Grenzwert bestimmen

04.05.2009, 20:22

joopi

Grenzwert bestimmen

guten abend an alle, ich habe eine frage bzgl. dieser aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{n!}{n^n} =0 \end{eqnarray*}$

also ich habe mir überlegt:

$\begin{eqnarray*} n!= 1*2*3*...*n \end{eqnarray*}$

kann ich das dann auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{n!}{n^n} =\frac{1}{n^n} * \frac{2}{n^n} * \frac{3}{n^n} *....* \frac{n}{n^n} \end{eqnarray*}$

da es ja eine regel gibt die aussagt, das $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} =0 \end{eqnarray*}$ und daher auch $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n^n} =0 \end{eqnarray*}$ ist, würde im allgemeinen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ rauskommen

ist das denn so richtig?? Bitte um hilfe,
danke im vorraus
lg joopi

04.05.2009, 20:47

Frank Xerox

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RE: Grenzwert bestimmen

Zitat:

Original von joopi
guten abend an alle, ich habe eine frage bzgl. dieser aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{n!}{n^n} =0 \end{eqnarray*}$

also ich habe mir überlegt:

$\begin{eqnarray*} n!= 1*2*3*...*n \end{eqnarray*}$

kann ich das dann auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{n!}{n^n} =\frac{1}{n^n} * \frac{2}{n^n} * \frac{3}{n^n} *....* \frac{n}{n^n} \end{eqnarray*}$

da es ja eine regel gibt die aussagt, das $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} =0 \end{eqnarray*}$ und daher auch $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n^n} =0 \end{eqnarray*}$ ist, würde im allgemeinen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ rauskommen

ist das denn so richtig?? Bitte um hilfe,
danke im vorraus
lg joopi

Nein,
das ist FALSCH!

Es gilt vielmehr:

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{n^n} = \frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n} \cdot \frac{3}{n} \cdots \frac{n-1}{n} \end{eqnarray*}$

Áber die Tatsache allein, dass jeder einzelne Faktor kleiner als 1, ist reicht nicht aus wie das Beispiel

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left(\frac{n-1}{n}\right)^n=\frac{1}{\operatorname{e}} \end{eqnarray*}$ verdeutlicht.

Aber es lässt sich sehr leicht zeigen, dass:

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{n^n}\leq\frac 1n. \end{eqnarray*}$

Das Einschließungskriterium erledigt dann den Rest.

04.05.2009, 22:08

joopi

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danke schonmal für deine hilfe. ich kenne leider nicht das Einschließungskriterium. Daher weiss ich auch nicht wie ich das weiter machen soll.

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{n^n} \leq 0 \end{eqnarray*}$

ich könnte jetzt nur das hin schreiben

04.05.2009, 22:19

Dual Space

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Zitat:

Original von joopi
$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{n^n} \leq 0 \end{eqnarray*}$

ich könnte jetzt nur das hin schreiben

Das ist doch aber totaler Blödsinn. Sogar für alle(!!!) natürlichen Zahlen n ist das falsch.

04.05.2009, 22:32

joopi

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kannst du mir denn zeigen wie ich das richtig machen kann, wie gesagt ich kenne das einschließungskriterium nicht.

04.05.2009, 22:41

Airblader

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Dieses Kriterium ist simpel.

Wenn die von Frank Xerox genannte Ungleichung gilt (das musst du eben zeigen), dann muss auch der Grenzwert kleiner als dem von 1/n sein. Letzterer ist jedoch Null.
Da die Folge mit Sicherheit nicht negativ wird, muss der Grenzwert also größer gleich Null und kleiner gleich Null sein. Dies lässt nur eine Möglichkeit zu.

air

04.05.2009, 22:53

Frank Xerox

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Zitat:

Original von joopi
danke schonmal für deine hilfe. ich kenne leider nicht das Einschließungskriterium. Daher weiss ich auch nicht wie ich das weiter machen soll.

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{n^n} \leq 0 \end{eqnarray*}$

ich könnte jetzt nur das hin schreiben

Das Einschliessungskriterium (oder auch Sandwich-Lemma, Einschnürungssatz, ...) ist ein sehr suggestives Konvergenzkriterium mit dessen Hilfe Du hier, auf der Basis folgender Betrachtung:

$\begin{eqnarray*} 0\leq\frac{n!}{n^n}\leq\frac 1n\longrightarrow 0 \end{eqnarray*}$

folgern kannst, dass Deine Folge nun keine andere Möglichkeit mehr hat als ebenfalls gegen 0 zu konvergieren.

Du musst also tatsächlich nur noch beweisen, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{n^n}\leq\frac 1n \ \mbox{für alle} \ n\in\mathbb N. \end{eqnarray*}$

Übrigens: An dieser "Kenn ich nicht - Kann ich nicht" Einstellung würde ich an Deiner Stelle mal etwas arbeiten...

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