Untervektorräume

06.05.2009, 15:18

Nobby

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Untervektorräume

Hallo und guten Tag!

Folgende Aufgabe soll ich lösen:
n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit n $\begin{eqnarray*} \geq 2 \end{eqnarray*}$

zeigen sie, dass

$\begin{eqnarray*} \{( x1, x2,....xn)\in \mathbb R^{n}| x1=x^{2}2\} \end{eqnarray*}$

kein Untervektorraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraums $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ ist.

als ansatz hab ich einen gegenbeweis angeführt und einfach ma behauptet, wenn die bedingungen eines UVR gelten würden, wäre ja gezeigt es ist einer, also muss ich meiner behauptung widersprechen.
0 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U gilt ja schonma mit 0=0^2

ab jetzt verwirrt mich aber, dass es sich um ein n-Tupel handelt und nur x1 und x2 betrachtet werden.
wie soll ich zeigen, dass mit x,y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ U gilt: x+y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ ?

hab jetzt einige zeit im internet gesucht und nie ein beispiel mit einem n-tupel gesehen, dessen funktionsvorschrift sich nur auf zwei elemente bezieht.

vielen dank im vorraus!

06.05.2009, 16:18

Felix

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Ja du musst tatsächlich nur die zwei elemente beachten. Besonders leicht kannst du mMn zeigen, dass diese Menge bezüglich der Multiplikation mit einem Skalar nicht abgeschlossen ist

Edit:

Die Addition ist eigentlich genauso einfach Augenzwinkern

Augenzwinkern

- du musst ja nur ein Gegenbeispiel finden.

06.05.2009, 16:52

Nobby

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diese funktionvorschrift mach mich dennoch wahnsinnig!

da steht doch quasi das x1 $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ ist und das das gleiche ist wie $\begin{eqnarray*} x2^{2} \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} \lambda \in k^{n} \end{eqnarray*}$ wähle und in die funktionvorschrift zur überprüfung einsetze würde ja da stehen:

$\begin{eqnarray*} \lambda x1 = x2^{2} \end{eqnarray*}$

nur frag ich mich grad was ich damit zeige, hab mich einfach an das skript gehalten.

allein für x1=2 geht die funktionsvorschrift doch schon gar nicht mehr oder? weil dann wäre x2 ja $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und das kann eg nich sein...

06.05.2009, 17:13

Felix

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$\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \in \mathbb {R} \end{eqnarray*}$ !

Warum kann $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ also nicht die Wurzel aus 2 sein ?

06.05.2009, 17:16

Nobby

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weil wurzel 2 eine irrationale zahl ist, d.h. durch das beispiel mit 2 zeige ich, dass es kein UVR ist? Muss man das nich irgendwie allgemein herleiten? oder kann ich lambda einfach = 2 setzen und sagen, da es für diesen fall nich gilt, handelt es sich nich um einen UVR € R?

06.05.2009, 18:00

Felix

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Zitat:

Original von Nobby
weil wurzel 2 eine irrationale zahl ist, d.h. durch das beispiel mit 2 zeige ich, dass es kein UVR ist? Muss man das nich irgendwie allgemein herleiten? oder kann ich lambda einfach = 2 setzen und sagen, da es für diesen fall nich gilt, handelt es sich nich um einen UVR € R?

Warum sollte, eine irrationale Zahl ein Problem sein. Du musst einfach nur an einem Gegenbeispiel zeigen, dass die definierte Menge bezüglich der Multiplikation mit einem Skalar bzw bezüglich der Vektoraddition nicht abgschlossen ist ...

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06.05.2009, 18:08

Nobby

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Sprich das $\begin{eqnarray*} \lambda x_1\neq x_2^{2} \end{eqnarray*}$ ?

Ich weiß nicht, was du mit nicht abgeschlossen meinst. Das durch die angegebene Eigenschaft nicht alle x beschrieben werden?

06.05.2009, 18:17

Felix

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Ein Vektorraum muss abgeschlossen bezüglich der Vektoraddition und Multiplikation mit einem skalar sein. Am Beispiel der Vektoraddition bedeutet dies, dass die Summe zweier Vektoren eines VR`s wieder Element des VR`s sein muss. Analog definiert man die Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation mit einem skalar.

06.05.2009, 18:25

Nobby

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alles klar das hab ich jetzt schonmal verstanden.

wer sagt mir jetzt aber, dass diese funktionsvorschrift das nicht erfüllt? Das würde ja bedeuten da man ja nur x1 und x2 betrachtet, dass wenn ich x1 und x2 mit einem skalar multipliziere, kein weiteres element der menge herauskommt?

ich versteh das mit den untervektorräumen nicht so wirklich, da ich nicht beweisen kann, was sie überhaupt sind, ich weiß nur was gelten muss, damit etwas einer ist, und nich mal das kann ich vernünftig anwenden.

06.05.2009, 18:49

Felix

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Was gibt es den darüber was sie sind zu beweisen? Das ist per Definition festgelegt: Eine Menge die gewisse Bedingungen erfüllt. Wobei du hier unterscheiden musst zwischen der die gegebene Menge definierende Eigenschaft und den Eigenschaften eines VR`s (oben hab ich die eines VR´s gemeint)

Die hier gegebene Menge erfüllt nicht alle dieser Eigenschaften, ist daher kein Vektorraum. Betrachte doch mal das Beispiel zweier Vektoren aus dieser Menge, wobei wir du das Augenmerk nur auf die ersten zwei Stellen der n-Tupels richtest. Dann haben wir z.B. :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ . \\ . \\ . \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 16 \\ . \\ . \\ . \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Genügt die Summe dieser Vektoren noch immer der Forderung $\begin{eqnarray*} x_1 = x_2^2 \end{eqnarray*}$ ?

06.05.2009, 19:03

Nobby

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Die Summe der Vektoren müsste doch einen neuen Vektor in $\begin{eqnarray*} \{( x1, x2,....xn)\in \mathbb R^{n}| x_1=x_2^{2} \end{eqnarray*}$ erzeugen wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, damit der VR abgeschlossen wäre.

Wieso sollte denn die Summe der Vektoren keinen neuen Vektor erzeugen können?

Sorry, aber ich blick einfach nicht, was die Summe mit der Funktionsvorschrift am Hut habe soll. Ich steh total auf dem Schlauch
Auch das mit dem Skalar: Wieso sollte denn wenn ich zb $\begin{eqnarray*} x_1 * 2 \end{eqnarray*}$ kein neuer Vektor aus dieser Menge entstehen können?

06.05.2009, 19:07

Felix

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ . \\ . \\ . \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 4 \\ 16 \\ . \\ . \\ . \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 20 \\ . \\ . \\ . \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gilt jetzt immer noch $\begin{eqnarray*} x_1 = x_2 ^2 \end{eqnarray*}$ ?

06.05.2009, 19:16

WebFritzi

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@Nobby: Das ist keine Analysis, sondern lineare Algebra. Stell solche Aufgaben bitte demnächst in das entsprechende Forum. Danke.

06.05.2009, 19:19

Nobby

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Das galt doch schon von Anfang an nicht ich kann doch nich Behaupten, dass 2=4 ist oder 4=16
Die Funktionsvorschrift is für mich absoluter nonses oder, was ich eher vermute, ich versteh nicht was die mir sagt.

Wo funkt bei der Addition denn die Funktionvorschrift rein, außer bei den Vektoren selbst? Ich bestimme doch mit $\begin{eqnarray*} x_1 = x_2^{2} \end{eqnarray*}$ nur, was $\begin{eqnarray*} x_1 und x_2^{2} \end{eqnarray*}$ sind. Wenn ich jetzte die Summe betrachte, könnte ich mir doch irgendein $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ausdenken, was quadriert genau das Ergebnis der Summe ist?

06.05.2009, 19:35

Felix

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Ich glaube, du bringst da was gehörig durcheinander. Betrachten wir nocheinmal in Ruhe die zu untersuchende Menge. $\begin{eqnarray*} \{( x1, x2,....xn)\in \mathbb R^{n}| x1=x^{2}2\} \end{eqnarray*}$

Die Menge besteht also aus allen n-Tupeln, für deren erste zwei Einträge $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x_1 = x_2^{2} \end{eqnarray*}$ gilt.

Betrachten wir ein paar Beispiele:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ . \\ . \\ . \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 16 \\ . \\ . \\ . \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 36 \\ . \\ . \\ . \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Rest der Einträge kann beliebig sein.

Die Aufgabe ist nun zu prüfen ob diese Menge ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} R^n \end{eqnarray*}$ ist.

Wir zeigen, dass dem nicht so ist, indem wir zeigen, dass diese Menge bezüglich der Vektoraddition nicht abgeschlossen ist (was sie sein müsste wäre sie ein Vektorraum).

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ . \\ . \\ . \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 4 \\ 16 \\ . \\ . \\ . \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 20 \\ . \\ . \\ . \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Offensichtlich ist das Ergebnis nicht mehr Elment der Menge -> die Menge ist nicht abgeschlossen bez. der Addition und daher auch kein VR.

Es genügt also nu ein einziges Gegenbeispiel zu bringen, um die Behauptung zu widerlegen.

06.05.2009, 19:48

Nobby

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Also muss per Addition das "dritte" Element erzeugt werden?

Ich seh ja, dass bei deinem Beispiel $\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 \end{eqnarray*}$ etwas anderes erzeugen als das Folgeglied von $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ aber wo steht denn, dass das so sein muss?

Könnten denn $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ nicht ein beliebiges $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ erzeugen welches Element der Menge ist? Die Menge hat doch keine Beschränkungen oder Angaben wie sie aussieht, außer, dass die ersten beiden Elemente durch die Funktionsvorschrift definiert sind. Jedes weiteres kann doch aussehen wie es will solange es $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Mein Problem ist um das mal deutlich zu machen: Warum ist die Summe der beiden ersten Elemente zwangsläufig nicht mehr Element der Menge?

@WebFritzi Jop wird gemacht, sorry

06.05.2009, 20:00

Felix

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Zitat:

Also muss per Addition das "dritte" Element erzeugt werden?

Was heißt drittes Element und was meinst du mit erzeugt? Ich habe schlicht und einfach die komponentenweise definierte Vektoraddition benutzt.

Zitat:

Ich seh ja, dass bei deinem Beispiel $\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 \end{eqnarray*}$ etwas anderes erzeugen als das Folgeglied von $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ aber wo steht denn, dass das so sein muss?

Ich addiere an keiner Stelle $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ . Was meinst du mit Folgeglied ?

Langsam kommt mir der Verdacht du verwechselst die Addition mit dem Erzeugnis zweier Vektoren verwirrt

verwirrt

Du wirst mir doch zustimmen, dass :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ . \\ . \\ . \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 4 \\ 16 \\ . \\ . \\ . \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 20 \\ . \\ . \\ . \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Beide n-Tupel sind Elemente der deiner Menge ihre Summe jedoch nicht. Daraus folgt, das die Menge kein VR ist.

Welchen teil an dieser Schlussfolgerung verstehst du nicht ?

06.05.2009, 20:06

Nobby

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Wieso ist denn die Summe der beiden Vektoren nicht Elemente der Menge? Ich frag mich wie man das ausschließen kann, wenn man doch nicht zu 100% sagen kann, dass sie nicht in der Menge liegen. Ich weiß doch gar nicht wie z.B. das 63. Glied meiner Menge aussieht, vllt ist dies genau die Summe der ersten beiden Vektoren.

Wegen der komponentenweise definierten Vektoraddition werd ich mal nochmal das Internet bemühen, ich hatte nie Vektorrechnung, erst jetzt seit 3 Wochen, ich tu mich damit noch sehr schwer.

06.05.2009, 20:10

Felix

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Das 63. "Glied" ist egal. Denn der Vektor muss für die ersten zwei "Glieder" die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} \text {erstes Glied} = (\text { zweites Glied})^2 \end{eqnarray*}$ erfüllen.

06.05.2009, 20:35

Nobby

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Jetzt hab ichs! Meine Güte bin ich verballert, jetzt macht das auch alles irgendwie Sinn. Ich hatte mir die ganze Zeit nur Zahlen vorgestellt und keine Vektoren aber oben steht ja $\begin{eqnarray*} n \geq \end{eqnarray*}$ und dadurch müssen es ja welche sein. Nja, manchmal steht man echt aufn Schlauch Augenzwinkern

Augenzwinkern

vielen vielen dank für die mühe und die geduld felix! Gott

Gott

dann guck ich mal, wie weit ich noch auf meinem Übungsblatt komme

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