Kurvendiskussion

05.05.2009, 00:15

filomenia86

Auf diesen Beitrag antworten »

Kurvendiskussion

hi leute,
muss unter anderem die kurvendiskussion beherrschen und kann sie eigentlich auch. habe aber heut eine aufgabe bekommen und habe dabei verständnisprobleme. gefordert wird eine diskussion mit der folgenden funktion:

f(x)=xhoch4 - 1/2xhoch3 - 4xhoch2 + 2x

nun soll ich die extremstellen, nullstellen und so weiter berechnen, da ist noch alles okay, aber dann das verständnis problem??

gefordert ist außerdem die vollständige zerlegung der funktion f(x) in linearfaktoren??

was ist damit gemeint, was soll ich denn noch berechnen??

danke im voraus

05.05.2009, 00:25

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

http://de.wikipedia.org/wiki/Linearfaktorzerlegung

Ein Polynom $\begin{eqnarray*} a_0x^n + a_1x^{n-1} + \cdots + a_n \end{eqnarray*}$ mit exakt n Nullstellen lässt sich eindeutig in die Form

$\begin{eqnarray*} a(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n) \end{eqnarray*}$ zerlegen, wobei x_1,x_2,...,x_n die jeweiligen Nullstellen sind.

Beispiel

Nehmen wir mal $\begin{eqnarray*} x^2 - 4 \end{eqnarray*}$ . Es hat die Nullstellen $\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \pm 2 \end{eqnarray*}$ , also ist

$\begin{eqnarray*} x^2 - 4 = 1 \cdot x^2 - 4 = 1 \cdot (x-2)(x-(-2)) = (x-2)(x+2) \end{eqnarray*}$

Finde also die Nullstellen der Funktion und zerlege dann entsprechend.

air

Anmerkung: Ich spreche stets von reellen Nullstellen.

05.05.2009, 00:28

filomenia86

Auf diesen Beitrag antworten »

okay danke dir ich probier es gleich mal aus, schreibe gleich meine lösung rein

05.05.2009, 00:34

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Ausnahmsweise, da ich nun zu Bett muss, schreibe ich dir die Lösung. Da es eine gängige aber nicht sonderlich schwere Aufgabe ist, vertraue ich darauf, dass du die Lösung nicht einfach abschreibst*. Aber ich bin zuversichtlich Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die Zerlegung lautet

$\begin{eqnarray*} x^4 - \frac12 x^3 - 4x^2 + 2x = (x+2)(x-0)(x-0,5)(x-2) \end{eqnarray*}$

*) Und wenn doch rächt es sich sowieso früher oder später

Nacht Wink

Wink

air

05.05.2009, 00:41

filomenia86

Auf diesen Beitrag antworten »

danke dir, steh net so drauf mich selbst zu verarschen Wink

Wink

05.05.2009, 00:45

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Würde mich noch interessieren, ob du es auch so rausbekommen hattest. Augenzwinkern

Augenzwinkern

air
... der doch ein paar Minuten länger wach war Big Laugh

Big Laugh

Anzeige

05.05.2009, 00:55

filomenia86

Auf diesen Beitrag antworten »

du bist ja super schnell, aber komme nicht auf die nullstellen von dir, du hast es doch auch mit der polynomdivision ausgerechnet oder??
_______________________________________

kommme auf ne doppelte nullstelle 2 uns der polynom dritten grades geht nicht auf bei mir, das heist ne super komische zahl
_______________________________________

xhoch4 - 1/2xhoch3 - 4xhoch2 + 2x: (x+2)= xhoch3 - 2.5xhoch2 +x

xhoch3 - 2.5xhoch2 +x : ( x+2)= xhoch2 + 4.5 x +8

05.05.2009, 01:03

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst mal klammerst du ein x aus und kennst damit die Nullstelle x=0, denn ein Produkt wird dann Null, wenn mind. einer der Faktoren Null wird:

$\begin{eqnarray*} x^4 - \frac12 x^3 - 4x^2 + 2x = x \cdot \left(x^3 - \frac12 x^2 - 4x + 2\right) ~\Rightarrow~ x_1 = 0 \end{eqnarray*}$

Bleibt also über, vom zweiten Faktor die Nullstellen zu bestimmen.
Hier kannst du zB die Nullstelle x_2=2 erraten. Führe eine Polynomdivision durch (x-2) durch und du erhälst

$\begin{eqnarray*} x^2 + \frac32 x - 1 \end{eqnarray*}$

Davon suchst du die weiteren Nullstellen mittems pq-Formel / Mitternachtsformel und kommst so auf x_3 = -2 und x_4 = 0.5

air

05.05.2009, 01:05

filomenia86

Auf diesen Beitrag antworten »

schade schläfst du schon

05.05.2009, 01:10

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Noch nicht, aber jetzt. Aber ich habe dir ja direkt über deinem Post alles gezeigt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

05.05.2009, 01:10

filomenia86

Auf diesen Beitrag antworten »

wieso kann ich nicht von anfang an die polynomformel anwenden, oder geht das und ich habe da einen fehler gemacht, geht das auch mit der polynom, weiß nämlich nicht ob ich die volle punktzahlbekomme wenn ich dann in der prüfung ausklammere....

05.05.2009, 01:11

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, bekommst du - warum denn auch nicht? Das ist völlig legitim!

Du kannst aber auch von Anfang an mit der Polynomdivision arbeiten. Wie du sagtest - du hast da aber einen Fehler. Wieso dividierst du zweimal durch (x+2) und wie kommst du beide Male auf Ergebnisse ohne Rest?
Da ist deine Polynomdivision tatsächlich schiefgegangen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das Ausklammern und "durch x Teilen" (wenn man so will) entspricht übrigens einer Polynomdivision durch (x-0) = x.

air

05.05.2009, 01:17

filomenia86

Auf diesen Beitrag antworten »

danke nochmals das hat mir echt was gebracht habe es auf deine art gerechnet mit dem ausklammern und dann die pq formel, alles bestens.
und polynom muss ich jetzt nochmal ausprobieren.....
auf die (x+2) komme ich weil wenn ich -2 einsetze bekomme ich 0 raus, deshalb hab ich das so berechnet, also muss doch die zahl erst mal erraten mit der ich dann teilen möchte und -2 ergibt bei mir 0
__________________________________

gehe ruhig schlafen, kann st dich ja morgen mit mir befassen falls du zeit und lust hast, werde ab sechs abends online sein, werde mich dann weiter mit dem thema auseinander setzen, kann ich dich persöhnlich anschreiben??

05.05.2009, 08:39

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Durch (x+2) zu dividieren, weil x=-2 eine Nullstelle ist, ist ja okay - aber bitte nur einmal (es ist eine einfache Nullstelle) und vor allem auch richtig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

air
P.S.: Nein, nicht persönlich anschreiben ... dafür ist das Forum da ! Andere, die das mal lesen, sollen auch was davon haben

05.05.2009, 18:12

filomenia86

Auf diesen Beitrag antworten »

hi

Wink

hier mein ansatz

x^4-1/2x^3-4x^2+2x : (x+2)= x^3 - 5/2x^2 + x

x^3 - 5/2x^2 + x wenn ich hier dann ausklammere, und nach der pq auflöse bekomme ich nur komma zahlen raus und nun??

wie rechne ich weiter, denn wenn ich ne zahl rate bekomme ich bei -2 eine null raus und deshalb hab ich noch mal druch x+2 getelt???? Hammer

Hammer

05.05.2009, 18:29

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben $\begin{eqnarray*} f(x) = x^4 - \frac12 x^3 - 4x^2 + 2x \end{eqnarray*}$

Und nun erraten wir zB $\begin{eqnarray*} f(-2) = 0 \end{eqnarray*}$

Dann machen wir die Polynomdivision. Wenn wir grad dabei sind: Versuche doch bitte, den Formeleditor zu benutzen - sonst ist es wirklich mühsam, das zu lesen!

$\begin{eqnarray*} \left(x^4 - \frac12 x^3 - 4x^2 + 2x\right) : (x+2) = x^3 - \frac52 x^2 + x \end{eqnarray*}$

Wir wissen also $\begin{eqnarray*} x_1 = -2 \end{eqnarray*}$ , die weiteren Lösungen sind die Lösungen der Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^3 - \frac52 x^2 + x = 0 \end{eqnarray*}$

Hier kannst du eine weitere Nullstelle raten. Ob du nun x_2 = 0 rätst oder x ausklammerst und den Nullproduktsatz anwendest ist dabei egal.
pq-Formel anwenden, wie auch immer du das gerade schaffst, ist hier aber nicht drin, denn wir haben noch immer eine Gleichung dritten Grades - pq-Formel geht erst nach der "Eliminierung" einer weiteren Nullstelle !

air

05.05.2009, 18:40

filomenia86

Auf diesen Beitrag antworten »

also wenn ich die nächste zahl rate , bekomme ich einen rest raus, das kann doch gar nicht richtig sein.den für die funktion dritten grades bekomme ich als weitere nullstelle -2 raus und das haut nicht hin....

deshalb ja zweimal mit x+2 dividiert, weißte ich komm net weiter...

wie sieht den deine quadratische gleichung aus??

05.05.2009, 18:53

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn bei einer Polynomdivision ein Rest entsteht, so gibt es nur zwei Möglichkeiten:

- in der Polynomdivision ist ein Fehler
- die angebliche Nullstelle war eigentlich keine.

Wie du leicht siehst, ist von dieser Gleichung dritten Grades x=-2 keine Nullstelle mehr. Wie kommst du darauf?

$\begin{eqnarray*} (-2)^3 - \frac52 (-2)^2 - 2 = -8 - 10 - 2 = -20 \neq 0 \end{eqnarray*}$

Du musst also nochmal raten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber wie gesagt: Versteife dich nicht auf diese doofe Polynomdivision. Es geht auch einfacher. Also zum allterletzten Mal: Klammere ein x aus und du hast eine weitere Lösung - und kannst die Gleichung ganz einfach auf den Grad 2 reduzieren.
Das ist prinzipiell das selbe wie eine Polynomdivision !!!

air

05.05.2009, 19:33

filomenia86

Auf diesen Beitrag antworten »

ja du hast recht, jedoch will ich das auch mit der polynom schaffen, hab es geschafft mein fehler war ein eingabefehler in den taschenrechner,hab nun als weitere nullstelle 0 und 0,5 , 2 und -2

und dann die zerlegung

$\begin{eqnarray*} x^4-1/2x^3-4x^2+2x=(x-2)(x+2)(x-0)(x-0,5) \end{eqnarray*}$
________________________________

danke dir werde jetzt weiter rechnen und die diskussion führen, falls was ist werde ich nochmal schreiben.
hast mir echt geholfen.danke
________________________________

doch noch was....
wenn ich das polynom dritten grades ausklammere anstatt weiter zu raten, bekomme ich andere nullstellen raus

denn aus geklammert

$\begin{eqnarray*} x^3 - 5/2x^2 + x= x(x^2-5/2x +1) \end{eqnarray*}$

ist das richtig??

Edit (mY+): 3-fach - Post zusammengefügt.

05.05.2009, 20:06

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es stimmt soweit.
Nun wendest du den Nullproduktsatz an.

Die Nullstellen d. zweiten Faktors erhälst du mittels pq-Formel.

air

05.05.2009, 20:12

filomenia86

Auf diesen Beitrag antworten »

also der begriff nullproduktsatz sagt mir ehrlich gesagt nicht
peinlich, ich weiß

bitte hilf mir beim ansatz

05.05.2009, 20:31

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Nullproduktsatz ... eigentlich habe ich ihn längst gesagt!

Wenn $\begin{eqnarray*} a \cdot b = 0 \end{eqnarray*}$ ist, was kannst du dann folgern?

air

05.05.2009, 20:37

filomenia86

Auf diesen Beitrag antworten »

0=1...???

05.05.2009, 20:37

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll den dass sein? Wenn ein Produkt Null ist, dann ist 0=1? Also jetzt bitte - nachdenken, dann posten !

Mach dir doch mal (Zahlen-)Beispiele dafür, dass ein Produkt Null wird. Was fällt auf?

air

05.05.2009, 21:03

filomenia86

Auf diesen Beitrag antworten »

also ein produkt wird doch gleich null nur wenn ich es mal null nehme das müsste heissen das x=0 sein müsste????

05.05.2009, 21:07

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Die "richtige" Antwort, also der Nullproduktsatz, ist:

a*b=0 bedeutet, dass entweder a=0 oder b=0 sein muss. Also: Mindestens einer der Faktoren muss Null sein.

Wenn du also x ausgeklammert hast, kannst du jeden Faktor für sich Null setzen. Alle Lösungen musst du dann zusammennehmen.

Wende das auf dieses Beispiel an.

air

05.05.2009, 22:24

filomenia86

Auf diesen Beitrag antworten »

keine ahnung,

aber $\begin{eqnarray*} x^2=0<br /> -2,5x=0<br /> 1=0 \end{eqnarray*}$

ist bestimmt voll sinnlos was ich hingeschrieben habe, aber ich komm nicht drauf und in meinen büchern find ich nichts darüber

denn nehme ich die dann alle zusammen komm ich ja wieder auf die ausgangsfunktion??? Hammer

Hammer

05.05.2009, 23:19

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von filomenia86
aber $\begin{eqnarray*} x^2=0<br /> -2,5x=0<br /> 1=0 \end{eqnarray*}$

ist bestimmt voll sinnlos was ich hingeschrieben habe,

Ja, ist es. Wieso vergleichst du jetzt jeden Summanden mit Null? Wir reden von Faktoren !

Und $\begin{eqnarray*} x\cdot \left(x^2 - \frac52 x + 1\right) \end{eqnarray*}$ ist ein Produkt, das aus exakt zwei Faktoren besteht.

air

05.05.2009, 23:33

filomenia86

Auf diesen Beitrag antworten »

okay dann nehme ich

$\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2- 5/2x +1=0 \end{eqnarray*}$

und dann die 1 rüberbringen, oder wie??

das ist mir zu unverständlich, den kann ja noch nicht mal nach x auflösen und wenn ich für x 1 einsetze komme ich auf die 1=0
__________________________

sry
$\begin{eqnarray*} x^2- 5/2x +1=0 \end{eqnarray*}$
__________________________

dummi hat es jetzt geschnallt, das war es ja schon, oder?einfach beide faktoren und keine summanden gleich null setzen und pq formel anwenden, und fertig....
__________________________

soll jetzt zudem noch die extremstellen ausrechnen und für d hp tp nehme ich die erste ableitung und setzt diese gleich null

mein problem ist ´das die erst ableitung immer noch ein polynom dritten grades ist und habe versucht eine nullstelle zu raten, aber das kann keine geläufige zahl sein und ausklammern geht glaube ich hier nicht???

1 ableitung $\begin{eqnarray*} 4x^3- 3/2x^2 -8x +2 \end{eqnarray*}$

Edit (mY+): 4-fach - Post zusammengefügt.

06.05.2009, 00:21

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von filomenia86
dummi hat es jetzt geschnallt, das war es ja schon, oder?einfach beide faktoren und keine summanden gleich null setzen und pq formel anwenden, und fertig....

Richtig.

Bei den Extremstellen hast du soweit auch alles richtig erkannt. Hier bleibt dir wohl nur ein Näherungsverfahren übrig.

air

06.05.2009, 01:40

filomenia86

Auf diesen Beitrag antworten »

die formel für das nährungsverfahren lautet doch:

$\begin{eqnarray*} xn+1=xn-f(xn)/f '(xn) \end{eqnarray*}$

aber da ich ja mit der ersten ableitung arbeiten muss, müsste doch dann die formel lauten

$\begin{eqnarray*} xn+1=xn-f'(xn)/f''(xn) \end{eqnarray*}$

oder kannst du mir das anders vermitteln??

Edit (mY+): LaTex verbessert.

06.05.2009, 01:42

filomenia86

Auf diesen Beitrag antworten »

sry ging net mit dem formeleditor

06.05.2009, 01:46

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

@filomenia86

Bitte die Edit-Funktion nützen, um Mehrfachpost's zu vermeiden.
Für den Ableitungs-Strich NICHT ´ sondern ' nehmen!

mY+

06.05.2009, 01:47

filomenia86

Auf diesen Beitrag antworten »

okay

06.05.2009, 01:55

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du kannst das Näherungsverfahren (Newton) wie o.a. verwenden!

mY+

06.05.2009, 23:24

filomenia86

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,

wenn ich meine erste ableitung dann mit dem nährungsverfahren angehe,

dann komme ich auf dieses ergebnis, ist das so richtig??
$\begin{eqnarray*} <br /> f '(x)= 4x^3- 3/2x^2 -8x +2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f '' (x)= 12x^2 - 3x-8 \end{eqnarray*}$

x1=0

$\begin{eqnarray*} xn+1= xn- f '(x)/ f ''(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x2= 0- (-0,25)= 0,25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x3= 0,25 - f '(0,25)/ f ''(0,25) = 0,25- (-0,03125/-8)= 0,246 \end{eqnarray*}$

ist das soweit okay??

06.05.2009, 23:41

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das passt. Vergiss aber nicht, dass es noch zwei weitere Nullstellen (-1,36239 und 1,4913) gibt.

mY+

07.05.2009, 00:00

filomenia86

Auf diesen Beitrag antworten »

woher weiß ich wieviele nullstellen ich habe, hatte nämlich gedacht das wenn ich ein polynom vierten grades habe, das ich auch vier nullstellen habe und die erste ableitung ist polynom dritten grades also dachte ich auch an drei nullstellen.diese setzt man dann ein in die ausgangsfunktion und erhält die punkte der hoch oder tiefpunkte, aber warum soviele nullstellen??

07.05.2009, 00:14

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Es sind doch eh nur drei! Allerdings: Nullstellen der 1. Ableitung, d.h. die Extremstellen.
Polynom 3. Grades -> 3 Nullstellen! Oder?
[Hier sind alle drei reell, was nicht immer zutreffen muss; wenn es nur eine reelle gibt, sind die anderen beiden konjugiert komplex]

mY+

07.05.2009, 00:29

filomenia86

Auf diesen Beitrag antworten »

aber es sind doch mit dienen zwei nullstellen doch dann fünf für die erste ableitung??

12 nächste Seite »

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »