Mächtigkeit zweier Mengen vergleichen

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Ripper1986 Auf diesen Beitrag antworten »
Mächtigkeit zweier Mengen vergleichen
Hallo,

ich habe die Aufgabe, zu zeigen dass eine Menge und die Potenzmenge dieser Menge nicht die gleiche Anzahl an Elementen haben! Für endliche Mengen ist diese Aussage klar!
bei unendlichen Mengen habe ich die Idee zu zeigen, dass es keine Bijektion gibt. Da ich auch noch zeigen soll dass die Anzahl der Elemente in der ausgangsmenge kleiner ist als die Anzahl der Elemente in der Potenzmenge, dachte ich, dass ich vlt eine injektive Funktion definieren könnte!
leider habe ich keine ahnung wie ich anfangen soll, es wäre nett wenn mir jemand einen kuzzen Ansatz geben könnte!

mfg
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Nehme an es gäbe eine Bijektion .

Betrachte die Menge .

Daraus kann man einen Widerspruch konstruieren.

Beachte, dass es ein gibt mit . Warum?
Ripper1986 Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm...

aber ist nicht jedes m auch in P(M) enthalten? is ist doch gerade de Potenzmenge, :-S
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
aber ist nicht jedes m auch in P(M) enthalten?
#

Das ist richtig nur worauf willst du hinaus ?
Ripper1986 Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaube mein Problem besteht darin, dass M aus Elementen besteht und P(M) aus Mengen, die nochmal Elemente enthalten! ich verstehe die Definition von A nicht so ganz!
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Das ganze ist zugegeben ziemlich rekursiv und verschachtelt, aber genau deswegen lässt sch der Beweis führen.
Die Funktion f bildet Elemente aus M auf Teilmengen von M ab. Also zum Beispiel das Element m auf die Teilmenge f(m). Da f(m) eine Teilmenge von m ist, ist es möglich, dass . Und A ist jetzt die Menge aller m, welche diese Eigenschaft haben.
 
 
Ripper1986 Auf diesen Beitrag antworten »

also:
f bildet Elemente aus M auf Teilmengen von M ab, soweit ist es mir nun klar! Wenn ich mir nun die Definition von oben anschaue, dann ist mir jetzt auch klar wie es gemeint ist! in der obigen Definition wird gesagt dass m aus M ist mit der Eigenschaft m ist nicht aus f(m)!

nun ist oben gefragt nach einem m aus M welches auf jeden fall in f(m) liegt, oder? Ich denke dass es das Element ist, welches auf f(m)=M abgebildet wird...!

ist das soweit richtig verstanden?
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Nein du musst die Tatsache ausnutzen, dass die Menge A auch eine Teilmenge von M ist. Es gibt deswegen ein mit . Die Frage ob führt dich jetzt auf einen Widerspruch.
Ripper1986 Auf diesen Beitrag antworten »

ich denke ich konnte es jetzt nachvollziehen...

in der Menge A sind Elemente aus M, aus diesem Grund ist .
daraus folgt es gibt ein mit woraus folgt, dass ist. Dies ist jedoch ein Wiederspruch.
Felix @ Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke du hast kapiert worum es geht, deine Formulierung gefällt mir aber nicht wirklich. Aus (die Index kannst du dir sparen) folgt nämlich nicht .
Nimm zuerst an und dann. Beides führt zu einem Widerspruch.
Ripper1986 Auf diesen Beitrag antworten »

okay, danke für die Erklärung!

schönen abend noch

Gruß
r
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