Verständnisproblem: Potenzreihenentwicklung

06.05.2009, 13:17

Nightfall

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Verständnisproblem: Potenzreihenentwicklung

Hallo zusammen!

Ich arbeite gerade ein wenig die Vorlesung nach und soll auf einem aktuellen Übungszettel Funktionen in Potenzreihen entwickeln. Dabei fehlt mir aber noch ein halbwegs sicheres geordnetes Vorgehen bei einer solchen Aufgabe - ich weiß einfach noch nicht genau, wie und wo ich anfangen soll. Ich hoffe, ihr könnt mir an Hand eines Beispiels ein wenig zeigen wo's lang geht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hier erstmal die Aufgabe:

http://img21.imageshack.us/img21/456/aufgabe3v.jpg

Nehmen wir also die Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1+x}{1-x} \end{eqnarray*}$ .

Ich fange jetz mal so an, wie ich mir das vorstelle, ok?

Schritt 1: Zeigen, dass f unendlich-oft diffbar ist

Behauptung: $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x)=\frac{2n!}{(1-x)^{n+1}} \end{eqnarray*}$
Induktion nach n:
n=1: $\begin{eqnarray*} f^{(1)}(x)=\frac2{(1-x)^2}=\frac{2\cdot1!}{(1-x)^{1+1}} \end{eqnarray*}$
n nach n+1: $\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(x)={f^{(n)}}'(x)={\left(\frac{2n!}{(1-x)^{n+1}}\right)}'=\frac{2n!(n+1)(1-x)^n}{(1-x)^{2n-2}}=\frac{2(n+1)!}{(1-x)^{n+2}} \end{eqnarray*}$

Schritt 2: Anwendung der Taylorformel mit Bestimmung des Restglieds

Da f(x) unendlich-oft diffbar ist, gilt
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+R_{n+1}(x) \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} R_{n+1}(x)=\int_0^x\frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)&dt \end{eqnarray*}$

Schritt 3: Zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \end{eqnarray*}$ auf (-1,1) absolut konvergiert

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{2n!}{(1-0)^{n+1}}\cdot\frac1{n!}=\frac21=2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Damit würde die Reihe mit dem Quotientenkriterium blöderweise divergieren. Ich bin zwar schon weiter gekommen, als ich anfangs gedacht habe, aber hier hänge ich fest - oder habe ich einen Fehler übersehen?

Gruß, Nightfall

06.05.2009, 13:35

Frank Xerox

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RE: Verständnisproblem: Potenzreihenentwicklung
Nur mal so als Anregung die geometrische Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x},~|x|<1. \end{eqnarray*}$

06.05.2009, 19:05

Nightfall

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Oh ja, das habe ich überhaupt nicht gesehen. Dann kann ich die 2 ja einfach aus der Summe rausziehen und dann bin ich ja schon fertig, oder?

06.05.2009, 19:56

Frank Xerox

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Zitat:

Original von Nightfall
Oh ja, das habe ich überhaupt nicht gesehen. Dann kann ich die 2 ja einfach aus der Summe rausziehen und dann bin ich ja schon fertig, oder?

verwirrt

Keine Ahnung was Du damit meinst...

Vielleicht dämmert's nun:

$\begin{eqnarray*} f_1(x)=\frac{1+x}{1-x}=(1+x)\frac{1}{1-x}=\ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_2(x)=\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{1-(-x^2)}=\ldots \end{eqnarray*}$

06.05.2009, 20:53

WebFritzi

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Zitat:

Original von Nightfall
Oh ja, das habe ich überhaupt nicht gesehen. Dann kann ich die 2 ja einfach aus der Summe rausziehen und dann bin ich ja schon fertig, oder?

So ist es. Übrigens stimmt es nicht, dass die Reihe nach dem Quotientenkriterium divergiert. Dann hättest du ja die Behauptung widerlegt. Das Quotientenkriterium lässt nur keine Aussage zu.

Zitat:

Original von Frank Xerox
verwirrt

verwirrt

Keine Ahnung was Du damit meinst...

Das würde ich gerne DICH fragen. Meintest du sowas?

$\begin{eqnarray*} \frac{1+x}{1-x} &=& (1+x)\frac 1 {1-x} = (1+x)\sum_{n=0}^\infty x^n = \sum_{n=0}^\infty x^n + \sum_{n=0}^\infty x^{n+1}\\&=& \sum_{n=0}^\infty x^n + \sum_{n=1}^\infty x^n = 1 + 2\sum_{n=1}^\infty x^n. \end{eqnarray*}$

06.05.2009, 23:46

Frank Xerox

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Zitat:

Original von WebFritzi
Das würde ich gerne DICH fragen. Meintest du sowas?
...

Was denn sonst?

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07.05.2009, 00:44

WebFritzi

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Nun werd mal nicht gleich frech. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.05.2009, 10:42

Frank Xerox

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Zitat:

Original von WebFritzi
Nun werd mal nicht gleich frech. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Lieber WebFritzi,
mal ganz davon abgesehen, dass ich keiner Weise frech geworden bin sondern eine sachliche Frage gestellt habe, behagt mir dieser Tonfall nicht besonders.

07.05.2009, 17:40

Nightfall

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Ok, Jungs, jetzt kommt mal runter und vertragt euch wieder Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich danke euch beiden für eure Hilfe. An euch beide jetzt noch die Frage:

Wenn ich mit Hilfe der geometrischen Reihe beide Funktionen umgeschrieben habe, habe ich dann auch schon gezeigt, dass die Reihen auf (-1,1) für alle x gegen $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ konvergieren? Ich habe ja dann überhaupt kein Restglied oder so und dass die geometrische Reihe konvergiert muss ich ja nicht mehr zeigen, oder?

Wenn dem so wäre, bin glücklich und kann euch endlich mit dem zweiten Teil der Aufgabe nerven smile

smile

Ich soll für alle $\begin{eqnarray*} x\in(-1,1) \end{eqnarray*}$ die Werte der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_1^\infty nx^n \end{eqnarray*}$ berechnen. In der Übung gestern habe ich den Hinweis bekommen zunächst die "Stammfunktion" der Reihe zu berechnen und dann mal weiterzuschauen.

Das war recht schnell geschaft:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{n=1}^\infty nx^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac n{n+1}x^{n+1} \end{eqnarray*}$

Und jetzt vermute ich, dass ich mit der neuen Summe rumspielen muss bis ich mit der geometrischen Reihe weiterarbeiten kann und dann den Grenzwert nochmal ableiten muss damit ich die Lösung bekomme.

Aber etwas gescheites habe ich noch nicht hinbekommen, habe schon ne Indexverschiebung probiert, sodass ich von n=0 aufsummiere und dann F(x) nach oben durch die geometrische Reihe abschätze, aber zu einem Ergebnis bin ich da nicht wirklich gekommen. Kennt ihr weitere Ansätze?

Gruß, Nightfall

07.05.2009, 19:47

Mathespezialschüler

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Verschiebe erst den Index und integriere dann. Wegen

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~nx^n=x\sum_{n=1}^{\infty}~nx^{n-1} \end{eqnarray*}$

genügt es, $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~nx^{n-1} \end{eqnarray*}$ zu bestimmen. Dies kannst du nun durch Auffinden einer Stammfunktion machen.

07.05.2009, 20:28

Nightfall

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Ah, danke dir! Das hört sich gut an, das werd ich gleich mal ausprobieren!

... *rechne* ...

Ok, ich habe raus:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty nx^n=x\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1} \end{eqnarray*}$

Das ganze integriere ich dann und es kommt raus:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty x^n=\sum_{n=0}^\infty x^{n+1}=x\sum_{n=0}^\infty x^n=x\frac1{1-x}&\forall x\in(-1,1) \end{eqnarray*}$

Und das abgelitten ergibt: $\begin{eqnarray*} \frac1{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow\sum_ {n=1}^\infty nx^n=\frac x{(1-x)^2}&\forall x\in(-1,1) \end{eqnarray*}$

Korrekt so? *hoff*

07.05.2009, 20:29

Mathespezialschüler

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Ja.

Freude

07.05.2009, 20:34

Nightfall

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Wuhooooo! Danke dir! Und einens schönen Abend noch!

07.05.2009, 21:42

WebFritzi

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Zitat:

Original von Frank Xerox

Zitat:

Original von WebFritzi
Nun werd mal nicht gleich frech. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Lieber WebFritzi,
mal ganz davon abgesehen, dass ich keiner Weise frech geworden bin sondern eine sachliche Frage gestellt habe, behagt mir dieser Tonfall nicht besonders.

Eigentlich sollte dir bekannt sein, dass der folgende Smiley:

Augenzwinkern

Ironie bzw. ein Augenzwinkern anzeigt.

09.05.2009, 16:31

Frank Xerox

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Zitat:

Original von WebFritzi
Eigentlich sollte dir bekannt sein, dass der folgende Smiley:

Augenzwinkern

Ironie bzw. ein Augenzwinkern anzeigt.

@WebFritzi: Ach so. Bin nicht so der smiley-user. Also nicht sauer sein, falls ich meinem Unmut etwas deutlicher Luft gemacht haben sollte als nötig.

Zur Aufgabe möchte ich aber auch noch ne Kleinigkeit loswerden:

Differential- und Integralbegriff sind für diese Aufgabe nicht unbedingt notwendig.
Die Reihen $\begin{eqnarray*} \sum n x^n \ \mbox{oder auch} \ \sum n^2 x^n \end{eqnarray*}$ sind Standardbeispiele für Anwendungen des Cauchyproduktes:

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{1}{1-x} \right)^2=\left( \sum_{n=0}^\infty x^n \right)^2=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n x^n= \sum_{n=0}^\infty (n+1)x^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty nx^n=\left( \frac{1}{1-x} \right)^2- \frac{1}{1-x}=\frac{x}{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$

09.05.2009, 21:02

WebFritzi

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Zitat:

Original von Frank Xerox

Zitat:

Original von WebFritzi
Eigentlich sollte dir bekannt sein, dass der folgende Smiley:

Augenzwinkern

Ironie bzw. ein Augenzwinkern anzeigt.

@WebFritzi: Ach so. Bin nicht so der smiley-user. Also nicht sauer sein, falls ich meinem Unmut etwas deutlicher Luft gemacht haben sollte als nötig.

OK.

Wink

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