Matrizenbeweise

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Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »
Matrizenbeweise
Hallo,

also es geht um folgende 2 Aufgaben:

a) Sei A eine n x n Matrix über R mit rang(A)=m

z.z.: Es gibt n x m Matrizen X,Y über R, so dass gilt

Meine Gedanken dazu:

Dass das Matrizenprodukt wieder eine n x n Matrix sein muss ist klar und dass es diverse Zerlegungen (LR,QR,Cholesky...) für eine Matrix A gibt auch.
Entscheidend ist hier wohl die Angabe rang(A)=m mit der man hier arbeiten soll, aber ich weiss nicht so wirklich wie ich das jetzt zeigen soll.

b) Seien X,Y nun n x m Matrizen über R mit und A eine reguläre n x n Matrix über R

z.z.: regulär <=> regulär

Meine Gedanken dazu:

Die Matrizen links und rechts sind in jedem Fall quadratisch.
Wenn sie regulär wären müssten sie ja auch vollen Rang haben und es muss eine Inverse existieren, so dass ergibt. Ich dachte erst, dass ich hier auch mit ansetzen muss, das dann in die rechte Seite für einsetze und durch diverse Umformungen dann eine Matrix erhalte, von der man sirekt sagen kann, dass auch sie regulär, also invertierbar, sein muss.
Nur so wirklich weit komme ich damit auch nicht , muss ich vielleicht über Determinanten gehen verwirrt

Weiss da vielleicht jemand Rat ?

Gruß Björn
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Neuer Ansatz für b)

Wenn 2 Matrizen A und B regulär sind, dann ist auch AB regulär wegen det(AB)=det(A)*det(B) da det (A), det(B) ungleich null

Damit wäre auch regulär.

Jetzt wäre es ja schön, wenn man irgendwie zeigen könnte, dass die Addition mit der Einheitsmatrix I keinen Einfluss auf die Invertierbarkeit einer Matrix hat, sprich dass es unerheblich ist wenn damit alle Diagonaleinträge der anderen Matrix um 1 erhöht werden. Dann nämlich könnte ich ja schließen, dass auch regulär ist und damit auch die Determinanten der einzelnen Matrizen jeweils ungleich null ist.
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizenbeweise
Bei a) ist mir nicht so ganz klar, was man zeigen soll (ja, des was da steht. Augenzwinkern ). Aber ich würde nicht von der Zerlegungsseite ansetzen, sondern mit dem Produkt. Wenn X,Y aus n x m, was muss dann gelten, damit A Rang M hat.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Damit es überhaupt erst möglich ist, dass A auch den Rang m hat muss gelten, da für n<m die n x n Matrix A ja nachher keinen Rang haben kann, der größer als ihre Breite ist.

Für n=m ist die Sache klar, denn dann hat A vollen Rang, ist invertierbar mit det(A) ungleich null und X und Y müssen demnach auch regulär sein.

Die Frage ist nun warum auch für n>m immer eine solche Zerlegung existieren MUSS.
Invertierbar wird die quadratische Matrix A ja dann auch nicht sein da ja kein voller Rang mehr vorliegt.

Gibt es vielleicht einen Satz, der besagt, dass das Produkt zweier Matrizen mit demselben Rang r eine Matrix erzeugt, die auch wieder diesen Rang r besitzt ?
Denn ich hab mal etwas rumprobiert und wenn der Rang von X und Y^T unterschiedlich ist, dann passt das am Ende auch nicht mehr mit dem Rang von A.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Imho gilt nur eine abschätzende Formel. Stellen wir uns das als Abbildungen vor. Vektor rein, der landet auf 0 oder einem"nichttrivialen Bildpunkt". Bild hat dann die Dimension m. Nun kommt eine weitere Abbildung. Die muss ja nun nicht bezüglich dieser neuen Inputmenge nur den trivialen Kern haben... Verstehst du was ich meine?

Frage ist also, wie bastelt man sich so etwas möglichst einfach. Wir wollen alles von Y^T erhalten, nur die Gestalt was aufblähen.

Es gilt wohl m <=n aus der Angabe. Nun seien imho obdA die ersten m Zeilen von A l.u. Dann stehen weiter herunter nur noch linearkombinationen dieser Zeilen. Die ersten m Zeilen ergeben Y^T. X bekommt oben einen Identitäsblock und unten dann einen Block, der die LK der oberen Zeilen darstellt.

So würde ich mir das zurecht basteln. Andere Ideen willkommen. tigerbine ist Schläfer
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Jetzt wäre es ja schön, wenn man irgendwie zeigen könnte, dass die Addition mit der Einheitsmatrix I keinen Einfluss auf die Invertierbarkeit einer Matrix hat, sprich dass es unerheblich ist wenn damit alle Diagonaleinträge der anderen Matrix um 1 erhöht werden.


Sei A regulär.



Da sehe ich für I+A schwarz.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, die a) hab ich damit dann verstanden Freude

Bei b) tüftel ich dann nochmal ein wenig verwirrt

Für weitere Hinweise und Ideen bin ich natürlich weiterhin offen smile
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok scheinbar weiss keiner mehr was dazu.

Bitte den Thread schließen, da ich mich dann nochmal woanders umhören möchte smile

Gruß Björn
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Da jetzt jeder weiß, dass du auch woanders fragst ist es nicht nötig den Thread zu schließen. Vielleicht kommt ja doch noch was produktives. Augenzwinkern
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