Mathe Abi 09 BW |
| 30.04.2009, 17:07 | Krotzel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Mathe Abi 09 BW ich hab zwar schon vor einem Monat das Abi geschrieben, aber die Sache juckt mich immer noch Könnte mir jemand noch sagen wir ich beide Schaubilder in einem Koordinatensystem darstellen? also die gerade y=7 und das Schaubild stellen den Querschnitt einer Brücke dar. In der Mitte fährt ein Zug durch der 3 lang is und 4 hoch, er fährt auf der x-Achse und is symetrisch zur y-Achse. Die Frage ist nun: wie groß ist der kürzeste Abstand des Zuges zum Tunnel? was mich nervt ist, dass jeder einen anderen Lösungsweg hat(te)... und die Ergebnisse varrieren und jetzt wollt ich mal eure Meinung hören wie man das exakt! berechnet. mein Lösung war: man muss eine Normale vom Punkt (1,5/4) [Eckpunkt des Zuges] aus an das Schaubild legen und der Abstand berechnen. Die Normale steht ja senkrecht zum Schaubild und sollte somit den kürzesten Weg zum Punkt (1,5/4) haben. Das Problem war, dass ich noch nie eine Normale an ein Schaubild gelegt habe, von einem Punkt aus der nicht auf dem Schaubild ist. Ich habe einfach so getan als ob es ein Tangente wäre und hab statt f´(x), -1/f´(x) genommen, ich hoffe das stimmt. was meint ihr dazu, bin ich auch der richtigen Seite? weil ich keine einzigen gefunden hab der die Aufgabe so behandelt hat. |
||||||
| 30.04.2009, 18:12 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, also, ob die Sache mit der Normalen wirklich die richtige Lösung ist ... 
Erst mal ist klar, dass der Eckpunkt (1,5 | 4) bzw. (-1,5 | 4) mininmalen Abstand von der Tunnelwand hat und nicht irgend ein anderer Punkt des Zuges. Aber warum soll denn nun die Normale die Linie mit dem kürzesten Abstand sein? Nach Definition / Konstruktion bildet die Normale schon einen rechten Winkel mit der Kurve der Tunnelwand. Aber deshalb ist das noch lange nicht die kürzeste Verbindung. Das wäre doch nur der Fall, wenn die Tunnelwand eine GERADE wäre. Aber die Tunnelwand ist gebogen und könnte deshalb an anderer Stelle noch näher an den Eckpunkt des Zuges führen! Ob das so ist, weiß ich nicht. Aber das spielt auch gar keine Rolle. Entweder man BEWEIST, dass die Normale für DIESE Kurve die kürzeste Verbindung liefert (und diesen Beweis sehe ich nicht) oder das Verfahren ist nicht gültig. Also ich denke, hier sollte man eher folgendermaßen vorgehen: Sei A(1,5 | 4) der Eckpunkt des Zuges. Man wählt einen beliebigen Punkt auf der Tunnelwand. Nennen wir ihn P(x|y). Und dann berechnen wir den Abstand |AP| in Abhängigkeit von x. Die Funktion, die wir erhalten sei d(x) = ... Und diese Funktion d(x) musst du minimieren, d.h. die Ableitung bilden, diese Null setzen etc. etc. Ich hab das jetzt nicht durchgerechnet, aber das könnte schon ganz schön haarig werden. Eine richtige Abituraufgabe eben ... 
Grüße |
||||||
| 01.05.2009, 14:47 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mit der Aufgabe scheint etwas faul zu sein, denn analytisch scheint mir das nicht lösbar. Egal, ob man über das Abstandsquadrat geht oder über die Normale, ich bekomme immer eine Gleichung 11. Grades heraus. Numerisch erhält man für die x-Koordinate des Punktes mit minimalem Abstand: |
||||||
| 01.05.2009, 15:25 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi Huggy, da bin ich ja froh, dass es dir ebenso wie mir ergeht. Man kann die Aufgabe zwar ein wenig vereinfachen, in dem man statt d(x) die Funktion (d(x))² minimiert - aber dann kriege ich immer noch eine Gleichung 7. Grades heraus. Und das ist immer noch entschieden zu viel. Ganz abgesehen, von dem immensen Aufwand, der anfällt beim Auswerten der 2. Ableitung, bzw. beim Nachweis des "richtigen" Vorzeichenwechsels der 1. Ableitung. Also entweder ist mit der Aufgabe etwas nicht in Ordnung oder wir haben tatsächlich einen alternativen Ansatz übersehen ... Grüße |
||||||
| 03.05.2009, 15:14 | Krotzel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wie du schon selber feststellst wäre mein Verfahren bei einer Gerade gültig, was eig. auch sofort klar ist. Aber nun versteh ich nicht warum das bei einer Kurve nicht auch funktionieren sollte. Da jeder Punkt der Kurve eine dazugehörige Tangente hat, und in Abhängigkeit dazu immer eine Normale. Würde ich jetzt wie du oben schon meintest einfach den kürzesten Abstand von einer Geraden zum einem Punkt suchen, kann man mit der Normale argumentieren. Wenn wir also einen Punkt (x/y) suchen der den kürzesten Abstand zu (1,5/4) hat, dann hat (1,5/4) auch den kürzesten Abstand zur Tangente in (x/y), und deshalb darf ich doch da auch mit der Normale argumentieren. Und das mit dem Beweisen ist zum Glück im Abitur noch nicht erforderlich. Des weiteren versteh ich euer vorgehen am Ende nicht! 1. ist es sehr schlecht erläutert 2. kann man Extremas, in dem Fall das Minimum ganz lässig mit dem Taschenrechner herauskriegen |
||||||
| 03.05.2009, 15:53 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Sache mit der Normalen ist völlig in Ordnung. Ich glaube, das ist BarneyG inzwischen auch klar.
Wenn ein rein numerische Lösung ausreichend war, war das als Abituraugabe doch viel zu leicht. Wir haben deshalb nach einer analytischen Lösung für das Abstandsminimum gesucht. |
||||||
| Anzeige | ||||||
|
|
||||||
| 03.05.2009, 16:04 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es war eine Aufgabe im Wahlteil, die entspr. Gleichung durfte also selbstverständlich numerisch gelöst werden - und sollte es auch (Wahlteil = GTR einsetzen ist vorteilhaft). Es ist ja nur eine Teilaufgabe gewesen .. air |
||||||
| 03.05.2009, 16:07 | Krotzel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
meinst du damit, dass meine Ansatz bzw. meine Lösung richtig ist? Das Abitur im allgemeinen ist nicht sonderlich schwer, die Aufgaben sind fair gestellt und machbar. Die Aufgabe da war einer der Schwersten. Ausserdem ist in BW Mathe ein Pflichtfach, d.h. man hat keine Wahl zwischen LK und GK, jeder muss das Fach 4-stündig belegen. Von dem her isses angebracht, dass das Niveau nicht so hochgestochen wird, weil sonst ein Großteil gar keine Chance hätte. Des weiteren gehts nicht um analytische Korrekte Ergebnisse sondern eher um Lesekompetenz, Verständniss und Anwendung, daher wurde auch ein GTR eingeführt, weil der Schwerpunkt in diesem Millieu(Abi-Jahrgang) mit numerischen Zahlen weitgehend erfüllbar ist. |
||||||
| 03.05.2009, 16:08 | Krotzel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
genau sie war nämlich nur 4 von 60 Punkten Wert |
||||||
| 03.05.2009, 16:24 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Ansatz, dort wo der Abstand der Kurve zu dem Punkt ein lokales Minimum hat, steht die Gerade von dem Punkt zu der Kurve senkrecht auf der Tangente an die Kurve, ist korrekt. Die Gerade vom Punkt zur Kurve ist dort also eine Normale zu der Kurve und deren Steigung ist -1/f'(x). Das ist auch korrekt. Ob deine Lösung korrekt ist, kann ich nicht sagen, weil du nicht genau erklärt hast, wie du mit diesem Ansatz zur Lösung gekommen bist und was du als Zahl herausbekommen hast. Meine numerische Lösung für die x-Koordinate des Punktes auf der Kurve mit minimalem Abstand zum Punkt (1,5/4) steht oben. Ich hoffe, die ist richtig. Und solche Feinheiten, wie das war im Wahlteil und darf deshalb numerisch mit dem GTR gelöst werden, kann ein Außenstehender natürlich nicht wissen. |
||||||
| 03.05.2009, 16:31 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ich will jetzt wirklich niemandem auf dem Schlips treten. Aber die Sache mit der Normalen ist definitiv NICHT in Ordnung. Stellt euch doch mal folgendes vor: Der Eckpunkt ist der Ursprung (0|0). Und die Tunnelwand ist ein Kreis um den Ursprung mit irgend einem Radius, etwa r=1. Dann sind doch in diesem Fall alle Punkte der Tunnelwand vom Eckpunkt gleichweit entfernt. Und alle Verbindungslinien vom Eckpunkt zu einem Punkt der Tunnelwand sind Normalen. Sind wir soweit einer Meinung? Und jetzt dehnen wir die Tunnelwand etwas nach außen in Richtung zum Punkt (1|1). Wenn wir das symmetrisch machen, gibt es nun noch genau eine Normale, nämlich die Gerade durch (0|0) und (1|1). Aber die liefert nach der Dehnung nun NICHT mehr den kürzesten Abstand, weil der nach wie vor 1 ist (etwa die Verbindung von (0|0) nach (0|1). Na ja, jetzt habe ich vielleicht euer Abstraktionsvermögen ein wenig strapaziert. Aber Tatsache ist, dass die Normale eben nicht unbedingt den kürzesten Abstand eines Punktes zu einer Kurve liefert. Ganz abgesehen davon, dass die Normale gar nicht mal eindeutig sein muss und die verschiedenen Normalen ganz unterschiedliche Abstände liefern könnten. Es mag schon so sein, dass in DIESER Aufgabe nur eine Normale existiert und diese Normale tatsächlich den minimalen Abstand liefert. Aber das müsst man eben beweisen. Aber das wäre sicher ziemlich aufwändig! Und das war ja nun wohl nicht der Sinn dieser Aufgabe ... Ich denke, diese Aufgabe sollte wohl mit dem GTR gelöst werden. Der wird mit einem solchen Problem nämlich im Handumdrehen fertig. Und dann ist auch klar, warum diese Aufgabe nur verhältnismäßig wenig Punkte bringt. Grüße |
||||||
| 03.05.2009, 16:39 | Krotzel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
okay durch die Normalengleichung hatte ich dann den Punkt (x/y) auf der Kurve. Und dan hab ich nur noch mit Pythagoras den Abstand beider Punkte berechnet. Ja gut, das war im Prinzip nur was ich suchte, die Bestätigung, dass diese Vorgehensweise korrekt ist, weil dies sonst niemand so gemacht hat. Ausserdem soweit ich gerade den Lösungsweg im Kopf habe, könnte man so einfacher einen analytisch korrekten Wert finden. Vielen Dank |
||||||
| 03.05.2009, 16:44 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Tja, und diese Bestätigung, die kann eben nicht erfolgen. So leid es mir tut, aber die Richtigkeit des Verfahrens ist und bleibt in dieser Form eben unbewiesen. Grüße |
||||||
| 03.05.2009, 16:44 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@BarneyG Ich glaube, du übersiehst da etwas. Der Abstand der Kurve zu dem Punkt kann natürlich mehrere lokale Extrema haben. Bei jedem dieser Extrema steht die Verbindungslinie senkrecht auf der Tangente. Dann muss man natürlich noch bestimmen, welches dieser lokalen Extrema ein Minimum ist und eventuell, welches der Minima das minimale Minimum ist. Dieses Problem hat man aber genauso, wenn man den Abstand oder sein Quadrat ableitet. Damit findet man dieselben lokalen Extrema. Und bei deinem Kreisbeispiel ist die Ableitung des Abstandes auch überall Null. |
||||||
| 03.05.2009, 16:52 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Woher hast du denn die Normalengleichung? Wenn du von dem Punkt (1,5/4) ausgehst, weißt du doch die Steigung der Normalen nicht. Und wenn du von einem Punkt auf der Kurve ausgehst, hast du zwar die Steigung der Normalen, aber die geht dann im allgemeinen nicht durch den Punkt (1,5/4). Es sei denn, du wüßtest schon vorher, wo das Minimum ist. Das weißt du aber nicht. |
||||||
| 03.05.2009, 16:52 | Krotzel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das leuchtet mir nicht ein. Dein Beispiel setzt Symmetrieverhältnisse vorraus von denen in der Abiaufgabe nie die Rede war. als ich die Aufgabe machte, hatte ich 3 Möglichkeiten eine Normale an das Schaubild zu legen, ich hab halt die genommen, die in Frage kam, die anderen waren alle an ganz Anderen stellen... d.h der Zusammenhang mit deiner Überlegung: Natürlich gibt es noch weitere Normalen, aber die sind halt nicht relevant für die Lösung |
||||||
| 03.05.2009, 16:58 | Krotzel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kennst du den Aufgabentyp "Lege eine Tangente an das Schaubild von K vom Punkt (x/y), der nicht auf dem Schaubild liegt"? Und diese Aufgabe ist ja lösbar, und ich hab selbiges Lösungsverfahren gemacht, bl0ß hab ich statt f´(x) zu verwenden hab ich -1/f´(x) genommen... |
||||||
| 03.05.2009, 17:14 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, das kenne ich nicht, außer beim Kreis, wo das mit Zirkel und Lineal geht. Meinst du, einfach so nach Augenmaß eine Tangente oder Normale an den Graphen einer Funktion legen? Und wenn du sagst, du nimmst f'(x) bzw. -1/f'(x), musst du ja ein x wählen. Welches nimmst du? |
||||||
| 03.05.2009, 17:26 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Na, jetzt kommen wir der Sache schon näher! Die Schnittpunkte der Normalen liefern KANDIDATEN für den minimalen Abstand. Es kann sich um ein Minimum oder ein Maximum handeln. Oder es kann weder ein Minimum noch ein Maximum sein - wenn an dieser Stelle eine "S-Kurve" vorliegt! Das Programm sähe also wie folgt aus: 1. Zitiere oder beweise den Satz, nach dem lokale Minima für den Abstand einer Kurve von einem gegebenen Punkt ausserhalb der Kurve nur an Schnittpunkten mit einer Normalen angenommen werden können. 2. Bestimme ALLE Normalen vom Eckpunkt auf die Tunnelwand 3. Bestimme die Schnittpunkte der Normalen mit der Kurve der Tunnelwand 4. Bestimme die Abstände und selektiere die Punkte, bei denen es sich um Minima handelt. (Wie sieht das Kriterium dafür wohl aus?
)5. Selektiere aus den Minima die Schnittpunkte mit kleinstem Abstand aus der Menge dieser Schnittpunkte, wenn es mehr als ein Minimum geben sollte. (Das ist bei dieser Aufgabe nicht der Fall). 6. Prüfe, ob ggf. Randextrema vorliegen, die einen noch kleineren Abstand haben. Mit diesem Vorgehen wäre ich dann einverstanden. Und wenn man dieses Programm für läppische 4 Punkte in Angriff nehmen will, dann soll es mir recht sein ...
Alternativ macht man das mit dem GTR. Da sind dann 4 Punkte schon eher ein "fairer" Preis.
Ich hoffe, wir sind uns jetzt wieder einig, Huggy. Grüße |
||||||
| 03.05.2009, 17:31 | Krotzel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
nein nein es ist schon ein exaktes Lösungsverfahren. Die Allgemeine Tangentengleichung lautet ja:. Wenn der Punkt (x/y) auf der Kurve liegt ist es ja einfach, man setzt dan einfach für den x-wert des Punktes ein... wenn der Punkt ausserhalb liegt wie zbs. (1,5/4). macht man und berechenet . Diese sind dan die stellen an denen man einen Tangente an das Schaubild legen könnte, die gleichzeitug durch jenen Punkt geht. Voila. Und ich hab folgendes mit gemacht Barney bist du eig. Mathematikstudent, oder wieso nimmst du alles so genau? Es geht hier um Schulmathematik, es wird nie verlangt, dass man die Richtigkeit, jeder vorgehensweise beweist. Die Frage lautet nur "Wie groß ist der geringste Abstand?", so und wenn ich als Anwort einfach 1,4562837549 schreibe und dies sollte genau stimmen, dann hab ich die VOLLE Punktzahl. |
||||||
| 03.05.2009, 17:48 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, hast du nicht. Es ist richtig, dass im Abitur keine völlige mathematische Korrektheit verlangt wird, aber allein für diese Antwort erhälst du keine Punkte. air |
||||||
| 03.05.2009, 17:50 | Krotzel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
woher willste das wissen? |
||||||
| 03.05.2009, 17:56 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jetzt verstehe ich, was du gemacht hast. Die letzte Gleichung hast du dann numerisch mit dem GTR gelöst, nehme ich an. Ja, das ist korrekt. |
||||||
| 03.05.2009, 18:02 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was ist denn das für eine Frage
Weil es so ist. Verlangt sind stets Lösungswege und eine Dokumentation des Rechenweges. Wenn du alles auf deinem grünen Blatt machst und nur das Ergebnis notierst, hast du keine Punkte*. Ähnlich ist es, wenn du zB eine Ebenengleichung durch drei Punkte aufstellen sollst. Du kannst es problemlos sofort im GTR lösen, doch nur die Gleichung anzugeben bringt dir mitnichten volle Punktzahl, da jegliche Dokumentation fehlt. Der Rechenweg enthält deinen Gang zur Lösung - und dieser ist elementar. Niemand kommt "einfach so" zu dieser Lösung, denn du kannst sie ja schlecht "einfach so" wissen. (Sie eben doch "einfach so" zu wissen würde implizieren, dass eine Täuschungshandlung zugrunde liegt (zB Abschreiben). Oder wie würdest du erklären, dass dir die Lösung einfach in den Sinn kommt?). Also, nochmal: Trotz jeder Fragestellung ist der elementare Teil, der für die Bewertung zählt, der Lösungsweg und dessen Dokumentation. Dies sollte ein Lehrer seinen Schülern eigentlich aber beigebracht haben. *) Es sei denn, es wird in einem solchen Ausnahmefall auch der grüne Doppelbogen zur Bewertung herangezogen; wie gesagt .. nur in Ausnahmefällen ! air |
||||||
| 03.05.2009, 18:17 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Abstand eines Kurvenpunktes vom Punkt wird nach Pythagoras durch angegeben. Um ihn zu minimieren, kann man auch sein Quadrat, also die Funktion minimieren. Die Bedingung führt gemäß Kettenregel auf die Gleichung Dividiert man diese Gleichung durch und stellt man um, so folgt Ob man also die Abstandfunktion minimiert oder den Weg über die Normale geht, bleibt sich gleich. |
||||||
| 03.05.2009, 18:19 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
BarneyG, ich denke, die Punkte, die du da akribisch aufgelistet hast, sind teils trivial, teils in dieser Form überflüssig. Wenn man eine analytische Lösung versucht, ist meiner Meinung nach der Weg über die Normalen nicht aufwendiger als der Weg über die Ableitung des Abstandsquadrats. Wenn du zweifelst, schick mir eine PN. Ich antworte dann ebenso. |
||||||
| 03.05.2009, 18:56 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich denke, Leopold hat die Diskussion genau auf den Punkt gebracht: Es ist vollkommen unerheblich ob wir die Abstandsfunktion d(x) oder d(x)² minimieren oder ob wir den "Trick" mit der Normalen anwenden. In allen Fällen müssen wir die erste Ableitung einsetzen und erhalten dadurch eine Polynomgleichung mit "unanständig" hohem Grad. Diese Gleichung kann man eben nicht mehr mit elementaren Mitteln auflösen, sondern muss die Lösung etwa mit dem GTR bestimmen. Wenn man das so sieht, dann dürfte die Lösung mit der Normalen tatsächlich zulässig sein. Insofern revidiere ich meine Einschätzung. Denn es ging ja nur darum eine Näherungslösung mit dem GTR zu ermitteln. "Akribische" Mathematik war in dieser Aufgabe wohl nicht verlangt. Die Diskussion darüber, ob das Verfahren des Fragestellers nun die volle Punktzahl liefert oder nicht, die halte ich für müßig. Denn was immer wir hier beschließen, letzten Endes wird der Korrektor der Abitur Arbeit darüber sein Urteil fällen.
Grüße |
||||||
| 03.05.2009, 19:06 | Krotzel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für die Diskussion Leute. hiermit bin ich zufrieden =) Obs jetzt volle Punktzahl wird oder nicht is mir jetzt Wurst, ich hatte nur Angst komplett daneben getroffen zu haben und gar keine Punkte für die Aufgabe bekommen werde |
||||||
| 03.05.2009, 19:11 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn du den Ansatz verständlich aufgeschrieben und das Ergebnis mit dem GTR richtig berechnet hast, brauchst du dir nicht allzu viel Sorgen zu machen. |
||||||
| 03.05.2009, 20:23 | Mathe_2010? | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe hierzu auch noch eine Frage. Wir sind bisher immer davon ausgegangen, dass der Punkt des Zuges mit der kürzesten Entfernung zum Tunnel sein Eckpunkt (1,5/4) sein muss. Zugegeben, das ist auch augenscheinlich. Trotzdem: Wie beweist man das? Bekanntlicherweise reicht es ja nicht zu sagen: " das sieht man doch!"
|
||||||
| 03.05.2009, 20:34 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Man könnte, wenn ich es grad recht sehe, mit der Konkavität der Funktion argumentieren (ohne dies zu mathematisch werden zu lassen). air |
||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
