Ausfallsicherheit Stromleitungsnetz [War: Verständnishilfe]

29.04.2009, 01:04

kruemel

Ausfallsicherheit Stromleitungsnetz [War: Verständnishilfe]

Also ich hab leider noch gar keine ansätze, da ich nicht verstehe, was von mir verlangt wird, vielleicht kann mir hier jemand helfen

Zitat:

Zwei Knotenpunkte a und b in einem Stromnetz seien durch zwei Leitungen verbunden, die jeweils einen Zwischenknotenpunkt c bzw. d durchlaufen. Jeder der 4 Teilstrecken ac, cb, ad und db können in einer von drei möglichen Ausführungen geplant werden, die jeweils x1, x2 bzw. x3 Euro kosten mit x1 < x2 < x3, wobei jede Teilstrecke unabhängig von den anderen je nach Ausführung mit der Wahrscheinlichkeit p1 = 0,1, p2 = 0,05 bzw. p3 = 0,01 innerhalb einer Zeiteinheit ausfällt.
Wie ist das Netz möglichst preiswert zu konstruieren, damit wenigstens mit Wahrscheinlichkeit 0,995 die Stromversorgung zwischen den Punkten a und b gesichert ist, d.h. einer der zwei Verbindungen beide Teilstrecken ac und cb bzw. ad und db funktionieren?

ich versteh in diesem Fall absolut nicht, wie ich die p's einsetzen soll.

Vielleicht kann mir irgendwer einen Ansatz geben, wäre auf jedenfall richtig nett (leider wird man ohne Skript auch nicht aus der Vorlesung schlau, was da gefordert ist)

Dank schon einmal

LG

29.04.2009, 04:10

frank09

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Seien Ausfallwahrscheinlichkeit für ac,cb,ad,db P1,P2,P3,P4.
Sei Strecke A-C-B "oben" und A-D-B "unten".
P, dass oben nichts ausfällt ist: (1-P1)*(1-P2)=P5
P, dass unten nichts ausfällt ist: (1-P3)*(1-P4)=P6

P, dass oben mind 1 ausfällt ist:1-P5
P, dass unten mind 1 ausfällt ist:1-P6

P, dass oben und unten je mind 1 ausf. ist (1-P5)*(1-P6) =P7<0,005

damit solltest du zurechtkommen

29.04.2009, 14:30

kruemel

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Hey

also erstmal danke dafür, würd mir ja auch weiterhelfen, aber wo bitte haste P4 her??? (dann wäre es ja sonst recht einfach)

LG

29.04.2009, 21:17

frank09

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P1,P2,P3,P4 sind nicht zu verwechseln mit p1,p2,p3. Es sind sozusagen Variablen.
Du kannst ja jede Teilstrecke anders "bauen" und somit hättest du z.B.
für Strecke ac, wenn du sie billig baust, die Ausfallwahrsch. von p1=0,1.
Diesen Wert würdest du P1 zuordnen. Wenn du Strecke cb ganz"teuer" baust, hättest du dafür
die Ausfallwahrsch. von p3=0,01. Diesen Wert würdest du dann P2 zuordnen, u.s.w
P1 bis P4 enthalten die jeweiligen Ausfallwahrsch. pro Teilstrecke je nach Bau.
z.B.
für Strecke ac P1=0,1
für Strecke cb P2=0,01
für Strecke ad P3=0,01
für Strecke db P4=0,05

Die Gesamtausfallwahrsch. wäre dann:

P=(1-(1-P1)*(1-P2))*(1-(1-P3)*(1-P4))=

(1-(1-0,1)*(1-0,01))*(1-(1-0,01)*(1-0,05))=0,006 (also zu hoch!)

erlaubt sind ja nur 0,005.

Du könntest jetzt alle Möglichkeiten durchprobieren:
gehen würde auf jeden Fall P1=P2=P3=P4=0,01, wäre aber zu teuer

die Summe von P1+P2+P3+P4 sollte möglichst hoch sein, denn je höher desto billiger,
darf aber die Gesamtausfallwahrsch. nicht über 0,005 treiben

Ein Tip: für die Lösung sind P1=P2 und P3=P4

30.04.2009, 19:39

kruemel

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okay vielen vielen dank, das hilft mir bzw uns wirklich extrem weiter

06.05.2017, 21:00

blackBeatle

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Hallo,

ich weiß, dieser Beitrag ist nun schon 8 Jahre alt, aber ich sitze momentan vor genau der gleichen Aufgabe. Ich frage mich, muss man nun tatsächlich systematisch die einzelnen Optionen ausprobieren oder gibt es ein Vorgehen, wie ich die p's berechne? Mir scheint nämlich einfach kein Weg einzufallen. :/ Wäre sehr dankbar, wenn jemand hier noch einen Rat dazu hätte. Gott

07.05.2017, 11:09

Huggy

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Man muss nicht alle 81 Kombinationen durchprobieren. Wenn man auf einer der Parallelstrecken das Anfangs- und das Endstück vertauscht, ändert das die Ausfallwahrscheinlichkeit nicht. Für jede der Parallelstrecken muss man daher statt 9 nur 6 Kombinationen betrachten. Das reduziert die Sache schon mal auf 36 Kombinationen. Da die Vertauschung der beiden Parallestrecken untereinander auch nichts ändert, reduziert sich dies auf 21 zu betrachtende Kombinationen. Und auch die muss man nicht alle durchprobieren. Hat man eine Kombination, die nicht geht, gehen auch alle Kombinationen nicht, wenn man ausgehend von dieser Kombination noch eine oder mehrere billigere Teilstrecken verbaut.

Wenn man sich mal die Ausfallwahrscheinlichkeiten der 6 Kombinationen für eine Parallelstrecke hinschreibt, sieht man so sehr schnell, dass nur wenige Produkte aus diesen 6 Ausfallwahrscheinlichkeiten die Anforderung < 0.005 erfüllen.

07.05.2017, 14:02

HAL 9000

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Ich würde so herum rangehen: Sei o.B.d.A. acb der zuverlässigere der beiden Pfade mit Zuverlässigkeit $\begin{align*} p_c \end{align*}$ , die andere adb habe Zuverlässigkeit $\begin{align*} p_d \end{align*}$ mit $\begin{align*} p_d\leq p_c \end{align*}$ .

Aus Forderung $\begin{align*} 0.995 \leq 1-(1-p_c)(1-p_d) \leq 1-(1-p_c)^2 \end{align*}$ folgt $\begin{align*} p_c\geq 0.929 \end{align*}$ . Offenkundig kann dann ac oder cb nicht Zuverlässigkeit 0.9 haben, und auch zweimal 0.95 ist zuwenig bei dieser Reihenschaltung. Man hat also nur noch folgende möglichen Fälle für die Ausfallwahrscheinlichkeiten der beiden Komponenten im Zweig acb:

1.Fall: Zweimal $\begin{align*} p_3 \end{align*}$ für ac und cb,

2.Fall: Je einmal $\begin{align*} p_2 \end{align*}$ und $\begin{align*} p_3 \end{align*}$ für ac und cb.

Nun sind beide Fälle zu untersuchen hinsichtlich dessen, was man dann noch in dem anderen Zweig adb an Zuverlässigkeit benötigt, und ist da sehr rasch am Ziel.

07.05.2017, 23:12

blackBeatle

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Okay, also wenn ich die Sache mit den Fallunterscheidungen so angehe, dass ich sage für Fall 1:

$\begin{eqnarray*} 0.995 \leq 1 - 0.0119 \cdot (1 - p_d) \Leftrightarrow 0.0995 \leq 1 - 0.0119 + 0.0199 p_d \Leftrightarrow 0.754 \leq p_d \end{eqnarray*}$

Das heißt, hier würden doch schon zweimal p1 ausreichen für adb? verwirrt

und für Fall 2:

$\begin{eqnarray*} 0.995 \leq 1 - 0.0595 \cdot (1 - p_d) \Leftrightarrow 0.0995 \leq 1 - 0.0595 + 0.05595 p_d \Leftrightarrow 0.924 \leq p_d \end{eqnarray*}$

Und hier hätte ich dann für $\begin{eqnarray*} p_d \end{eqnarray*}$ einmal p2 und einmal p3?

Also wäre der Fall 1 der optimale? Oder habe ich mir hierbei etwas Falsches gedacht? Hammer

08.05.2017, 08:06

HAL 9000

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Ja, so hatte ich es auch raus. Freude

08.05.2017, 09:04

blackBeatle

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Aaah suuuper! Vielen, vielen Dank für die Hilfe! Gott

08.05.2017, 15:45

matheya

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Moin,
Ich versteh nicht, warum pc = 0.929 ist ?

08.05.2017, 15:57

HAL 9000

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Oben steht $\begin{align*} \geq \end{align*}$ statt $\begin{align*} = \end{align*}$ , bitte beachte das.

Stelle die Ungleichung $\begin{align*} 0.995 \leq 1-(1-p_c)^2 \end{align*}$ nach $\begin{align*} p_c \end{align*}$ um.

08.05.2017, 16:42

noobyy

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$\begin{eqnarray*} 0.995&#8804;1&#8722<img src="images2/smilies/mecry.gif" border="0" alt="traurig" title="traurig" /> 1&#8722;pc)(1&#8722;pd)&#8804;1&#8722<img src="images2/smilies/mecry.gif" border="0" alt="traurig" title="traurig" /> 1&#8722;pc)^2 \end{eqnarray*}$

Wie kommt man auf den letzten Teil der Gleichung? verwirrt

08.05.2017, 16:44

noobyy

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Also auf den Teil mit 1-(1-pc)^2

08.05.2017, 17:44

HAL 9000

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Steht eigentlich alles schon oben, also nochmal in aller Ausführlichkeit:

$\begin{align*} 1-(1-p_c)(1-p_d) \end{align*}$ ist die Zuverlässigkeit der gesamten Schaltung, und die soll laut Aufgabenstellung mindestens 0.995 betragen.

Aufgrund der Symmetrie der beiden Zweige acb und adb nehme ich nun o.B.d.A an, dass Zweig acb (Zuverlässigkeit $\begin{align*} p_c \end{align*}$ ) mindestens ebenso zuverlässig ist wie Zweig adb (Zuverlässigkeit $\begin{align*} p_d \end{align*}$ ), d.h. in Formeln $\begin{align*} p_c\geq p_d \end{align*}$ . Aus letzterer Ungleichung folgt sukzessive

$\begin{align*} 1-p_d &\geq 1-p_c\\ (1-p_c)(1-p_d) &\geq (1-p_c)^2\\ 1-(1-p_c)(1-p_d) &\leq 1-(1-p_c)^2 \end{align*}$

und damit (s.o.) auch insgesamt $\begin{align*} 0.995 \leq 1-(1-p_c)(1-p_d) \leq 1-(1-p_c)^2 \end{align*}$ .

P.S.: Eigentlich sollte man gar nicht antworten, solange man mit solchem Symbolmüll belästigt wird ... nun gut, ich habe diesen deinen Beitrag mit Ausnahme der letzten Zeile ignoriert.

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