abstandsberechnung von punkt zur geraden

14.09.2006, 12:19

*chica*

Auf diesen Beitrag antworten »

abstandsberechnung von punkt zur geraden

guten morgen...

also, ich weiß, dass ich (um den abstand von einem punkt p zu einer geraden g zu berechnen) eine "lotebene" wählen/spannen muss, die den punkt p beinhaltet und senkrecht zur geraden g verläuft.
senkrecht zur geraden heißt doch, dass sie die gerade am einem punkt schneidet, oder???
und sie steht dann in rechten winkel zur geraden, ja???
soviel zur optischen darstellung;

und rechnerisch...?
muss ich doch jetzt aus dem punkt und der geraden die ebenengleichung austellen.
aber wie mach ich das????
wenn angenommen:

$\begin{eqnarray*} P (2/-3/5) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bitte helft mir!!

ciao *chica*

14.09.2006, 12:28

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: abstandsberechnung von punkt zur geraden
du hast den punkt P der ebene und ihren normalenvektor = RICHTUNGsvektor der geraden.
damit kannst du die koordinatenform von E aufstellen.
werner

14.09.2006, 12:39

*chica*

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: abstandsberechnung von punkt zur geraden
ok
das heißt also, dass ich den richtungsvektor der geraden als normalenvektor meiner gesuchten ebene nutzen kann?

wir haben in der schule noch keine koordinatenform durchgenommen, ich weiß aber, wie ich von der parameterform auf die koordinatenform komm!
kann ich auch erst die parameterform bilden???

ciao *chica*

14.09.2006, 12:51

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: abstandsberechnung von punkt zur geraden
ja, wenn du aus dem normalenvektor 2 spannvektoren der ebene ableiten kannst.
aber das wäre die kirche ums kreuz tragen. Big Laugh

Big Laugh

die koordinatenform der ebene lautet: ax + by + cz = d, wobei a, b und c die x, y und z-komponente des normalenvektors sind, d erhältst du, indem du den punkt P einsetzt.
und nun in die ebene für x... die entsprechenden komponenten aus der geraden einsetzen, gibt den parameter t des schnittpunktes.
was ja viel einfacher ist, als wenn du die beiden parameterformen gleichsetzt und das lgs lösen mußt
(E:2x + y - z = d)
werner

14.09.2006, 13:12

*chica*

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: abstandsberechnung von punkt zur geraden

Zitat:

ax + by + cz = d, wobei a, b und c die x, y und z-komponente des normalenvektors sind

das bedeutet, dass ich für a, b und c die x, y und z werte des normalenvektors einsetzen muss...?

ist das mein normalenvektor???

$\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ciao *chica*

14.09.2006, 13:33

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: abstandsberechnung von punkt zur geraden
ja,
steht eh oben, der RICHTUNGsvektor der GERADEn ist der NORMALENvektor der EBENE, dann stehen die beiden aufeinand SENKRECHT. unglücklich

unglücklich

werner

Anzeige

14.09.2006, 13:51

*chica*

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: abstandsberechnung von punkt zur geraden
gut, danke

Zitat:

d erhältst du, indem du den punkt P einsetzt

für d hab ich -4 raus, d.h.:

$\begin{eqnarray*} E: 2x+y-z= -4 \end{eqnarray*}$

Zitat:

nun in die ebene für x... die entsprechenden komponenten aus der geraden einsetzen

in die koortinatenform???

Zitat:

gibt den parameter t des schnittpunktes.

dazu muss ich doch irgentwas gleichsetzen!! oder nicht?????
wenn ja, was???

ciao *chica*

14.09.2006, 14:52

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi

Also der Geradenvektor sieht ja so aus :

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x} =\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt ja dann:

x = 4+2t
y = 3+1t
z = 3-1t

Das musst du dann in die Koordinatengleichung der Ebene einsetzen und dann nach t auflösen.
Danach noch den Wert für t in die Geradengleichung einsetzen und du erhälst den Durchstoßpunkt von Gerade und Ebene.

Die Entfernung vom Durchstoßpunkt und dem Punkt P entspricht somit dem Abstand von P zur Geraden g.

Gruß Björn

14.09.2006, 15:10

*chica*

Auf diesen Beitrag antworten »

danke,

Freude

ich glau ich habs jetzt verstanden:

ich hab jetzt

Zitat:

x = 4+2t
y = 3+1t
z = 3-1t

in

Zitat:

E:2x + y - z = -4

eingesetzt und nach t aufgelöst und für t -2 raubekommen smile

smile

smile

und nun t=-2 in g eingesetzt und meinen durchstoßpunkt s draubekommemn, mit:

$\begin{eqnarray*} S\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

btte sag mir das ich das richtig gemacht habe!!

ciao *chica*

14.09.2006, 15:13

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Genauso ists richtig Freude

Freude

Kriegst du nun die Abstandsberechnung auch noch hin?

14.09.2006, 15:17

*chica*

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, hab grad gemerkt, das der noch fehlt traurig

traurig

mal überlegen, verwirrt

verwirrt

ich hab jetzt zwei punkte, von denen ich den abstand zu einander wissen will... kann ich jetzt nicht einfach dem einen punkt den anderen abziehen??????
wenn ja, ist es egal, welchem ich welchen abziehe????

ciao *chica*

14.09.2006, 15:19

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von *chica*
ja, hab grad gemerkt, das der noch fehlt traurig

traurig

mal überlegen, verwirrt

verwirrt

ich hab jetzt zwei punkte, von denen ich den abstand zu einander wissen will... kann ich jetzt nicht einfach dem einen punkt den anderen abziehen??????
wenn ja, ist es egal, welchem ich welchen abziehe????

ciao *chica*

jein!

ist nur die hälfte, da fehlt noch was!!

14.09.2006, 15:20

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

kann ich jetzt nicht einfach dem einen punkt den anderen abziehen?

Bisschen gewöhnungbedürftig formuliert Augenzwinkern

Augenzwinkern

Anders ausgedrückt:

Bilde den Vektor PD (D für Durchstoßpunkt), also durch OD-OP.
Jetzt musst du eben noch die Länge dieses Vektors berechnen.
Das hattest du ja schonmal gemacht - weisst du noch wie es geht ?

14.09.2006, 15:29

*chica*

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Nun kann man leicht durch Subtraktion der x1; x2; x3 -Werte von P und S den Abstand zwischen den Punkten P und S und somit den Abstand des Punktes P von der Ebene E ausrechnen.

besser formuliert???

ok
OD-OP=Abstand= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

richtig??

was ist dann der betrag des abstandes und warum OD-OP und nicht anderstrum

ciao *chica*??

14.09.2006, 15:35

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ein Vektor gibt doch keinen Abstand an.
Der Abstand ist immer eine Maßzahl.

Du musst jetzt noch die Länge, also den Betrag dieses Vektors, berechnen.

Das hatten wir ja hier schonmal mit dem Normalenvektor:

aufgabe zur hesse`schen normalenform

Das steht in meinem zweiten Post in diesem Thread smile

smile

Achja wegen

Zitat:

besser formuliert???

War jetzt nicht ganz so ernst gemeint Big Laugh

Big Laugh

Gruß Björn

14.09.2006, 15:48

*chica*

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

War jetzt nicht ganz so ernst gemeint

von mir auch nicht, wollt nur zeigen, dass ichs kann...
ich meine wissen wie heißt auch wissen wo´s steht!!

Zitat:

Das hatten wir ja hier schonmal mit dem Normalenvektor

Hammer

hm, ja!!!

$\begin{eqnarray*} \sqrt{-2^{2} + 4^{2}} \end{eqnarray*}$

so?!

ciao *chica*

14.09.2006, 15:50

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

-2 noch in Klammern setzen, weil das minus auch quadriert werden soll.

Und was kommt dann raus?

14.09.2006, 15:55

*chica*

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Und was kommt dann raus?

$\begin{eqnarray*} 4,472135955 \end{eqnarray*}$

Zunge

Zunge

Zunge

Zunge

Augenzwinkern

stimmts???

ciao *chica*

14.09.2006, 16:03

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

^^ Joa, stimmt.

Wird aber von Lehrern immer gerne gesehen wenn man der Genauigkeit halber den Abstand als Wurzel schreibt, also $\begin{eqnarray*} d=\sqrt{20}=2 \cdot \sqrt{5} \end{eqnarray*}$

So ne Zahl wie 4,47213.... ist ja nie genau, Wurzel aus 20 allerdings schon Augenzwinkern

Augenzwinkern

Naja, es sei denn euer Lehrer sagt so etwas wie: "Gebt das Ergebnis mit zwei Nachkommastellen an"

Ok, dann haste das ja ganz gut verstanden - hoffe ich smile

smile

Gruß Björn

14.09.2006, 16:12

*chica*

Auf diesen Beitrag antworten »

boa bist du peniebel Augenzwinkern

Augenzwinkern

Augenzwinkern

schon klar, bei mir auf´m blatt steht wurzel aus 20!!
aber danke, das kürzen hätte ich schon wieder vergessen!!!

also danke nochmal!!!!!!!!!!!!!!!!!!
hast mir sehr geholfen! Freude

Freude

ciao *chica*

14.09.2006, 16:13

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen smile

smile

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »