Punkte in der Pyramide mit gleichen Abstand zu den Ebenen

01.05.2009, 09:12

fusselterror

Punkte in der Pyramide mit gleichen Abstand zu den Ebenen

Hallo,
es ist eine Pyramide gegeben mit den Punkten:

A(8/0/0)
B(8/8/0)
C(0/8/0)
D(0/0/0)
S(4/4/8)
M(4/4/0)

die Pyramide besteht aus 5 Ebenen, nun sollen die zwei Punkte berechnet werden, die von allen 5 Ebenen den gleichen Abstand haben.
Meine Idee ist, dass die beiden Punkte auf der Höhe liegen müssen. Damit ergeben sich schon mal die x und y Koordinaten des Punktes. Wie aber kann ich jetzt die z Koordinate berechnen?

01.05.2009, 09:31

riwe

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RE: Punkte in der Pyramide mit gleichen Abstand zu den Ebenen

Zitat:

Original von fusselterror
Hallo,
es ist eine Pyramide gegeben mit den Punkten:

A(8/0/0)
B(8/8/0)
C(0/8/0)
D(0/0/0)
S(4/4/8)
M(4/4/0)

die Pyramide besteht aus 5 Ebenen, nun sollen die zwei Punkte berechnet werden, die von allen 5 Ebenen den gleichen Abstand haben.
Meine Idee ist, dass die beiden Punkte auf der Höhe liegen müssen. Damit ergeben sich schon mal die x und y Koordinaten des Punktes. Wie aber kann ich jetzt die z Koordinate berechnen?

komische pyramide aus so vielen punkten smile

was soll hier M verwirrt

mit ein bißerl symmetrie und der HNF kommst du leicht zum ziel.
zur kontrolle:

$\begin{eqnarray*} P_{1,2}(4/4/r_{1,2}) \quad{}\text{mit}\quad{} r_{1,2}=\frac{8}{\sqrt{5}\pm 1} \end{eqnarray*}$

du kannst das problem aber auch 2-dimensional angehen und in- und ankreis betrachten

01.05.2009, 10:09

fusselterror

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ABCD ist die Grundfläche,
S die Spitze der Pyramide und
M ist der Mittelpunkt der Grundfläche auf dem die Höhe steht....

Kannst du mir das mit der HNF erklären?
Ich verstehe nicht ganz, wie die auf die gekommen bist.

Danke schonmal!

01.05.2009, 10:16

riwe

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das sollte ein späßchen sein, denn normalerweise gibt man die eckpunkte einer pyramide an.
damit kommt ein durchschnittsbürger aus smile

zur sache:
x- und y- koordinaten der gesuchten punkte sollten doch klar sein.
die z-koordinate entspricht betragsmäßig dem radius der in- bzw. ankugel.
und dieser ist auch der abstand der mittelpunkte von einer "seitenebene".

also HNF einer solchen aufstellen, z.b. durch A, D und S, P einsetzen, fertig.
also ans werk smile

01.05.2009, 11:07

fusselterror

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RE: Punkte in der Pyramide mit gleichen Abstand zu den Ebenen

Zitat:

Original von riwe

$\begin{eqnarray*} P_{1,2}(4/4/r_{1,2}) \quad{}\text{mit}\quad{} r_{1,2}=\frac{8}{\sqrt{5}\pm 1} \end{eqnarray*}$

wie komme ich den darauf?

ich komme auf:

$\begin{eqnarray*} d= \frac{2y-1z}{\sqrt{5} } \end{eqnarray*}$

01.05.2009, 11:20

riwe

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RE: Punkte in der Pyramide mit gleichen Abstand zu den Ebenen
ja das ist die richtige HNF

$\begin{eqnarray*} \frac{2y-z}{\sqrt{5}}=0 \end{eqnarray*}$

und um den abstand eines punktes zu bestimmen, mußt du nun dessen koordinaten einsetzen,
also für den inkreismittepunkt $\begin{eqnarray*} M_1(4/4/r) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} d=\pm r=\frac{2\cdot 4-r}{\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$

und analog ür den mittelpunkt der ankugel

01.05.2009, 11:28

fusselterror

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RE: Punkte in der Pyramide mit gleichen Abstand zu den Ebenen

Zitat:

Original von riwe

$\begin{eqnarray*} r=\frac{2\cdot 4-r}{\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$

also ist das jetzt meine lösung für die z-koordinate, sehe ich das richtig?

ich habe nämlich vom In- bzw. Ankreis eben das erste Mal etwas gehört....

01.05.2009, 11:29

riwe

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RE: Punkte in der Pyramide mit gleichen Abstand zu den Ebenen
wenn du jetzt noch r ausrechnen würdest, ja smile

dann ist dies eine lösung

01.05.2009, 11:42

fusselterror

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RE: Punkte in der Pyramide mit gleichen Abstand zu den Ebenen
.

01.05.2009, 11:54

fusselterror

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RE: Punkte in der Pyramide mit gleichen Abstand zu den Ebenen
ich habe eben nochmal nachgerechnet und die Formel muss eigentlich

$\begin{eqnarray*} d=\frac{2\cdot 4+1z}{\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$ lauten

wie berechne ich den nun z, wenn ich d nicht kenne?
setze ich $\begin{eqnarray*} d= 0 \end{eqnarray*}$ ?

01.05.2009, 15:14

riwe

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RE: Punkte in der Pyramide mit gleichen Abstand zu den Ebenen

Zitat:

Original von fusselterror
ich habe eben nochmal nachgerechnet und die Formel muss eigentlich

$\begin{eqnarray*} d=\frac{2\cdot 4+1z}{\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$ lauten

wie berechne ich den nun z, wenn ich d nicht kenne?
setze ich $\begin{eqnarray*} d= 0 \end{eqnarray*}$ ?

wenn du meinen beitrag von heute, 11:20 nicht lesen willst, kann ich dir auch nicht weiter helfen unglücklich

01.05.2009, 20:59

fusselterror

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RE: Punkte in der Pyramide mit gleichen Abstand zu den Ebenen

Zitat:

Original von riwe
ja das ist die richtige HNF

$\begin{eqnarray*} \frac{2y-z}{\sqrt{5}}=0 \end{eqnarray*}$

und um den abstand eines punktes zu bestimmen, mußt du nun dessen koordinaten einsetzen,
also für den inkreismittepunkt $\begin{eqnarray*} M_1(4/4/r) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} d=\pm r=\frac{2\cdot 4-r}{\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$

und analog ür den mittelpunkt der ankugel

Also, wenn ich den Punkt einsetze, erhalte ich dann die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \frac{2*4-z}{\sqrt{5}}=0 \end{eqnarray*}$

und kann dann einfach den Abstand d= 0 setzen?

und was ist gemeint mit:

Zitat:

und analog ür den mittelpunkt der ankugel

wie schon geschrieben, von einer An- bzw. Inkugel höre ich das erste Mal....
was ist denn genau mit analog gemeint?

02.05.2009, 12:03

riwe

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RE: Punkte in der Pyramide mit gleichen Abstand zu den Ebenen
dann versuche ich es halt noch EINmal:

mit hilfe der HNF berechnet man den abstand eines Punktes P von einer ebene in R3/ geraden in R2, indem man dessen koordinaten in jene einsetzt. smile

daher

HNF: $\begin{eqnarray*} \frac{2y-z}{\sqrt{5}}=0 \end{eqnarray*}$
und da der abstand der kugel von der tangentialebene genau r ist:

$\begin{eqnarray*} d(M_1(4/4/r),E)=\pm r=\frac{2\cdot 4-r}{\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$

woraus man nun r bzw. die entsprechende z-koordinate berechnen kann:

$\begin{eqnarray*} \pm r=\frac{2\cdot 4-r}{\sqrt{5}}\to r=\frac{8}{\sqrt{5}+1}\quad{ }\text{wegen}\quad{ }r>0 \end{eqnarray*}$

analog bedeutet: ganz genauso geht´s beim 2. punkt, dem mittelpunkt der ANkugel,
dazu ein bilderl

(wird ja noch mehr geben, wovon wir beide noch nix gehört haben smile

)

02.05.2009, 12:19

fusselterror

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vielen, dank jetzt habe ich es verstanden.

eine frage habe ich noch...

wenn eine pyramide gegeben ist, die nicht genau auf der x1 und x2 steht, kann ich dann auch davon ausgehen, dass die punkte mit dem gleichgroßen abstand zu den fünf eben auch auf der "Höhe" liegen? und das ich dann ja dadurch immer schon die x und y-Koordinate gegeben habe?

02.05.2009, 12:45

riwe

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die antwort lautet:
ja, sie liegen auf der lotgeraden
nein, die entsprechenden x- und y-koordinaten sind erst zu berechnen

voraussetzungen und lösungsmöglichkeiten siehe unten.

wenn du von einer quadratischen, regelmäßigen pyramide sprichst,
bei der die höhe senkrecht über dem diagonalenschnittpunkt des quadrates liegt, so existieren diese beiden kugeln
(was nicht bedeuten soll, dass es sie NUR in diesem fall gibt)

mögliche wege zur berechnung könnten sein:

A1) drehe das system, bis die grundfläche in der xy-ebene liegt
A2) wie oben
A3) drehe zurück

B1) die kugelmittelpunkte liegen auf der lotgeraden g durch S
B2) setze g in die HNF der grundfläche ein
B3) setze g in die HNF einer seitenfläche ein
B4) berechne daraus den/die geradenparameter t und den radius r bzw. R.

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