Beschränkte Abnahme |
| 30.04.2009, 11:33 | Martin N. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Beschränkte Abnahme Ziel ist es, die Entwicklung der 100m Siegerzeiten der Frauen und Männer miteinander zu vergleichen und mathematische Modelle zur Hilfe zu nehmen! Da ja das Modell der Regressionsgeraden nicht hilft, wird nur dieses Modell genommen. Habe leider keine brauchbare Hilfeseite im Internet zur beschränkten Abnahme gefunden, weshal ich dieses Thread eröffne. Die Formel müsste lauten: f(t)= a+b*e^-kt Ist diese schonmal richtig? Wie gehe ich nun weiter vor, welche Werte muss ich verwenden usw.? (gegeben habe ich die Jahreszahle 1928,1932...2004 und die dazugehörigen Zeiten der Männer und Frauen) Ich bedanke mich recht herzlich und verbleibe hochachtungsvoll, Martin |
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| 30.04.2009, 12:20 | Zellerli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Du hast ja jetzt drei Unbekannte, also bräuchtest im Prinzip nur 3 Punkte einzusetzen und hättest eine mögliche Kurve. Die ignoriert allerdings die anderen Messpunkte komplett und auch der Zusammenhang zwischen den Punkten geht verloren. Um eine Regression kommst du vermutlich nicht rum. Dass das wohl keine lineare sein kann, steht ja schon im anderen Thread. Jede andere ist aber in der Regel wesentlich komplizierter... Es gäbe natürlich noch die Möglichkeit mit diversen Programmen eine Kurve in deine Messreihe einzupassen. Bei manchen kannst du "rumspielen", bis es am besten passt, andere berechnen das selbst. Für diese professionelleren Programme müsstest du dich wohl eher an Nachbarwissenschaften der Mathematik wenden, da die ja ständig messen und mit beschränker Ahnung von Mathe trotzdem mathematisch verwendbare Ergebnisse wollen 
Keine Ahung welches Programm das am besten macht... |
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| 30.04.2009, 12:26 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Es gäbe die Möglichkeit, zu logarithmieren und dann eine Regressionsgerade zu bestimmen. Logarithmiere nun auch die Messpaare und bestimme die Regressionsgerade. Dabei ist -k die Steigung und ln b der y-Achsenabschnitt. Dann wieder die e-Funktion anwenden und du hast f(t). air |
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| 30.04.2009, 15:04 | DaniKo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Logarithmieren ist einen Versuch Wert. Allerdings wird es vermutlich wegen des +-Zeichens Probleme geben. Logarithmieren geht i.A. nur dann gut, wenn alle Ausdrücke durch * verknüpft sind. Was du versuchen könntest, ist mit der Methode der kleinsten Quadrate dir selbst einen Schätzer herzuleiten. |
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| 30.04.2009, 16:03 | Martin N. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Beispielsweise a=die Zeit von 1928; b= die Zeit von 1972 und t= Zeit von 2004 ? Wäre irgendwie zu einfach und ja wie du schon gesagt hast, halt extrem ungenau.
Meinst zu z.B. Derive?
Mist. Auf der Seite .amustud.de/sportlich/Oberstufe/Sprint/Sprint2-b-lsg.htm#sprint_l%C3%B6sung wurde es per beschränkter Abnahme gelöst. Aber wenn ich euren Tenor beachte kann ich das knicken, da ja nur bestimmte Bereiche/Jahre/Zeiten berücksichtigt werden (verstehe den Lösungsweg auf der Seite dennoch nicht).
Und somit das Modell der beschränkten Abnahme komplett vergessen? Dein Modell sagt mir leider nichts, muss mich also erst komplett neu reinfuchsen. Bin übrigens nur ein GK'ler und wollte keine zu abstrakten Modelle verwenden, jedoch: Wenn es eben ein vernünftiges gibt, muss ich mich wohl damit auseinandersetzen. Gruß und besten Dank! |
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| 05.05.2009, 16:55 | Martin N. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
liest noch jemand mit? |
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| 05.05.2009, 17:10 | Zellerli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Also ich bin angesichts deiner Vorkenntnisse weiterhin für ein Programm
kA ob das Derive macht, aber ich glaube sogar Mathematica und DataStudio können prinzipiell Kurven fitten.Gibt allerdings sicher auch bessere Programme. Kenne mich da leider zu schlecht aus. |
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| 05.05.2009, 17:17 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja; was das aber mit Stochastik zu tun hat, weiss ich jetzt auch nicht. Jedenfalls wird das mal verschoben ... Warum hast du deinen anderen Thread nicht weitergeführt, wenn hier doch die gleiche Ausgangssituation wie dort besprochen werden soll? Einer der beiden Threads wäre eigentlich zu schließen ... Mittels der Boardsuche kannst du hier auch genügend Beispiele der beschränkten Abnahme finden. Hast du damit schon mal deine Messwerte zu modellieren versucht? mY+ |
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| 11.05.2009, 18:02 | Martin N. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Sorry dass ich solange nicht geantwortet habe. Stimmt, hat eigentlich nichts mit Stochastik zu tun, hatte da leider einen kleinen Denkfehler. Ich beschäftige mich momentan mit dem Modell der beschränkten Abnahme, verstehe jedoch nicht so genau die Gleichung und wieso man dieses Modell anwenden muss. Ist dieses Modell allgemein gut verwendbar? Oder gäbe es ein noch besseres Modell? Die Gleichung müsste lauten: f(t)= a+b*e^-k*t Welche Werte setze ich nun hier ein (i.d.F bei den Frauen), bzw. wie funktioniert das Auflösen?
Was meinst du mit modellieren? Viele liebe Grüße und besten Dank, |
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| 11.05.2009, 20:44 | Martin N. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
In Anlehnung an deinen Post bei dem Thema des Modellieren von Wachstumsprozessen komme ich hier nochmal auf diesen zurück. Du schreibst:
Ich benötige also auch drei Konstanten. Nehme ich die Messpunkte 1928; 1968 und 2000 erhalte ich für t: t=0 (bei 1928) t=40 (bei 1968) und t=72 (bei 2000) Habe die Rechnung von dir mal auf meine angeandt. Folgendermaßen: 10,75= a-b*e^-72k 11,0= a-b*e^-40k 12,2= a-b 10,75-12,2 = -1,45 11,0-12,2= -1,2 substraktion: -1,45= b(1-e^-72k) <== Wie bist du hier auf die "1" gekommen? -1,2= b(1-e^-40k) Gleichsetzen: b= -1,45/ 1-e^-72k = -1,2/1-e^-40k -1,45* (1-e^-40k) = -1,2*(1-e^-72k) <-- Lösen mittels CAS ==>> k=0,03651 <<== Der Wert ist richtig, das weiß ich. Wie berechne ich jedoch jetzt b und a? Liebe grüße |
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| 11.05.2009, 22:32 | Martin N. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ok habe es geschafft a und b zu berechnen. Yeah 
Wie stelle ich das jedoch nun grafisch am besten dar? Per Excel? |
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| 17.05.2009, 11:17 | Martin N. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Eine grafische Darstellung ist mir gelungen, jedoch hätte ich noch ein paar Fragen zu den Gleichungen. mYthos, liest du noch mit? Wenn ja, werde ich sie stellen, ansonsten lohnt sich das Schreiben leider nicht. Würde mich wirklich sehr freuen. Liebe Grüße, |
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| 17.05.2009, 12:17 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja, freilich lese ich mit. Wenn du konkrete Fragen stellst, wird dir hier sicher jeder antworten, der dazu etwas weiss. Du hast die Funktion bzw. a, b nicht näher angegeben. Du kannst sie sogar hier mit dem Funktionsplotter darstellen. Bei k habe ich denselben Wert wie du, a, b waren jedoch nicht eindeutig zu ermitteln. mY+ |
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| 17.05.2009, 20:18 | Martin N. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Meinen Rechenweg habe ich an die aufgabe von dir bezüglich der Einwohnerzahlen angepasst. Funktion lautet: f(t)=a+b*e^-k*t 10,75= a-b*e^-72k 11,0= a-b*e^-40k 12,2= a-b Die hat sich ergeben. Könntest du mir das bitte näher erläutern wieso machn die Zeiten gleich den Paramtern setzen muss und wieso in dieser Reihenfolge? Desweiteren: Wieso muss man eine Subtraktion durchführen und woher kommt die "1" -1,45= b(1-e^-72k) -1,2= b(1-e^-40k) Liebe Grüße, |
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| 19.05.2009, 12:46 | Martin N. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wieso waren denn a und b nicht eindeutig zu ermitteln? (Die vorherige Frage besteht weiterhin) Viele liebe Grüße, |
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| 19.05.2009, 22:34 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das System dieser drei Gleichungen in a, b, k hat als triviale Lösung k = 0, deswegen waren a, b in diesem Fall nicht eindeutig zu berechnen. Eine weitere Lösung für k ist 0,03651. Da dieser Wert sehr nahe an 0 liegt, bringen Näherungsverfahren und auch CAS diese Lösung erst dann, wenn man das Intervall entsprechend eingrenzt. In DERIVE muss man als untere Grenze z.B. 0.01 eingeben. Um das System zu lösen, wird zunächst a durch b + 12.2 ersetzt: ------------------------------------- ------------------------------------- Nun muss man zusammenziehen und b ausklammern, deswegen entstehen die 1 ! ------------------------------------- Nach Dividieren oder Gleichsetzen kommt Man sieht sofort, dass eine Lösung k = 0 ist. Nach Feintuning bei dem Näherungsverfahren ergibt sich auch k = 0,03651; dazu gibt es dann selbstverständlich eindeutig b = -1,56278 und a = 10.63722 mY+ |
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| 25.05.2009, 19:29 | Martin N. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Als was wird denn "k" genau angegeben? Prozentual ja nicht, oder? Ich habe überall die gleichen WErte erhalten wie du. Juhu
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| 26.05.2009, 02:50 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
k = 0,03651 ist die Zerfallskonstante. Erst wenn (für t = 1) damit (genauer mit -k, wie in der Formel) die e-Potenz ausgeführt wird, erhält man einen Faktor, mit dem der nachfolgend prozentuelle Anteil berechnet werden kann (Restmenge 96,4%). mY+ |
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| 26.05.2009, 09:55 | Martin N. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Also ist "k" bisher einfach nur ein Wert, der keine bestimmten Einheiten (wie Prozent etc) hat? Für welchen bestimmten Typus von Rechnungen wird eine beschränkte Abnahme noch benötigt und was sind die Besonderheiten? - E-Funktion bietet den Vorteil, dass der Wert nie 0 werden kann; - welche besondere Auswirkungen hat das "-" vor dem "k" ? Liebe Grüße, m.n. |
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| 26.05.2009, 12:29 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Der negative Exponent kennzeichnet ein stetiges Defizit (Zerfall), der positive ein stetiges Wachstum. Das kannst du auch selbst mit einigen Werten durchspielen. .......................... Defizit (negativer Exponent) ................................................................................... Bestand Da das Defizit stetig abnimmt, steigt letztendlich der Wert in der gegebenen Bestandsfunktion. --------------------------------------- Stetiges Wachstum (Beispiel, positiver Eponent): mY+ |
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| 26.05.2009, 13:10 | Martin N. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Für welchen bestimmten Typus von Rechnungen wird eine beschränkte Abnahme noch benötigt und was sind die Besonderheiten? Kannst du das noch bitte beantworten? Und was sagt mir der prozentuale Abanhmefaktor von 96,4143% ? Wo drauf bezieht sich der- auf welche Jahre/Einheiten? LG |
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| 26.05.2009, 15:25 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Abnahme der Temperatur (Abkühlung) bis auf die Umgebungstemperatur. Die prozentuelle Änderung bezieht sich natürlich auf die Zeiteinheit, deswegen wurde ja auch t = 1 gesetzt (Änderung von t=0 auf t=1; bei t 0 liegt der Anfangsbestand [1 oder 100%] vor). mY+ |
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| 26.05.2009, 16:29 | Martin N. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Aber 96,4143% von 12.2 wären doch dan n 11,76. Und 11.76 sekunden wurden nie gelaufen. Das sind die verwendeten Zeiten. .amustud.de/sportlich/Oberstufe/Sprint/Sprint1.htm#Sprint_anfang Welches Modell gäbe es noch neben dem Modell der Regressionsgeraden und dem Modell der beschräkten Abnahme, um eine Zeitentwicklung darzustellen? Liebe Grüße, |
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| 26.05.2009, 17:23 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Es handelt sich um keinen Prozentanteil der Zeit, sondern des Bestandes! Das ist ein erheblicher Unterschied. Welches Modell zur Anwendung kommt, hängt im hohen Grade von den Eigenschaften und Aussehen des funktionalen Zusammenhanges ab. Letztendlich spielt auch eine Rolle, welche Fehlertoleranz einzuhalten ist bzw. wie weit die mathematische Kurve die Realität nachbilden soll. Gut bewährt hat sich in diesem Zusammenhang die Erstellung der Trendfunktion mittels Excel, weil dort neben der linearen Regression (Regressionsgeraden) auch andere Arten von Regessionskurven gewählt weden können (polynomisch, exponential, logarithmisch) und die Genauigkeit letztendlich in Form des Bestimmtheitsmaßes angezeigt wird. mY+ |
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| 26.05.2009, 19:16 | Martin N. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Was ist den auf meine aufgabe bezogen der "Bestand"? Es gilt natürlich eine möglichst geringe Fehlertoleranz zu erzeugen. Polynomisch, exponentiel,logarithmisch sind denke ich nicht besser, wie ich auf den ersten Blick gesehen habe. Aber im endefekt gibt es qohl nur diese beiden Modelle, wobei ich das der Regressionsgeraden eben verfeinern kann. Wie berechnet sich eigentlich die Regressionsgerade genau? Der Wikipedia Artikel ist etwas zu kompliziert für mich. 2,3 leichte Sätze wären da sehr nett von dir. Gibt es Modelle, in die man weiter Einflussfaktoren mit einbeziehen kann- in Anlehnung an diese Aufgabe? Lg
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| 27.05.2009, 12:07 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Der momentane "Bestand" ist die jeweils vorhandene - zeitabhängige - Anzahl / Menge von Individuen oder anderer messbarer Größen (Längen, Flächen, Temperatur, ...) , also der Funktionswert f(t). Die Regressionsanalyse ist zu komplex, als dass du sie in zwei, drei einfachen Sätzen beschreiben könntest. Die Ermittlung der Regressionsgeraden bei der linearen Regression ist hingegen in dem Wiki-Artikel an Hand des Beispieles Absatz der Sektflaschen in Abhängigkeit vom Preis gut beschrieben. Es kommt die Methode der kleinsten Quadrate zur Anwendung, wobei meines Wissens im Schulbereich auf die Einführung der Störgröße verzichtet wird. http://de.wikipedia.org/wiki/Regressionsanalyse mY+ |
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| 27.05.2009, 13:03 | Martin N. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
kann geclosed werden, alles hat sich nun erledigt! Danke dir vielmals! |
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