Spitze der Pyramide bestimmen

05.05.2009, 12:23

vektorraum

Spitze der Pyramide bestimmen

Hi!

Ich stehe gerade voll auf dem Schlauch... Ich habe vier Punkte A(5;-3;0), B(7;1;5), C(-2;0;1) und D(-4;-4;-4). Diese vier Punkt bilden die Grundfläche einer Pyramide. Die Grundfläche ist ein Parallelogramm.

M sei der Schnittpunkt der Diagonalen des Vierecks ABCD mit $\begin{eqnarray*} M(\frac{3}{2};-\frac{3}{2};\frac{1}{2}). \end{eqnarray*}$

Durch M und verlaufe eine Gerade mit dem Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} (-11;-37;34) \end{eqnarray*}$ .

S liegt auf h und S sei die Spitze einer geraden Pyramide mit ABCD als Grundfläche. Der Abstand von S zum Schnittpunkt M beträgt $\begin{eqnarray*} \sqrt{294} \end{eqnarray*}$ .

Wie bestimmt man die Koordinaten von S? Ich habe S gewählt durch $\begin{eqnarray*} S(S_x;S_y;S_z) \end{eqnarray*}$ und habe mir den Vektor SM gebildet, der ja die gegebene Länge hat. Ferner habe ich eine Geradengleichung für h aufgestellt. Bringt mich aber nicht weiter...

Wie würde es weiter gehen verwirrt

05.05.2009, 14:05

123Mathe

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Hallo!

Ändere den Richtungsvektor so, dass der Betrag $\begin{eqnarray*} = 1 \end{eqnarray*}$ ist. Also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\mid (-11;-37;34) \mid} \cdot (-11;-37;34) \end{eqnarray*}$ als Richtungsvektor.

Dann lässt sich der Punkt $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ berechnen durch:

$\begin{eqnarray*} \vec{S} = (\frac32; -\frac32; \frac12) + \sqrt{294} \cdot \frac{1}{\mid (-11;-37;34) \mid} \cdot (-11;-37;34) \end{eqnarray*}$ .

Gruß smile

05.05.2009, 14:07

Bjoern1982

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Hi

Hab gerade nicht viel Zeit aber hilft vielleicht sowas wie

OS=OM+|MS|*n/|n| wobei n ein Normalenvektor der Grundebene ist ?

Gruß Björn

05.05.2009, 14:20

vektorraum

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Danke euch beiden für die schnelle Antwort. So wie ich das sehe, läuft ja beides auf das gleiche hinaus...

Problem: die Aufgabe muss lösbar sein, ohne dass man den Begriff des Normalenvektors kennt.

Gibts vlt. eine noch einfachere Lösung?

05.05.2009, 14:24

123Mathe

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Ich glaube mein Ansatz ist schon die einfachste Lösung. Diese hat auch nichts mit dem (Einheits-)normalenvektor zu tun. Ich hab ja nur den Richtungsvektor auf die Länge 1 gebracht.

05.05.2009, 14:30

vektorraum

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Ich frage nur, weil die Aufgabe aus dem Abitur des Grundkurses Mathe ist. Und wir suchen jetzt nach dem einfachsten Weg das zu lösen, auf die ein Schüler bei der Prüfung auch kommen kann Augenzwinkern

05.05.2009, 17:59

riwe

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der weg von bjoern und 123mathe ist zweifelsohne der schnellste.
allerdings pläddiere ich für 2 lösungen

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM}\pm\sqrt{294}\cdot\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \end{eqnarray*}$

alternativ kann man über die HNF 2 zur ebene ABC parallele ebenen aufstellen und mit der geraden g durch M schneiden

$\begin{eqnarray*} HNF: \frac{11x+37y-34z+56}{3\sqrt{294}}=\pm\sqrt{294} \end{eqnarray*}$

alternative 2:
schneide kugel

$\begin{eqnarray*} (\vec{x}-\vec{m})^2=294 \end{eqnarray*}$

mit g

06.05.2009, 02:29

Bjoern1982

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Gut dann biete ich mal noch eine weitere Methode an, die lediglich das Wissen über die Länge eines Vektors bzw einer Strecke durch 2 Punkte erfordert.

Man stelle sich das rechtwinklige Dreieck AMS vor.
Die Länge von MS kennt man, die Länge von AM kann man berechnen.
Mittels Pythagoras kommt man dann auch an die Länge von AS.
S ist ja ein Punkt der Geraden mit den allgemeinen Koordinaten S(1,5-11k|-1,5-37k|0,5+34k) und die Länge von AS kennt man ja jetzt auch...

06.05.2009, 08:14

vektorraum

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Danke für die vielen Lösungswege. Ich denke, dass der letzte Weg von Björn für die Schüler am einfachsten nachzuvollziehen ist. Wie gesagt, kennt der Schüler ja weder die HNF noch die Kugelgleichung. Der Begriff Normalenvektor ist sicher auch nicht präsent und auf das normieren kommt man alle male nicht.

Aber gut! Ich danke euch.

06.05.2009, 09:18

riwe

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Gut dann biete ich mal noch eine weitere Methode an, die lediglich das Wissen über die Länge eines Vektors bzw einer Strecke durch 2 Punkte erfordert.

Man stelle sich das rechtwinklige Dreieck AMS vor.
Die Länge von MS kennt man, die Länge von AM kann man berechnen.
Mittels Pythagoras kommt man dann auch an die Länge von AS.
S ist ja ein Punkt der Geraden mit den allgemeinen Koordinaten S(1,5-11k|-1,5-37k|0,5+34k) und die Länge von AS kennt man ja jetzt auch...

das kannst du aber abkürzen und direkt auf´s ziel lossteuern Freude

$\begin{eqnarray*} (11^2+37^2+34^2)\cdot t^2=294\to t=\pm\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

womit man im endeffekt wieder bei der anfangsmethode ist,
da man jetzt noch in die geradengleichung einsetzen muß

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