Auf Surjektivität untersuchen

01.05.2009, 13:18

jester.

Auf Surjektivität untersuchen

Hallo,

ich habe hier eine Aufgabe, wo ich Abbidungen u.A. auf Surjektivität untersuchen soll.

Für Abbildungen $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , u.Ä. ist das auch kein Problem, allerdings habe ich jetzt eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ zu untersuchen, und das ist mir ein wenig schwer gefallen.

Die Abbildungsvorschrift lautet: $\begin{eqnarray*} f_{4}~:~\mathbb{N} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z},~(x,y) \mapsto x-y \end{eqnarray*}$ .

Ich bin jetzt folgenden, m.E. etwas umständlichen Weg gegangen, um die Surjektivität zu zeigen:

Sei $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \forall z \in \mathbb{Z}~ \exists x,y \in \mathbb{N}:~x-y=z \end{eqnarray*}$

Also ist

$\begin{eqnarray*} \neg (\forall z \in \mathbb{Z}~ \exists x,y \in \mathbb{N}:~x-y=z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \exists z \in \mathbb{Z}~ \forall x,y \in \mathbb{N}:~x-y \neq z \quad (*) \end{eqnarray*}$

(*) ist falsch: Setze $\begin{eqnarray*} x:=1,~y:=1,~x-y=0 \end{eqnarray*}$ ; setze nun $\begin{eqnarray*} x:=2,~y:=1,~x-y=1 \end{eqnarray*}$ . Es gibt kein $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ für das gilt 1=0.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f_{4} \end{eqnarray*}$ ist surjektiv.

Gibt's da eine bessere Methode?

Also vorher habe ich immer den Ansatz gewählt, $\begin{eqnarray*} f(x):=y \end{eqnarray*}$ zu setzen, dann nach x aufzulösen und zu prüfen, für welche x das Ganze lösbar ist. Aber hier bin ich damit nicht klargekommen, wegen des kartesischen Produkts... verwirrt

01.05.2009, 13:36

tmo

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RE: Auf Surjektivität untersuchen

Zitat:

Original von jester.
(*) ist falsch: Setze $\begin{eqnarray*} x:=1,~y:=1,~x-y=0 \end{eqnarray*}$ ; setze nun $\begin{eqnarray*} x:=2,~y:=1,~x-y=1 \end{eqnarray*}$ . Es gibt kein $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ für das gilt 1=0.

ein Wort: Hääääääää?

Die Surjektivität ist doch trivial.

Wie kann man denn z.b. für positive $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ x und y wählen, sodass $\begin{eqnarray*} x-y=z \end{eqnarray*}$ gilt?

01.05.2009, 14:01

jester.

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Zum Beispiel x=z+y. Aber reicht denn das schon zum Nachweis?

01.05.2009, 14:01

Elvis

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ganze Zahlen
Kommt drauf an, wie $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ definiert wird.
Wenn man wie üblich $\begin{eqnarray*} \mathbb Z=\lbrace (a,b)\in \mathbb N\times \mathbb N \rbrace / \end{eqnarray*}$ ~ mit $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ ~ $\begin{eqnarray*} (c,d)\Leftrightarrow a+d=b+c \end{eqnarray*}$ definiert, dann ist die Behauptung total trivial.
Wenn $\begin{eqnarray*} \mathbb Z=-\mathbb N\cup \lbrace 0 \rbrace\cup\mathbb N \end{eqnarray*}$ , dann muss man diese kleine Fallunterscheidung machen, die sich hier förmlich aufdrängt.

01.05.2009, 14:31

jester.

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Tja, das mit der Definition von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist schon ein Problem, denn das Aufgabenblatt gehört zur Vorlesung "Mathematische Grundlagen" und der Professor hat gesagt: "Wir haben keine Zeit, alles zu definieren, ich setze $\begin{eqnarray*} \mathbb{N, Z, Q, R} \end{eqnarray*}$ als bekannt voraus."

Aber das Stichwort Fallunterscheidung hat mich auf etwas gebracht: Wenn ich wieder von dem Ansatz z=x-y ausgehe, kann ich dann sagen:

Für $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ : Wähle $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ .
Für $\begin{eqnarray*} z \neq 0 \end{eqnarray*}$ : Wähle $\begin{eqnarray*} x=z+y \end{eqnarray*}$

Daraus folgt f ist surjektiv für alle $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

Genügt das schon?

01.05.2009, 15:47

tmo

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Zitat:

Original von jester.
Für $\begin{eqnarray*} z \neq 0 \end{eqnarray*}$ : Wähle $\begin{eqnarray*} x=z+y \end{eqnarray*}$

Dass es wirklich zu jedem z natürliche x,y gibt, die dieser Gleichung genügen, gilt es aber noch zu zeigen.

Am einfachsten ist das hier, indem man sie einfach konkret angibt.

Übrigens bedarf es noch einer weiteren Fallunterscheidung.

01.05.2009, 16:08

jester.

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Oh Mann, ich hab dieses Semester schon deutlich schwierigere Sachen bewiesen, aber diese Aufgabe kriege ich immer noch nicht hin. unglücklich

Wie kann ich denn diese natürlichen Zahlen x und y für alle z angeben? Es gibt doch unendlich viele?

Und was für einen Fall gibt es denn noch?

Ich komme hier irgendwie überhaupt nicht weiter.

01.05.2009, 16:29

tmo

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Zitat:

Original von jester.
Wie kann ich denn diese natürlichen Zahlen x und y für alle z angeben? Es gibt doch unendlich viele?

Is doch wunderbar, dann muss man ja gar nicht lange suchen. Gebe einfach eine einzige Möglichkeit an.

01.05.2009, 18:28

jester.

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Zitat:

Original von tmo

Zitat:

Original von jester.
Wie kann ich denn diese natürlichen Zahlen x und y für alle z angeben? Es gibt doch unendlich viele?

Is doch wunderbar, dann muss man ja gar nicht lange suchen. Gebe einfach eine einzige Möglichkeit an.

Also ich bin mir immer noch nicht sicher, ob ich dich richtig verstehe. Meinst du das so:

Für z=0: x=1, y=1
Für z>0: x=3, y=2
Für z<0: x=2, y=3

Kann ja eigentlich nicht sein, weil damit deckt man ja nur die Fälle z=0, z=1 und z=-1 ab... verwirrt

Vielleicht kann man ja stattdessen schreiben:

Für z=0: x=y
Für z>0: x>y
Für z<0: x<y

Ich glaube ich stehe immer noch schwer auf dem Schlauch. Bald mache ich Schluss für heute und vertage die Aufgaben dann auf morgen... Big Laugh