LGS -> Welche Werte hat der Parameter

05.05.2009, 17:56

danielaaaaa

LGS -> Welche Werte hat der Parameter

...ups, da ist was schiefgelaufen...

Folgendes Gleichungssystem ist mir gegeben:

\alpha x + y + z = 1
x + \alpha y + z = 1
x + y + \alpha z = 1

Nun soll ich bestimmen für welche Werte das Parameters das System:

1. eine eindeutige
2. keine
3. mehr als eine Lösung hat??

ich bin bei (\alpha - 1) * x + (1 - \alpha )* y = 0 stehen geblieben und komme nicht weiter unglücklich

hat wer jemand einen kleinen Tipp parat?

danke!

05.05.2009, 19:50

daniiiiiiiiii

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hmpf, ich dachte die Aufgabe wäre gar nicht so schwer.... unglücklich

ich versuchs nochmal, dieses mal mit richtigem

$\begin{eqnarray*} \alpha \alpha x + y + z = 1 x + \alpha y + z = 1 x + y + \alpha z = 1 \end{eqnarray*}$

bei welchem Wert des Parameters habe ich:

1. eine eindeutige
2. keine
3. mehr als eine Lösung hat??

danke danke danke...

05.05.2009, 23:51

mYthos

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Welche Methode dazu hast du kennengelernt? Gauß-Verfahren (Matrix-Umformung) oder Determinantenmethode?

Zeige doch deine bisherigen Ansätze, Ideen und Überlegungen und stelle konkrete Fragen.

mY+

06.05.2009, 01:11

daniiii

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das gauß verfahren... und unten habe ich geschrieben dass ich dann nicht mehr weiterkomme... ich müsste ja eine fallunterscheidung machen, aber wie...

06.05.2009, 01:26

mYthos

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RE: LGS -> Welche Werte hat der Parameter

Zitat:

Original von danielaaaaa
...
ich bin bei (\alpha - 1) * x + (1 - \alpha )* y = 0 stehen geblieben und komme nicht weiter unglücklich

...

Na ja, daraus folgt doch

$\begin{eqnarray*} (\alpha - 1)(x - y) = 0 \end{eqnarray*}$

Nun kann eine Fallunterscheidung erfolgen.
Das ist allerdings noch nicht ganz das Endstadium der Matrixumformung. Aber man kann damit in die erste und dritte Gleichung gehen und somit auch nach z lösen ...

mY+

06.05.2009, 01:53

daniiiiii

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jaaa, genau diese zeile hatte ich auch mal stehen smile

aaaah vielleicht hab ichs ja....

also:

1. Fall: alpha = 1 => eine Lösung
2. Fall: alpha > 1 und alpha < 1 => keine Lösung
3. Fall: unendlich viele Lösungen... wie müsste hier das alpha sein???
_________________________________________________________

oder nein

für alpha > 1 oder alpha < 1 gäbe es dann mehr als eine Lösung...

dann bleibt da ja noch das alpha, welches keine Lösung hergibt... aber da komme ich nicht drauf unglücklich

06.05.2009, 02:23

mYthos

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Du musst - wie gesagt - noch weiter rechnen.
Ausserdem stimmen deine letzten Antworten überhaupt nicht.

Du musst zunächst jene Parameterwerte untersuchen, für welche in der erweiterten Matrix eine Nullzeile entsteht (das ist bei $\begin{eqnarray*} \alpha = 1 \end{eqnarray*}$ der Fall).

EDIT: Der Fall $\begin{eqnarray*} \alpha = 0 \end{eqnarray*}$ ist nicht gesondert zu betrachten! Sh. Nachpost.

Dazu kommt dann noch ein Parameterwert, welcher in der Koeffizientenmatrix (der Variablen) eine Nullzeile erzeugt, nicht aber in der erweiterten Matrix (rechts bleibt als Konstante ein von Null verschiedener Wert stehen) [ Das passiert bei $\begin{eqnarray*} \alpha = -2 \end{eqnarray*}$ ]. Letztere Gegebenheit findet auch darin ihre Entsprechung, dass die Lösungen Brüche enthalten, in deren Nenner $\begin{eqnarray*} \alpha + 2 \end{eqnarray*}$ steht.

mY+

06.05.2009, 02:34

daniiii

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ich weiss nicht, ob ich dich jetzt richtig verstanden habe, aber jetzt habe ich drei fälle 1. alpha = 1 ; 2. alpha = 0 und 3. alpha < 0

so, bei alpha = 1 und 0 entsteht 0 = 0 (die Nullzelle), aber wo setze ich das genau ein und wie mache ich weiter? würde bei mir irgendwie rauskommen y= 1/1-alpha oder so was ähnliches, dann wüsste ich, was ich machen soll, aber bei zwei unbekannten hänge ich gerade etwas :\

06.05.2009, 02:56

mYthos

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Du rechnest genau dort weiter, wo die Nullzeile entsteht, indem du die entsprechenden alpha-Werte in die anderen Gleichungen einsetzt. Bei $\begin{eqnarray*} \alpha = 1 \end{eqnarray*}$ wird es dabei unendlich viele Lösungen geben. [ EDIT: Irrtum berichtigt, auch bei $\begin{eqnarray*} \alpha = 0 \end{eqnarray*}$ gibt es eine eindeutige Lösung! Sh. Nachpost. ] Du hast wahrscheinlich auch anzugeben, wie diese lauten?
Anderenfalls liegt noch eine eindeutige Lösungsmenge für {x; y; z} in Termen von alpha vor. Diese hast du bisher noch gar nicht berechnet!

$\begin{eqnarray*} x = \ldots; \ y = \ldots; \ z = \frac{1}{\alpha + 2} \end{eqnarray*}$

Mache auch da mal weiter! Daraus ist auch der Fall, dass es zu keiner Lösung kommt, abzuleiten.

mY+

P.S.: Ich sehe morgen wieder rein, jetzt ist der Matratzenhorchdienst angesagt!

06.05.2009, 03:03

daniii

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danke schön! ich werd hier auch ersteinmal schluss machen und morgen berichten, ob es geklappt hat smile

06.05.2009, 14:13

mYthos

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Noch zum Fall $\begin{eqnarray*} \alpha = 0 \end{eqnarray*}$ , da habe ich mich heute Nacht im Vorpost geirrt (sh. EDIT dort).

Denn wenn bei der Matrixumformung nach Gauß mit $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ multipliziert wird, ist $\begin{eqnarray*} \alpha \neq 0 \end{eqnarray*}$ vorauszusetzen. Durch den in der Folge bei der Lösung aufscheinenden Faktor $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ kann man daher problemlos kürzen. Der Fall $\begin{eqnarray*} \alpha = 0 \end{eqnarray*}$ muss deswegen nicht gesondert betrachtet werden (sh. EDIT weiter oben).

mY+

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