoamoarschscheißklumpfaregts!

Big Laugh

Genau das stimmt nicht. Es beginnt am Beginn des 8. Jahres!!

Es sind und bleiben 7 Jahre. Die erste Rate liegt ja am Beginn des 8. Jahres, also hat das Kapital bis dahin auch 7 Jahre Zeit zur Verzinsung.

mY+
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

Nein.
Ich habs ja schwarz auf weiß hier vor mir liegen.
Welt und Zahl 1973 "10. Schuljahr" Ausgabe B Hermann Schrödel-Verlag.

Wenn ich doch am 1.1.2000 50Jahre alt werde, werde ich am 1.1.2007 auch nicht 58 Jahre alt.
In eurer Formel fehlt einmal die Division durch q^n.
Deshalb fällt bei euch der Barwert niedriger aus.

Ich stelle das ja nicht einfach in den Raum.
Nur möchte ich vor wirklichen Missverständnissen bewahren.
Sonst würde meine Hilfe ja auch keinen Sinn haben.

Wenn's sein soll, werde ich mir auch noch die Mühe machen und die ganzen Seiten einscannen.
19 Buchseiten Zinseszins und Rentenrechnung ohne die Herleitung der geometrischen Reihe.
Oder aber wir holen uns allgemein einen Rat durch einen Finanzmathematiker.

LGR
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Machen wir es Schritt für Schritt vom 1.1.2000 bis zum 1.1.2007:

1. Jahr: 1.1.00 - 1.1.01 = 1. Verzinsung
2. Jahr: 1.1.01 - 1.1.02 = 2. Verzinsung
3. Jahr: 1.1.02 - 1.1.03 = 3. Verzinsung
4. Jahr: 1.1.03 - 1.1.04 = 4. Verzinsung
5. Jahr: 1.1.04 - 1.1.05 = 5. Verzinsung
6. Jahr: 1.1.05 - 1.1.06 = 6. Verzinsung
7. Jahr: 1.1.06 - 1.1.07 = 7. Verzinsung

Es wird eindeutig 7 mal verzinst. smile

Allerdings: Am 1.1.07 wird verzinst UND ausbezahlt....

Und: Bücher können sich irren

LG sulo
domelius Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Rechenschieber
In eurer Formel fehlt einmal die Division durch q^n.


Beide Formeln sind absolut äquivalent, es kommt nur darauf an, ob man den Zinsfaktor (in deinem Fall) oder den Diskontfaktor (in meinem Fall) als q nimmt.

In den beiden Fällen gilt:



Wenn gewählt wird, dann muss man nicht durch q^n teilen, da es sich bereits um den diskontierten Kapital handelt. Bei dagegen muss man durch q^n teilen, da es sich um den aufgezinsten Endwert des Kapitals handelt. Normalerweise wählt man die erste Variante, da in disem Fall und dann im Grenzübergang . So kann man den Rentenbarwert einer ewigen Rente bestimmen, was z.B. bei der Bewertung von Wertpapieren nach der Discounted Cash Flow (DCF) Methode üblich ist.

Ich denke, wir sollen den Streit hier beenden.
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