Beweis det(AB^t)=0 für m>n |
08.05.2009, 10:58 | Svenja1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Beweis det(AB^t)=0 für m>n Seien . Beweisen Sie: . Hinweis: Betrachten Sie den Rang der Matrix AB^t. Ich habe das mal mit einem Beispiel ausprobiert und da ist mir aufgefallen, dass die Matrix AB^t keinen vollen Rang hat. Mir ist aber nicht so ganz klar, warum das so ist. Vielleicht kann mir ja jemand auf die Sprünge helfen |
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08.05.2009, 12:11 | Nubler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
determinantenmultipltiplikationssatz? |
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08.05.2009, 12:34 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
@Nubler: Keine gute Idee, da und nicht quadratisch sein müssen. @Svenja: Überlege lieber, welchen Rang die Matrix haben müsste, damit die Determinante ist. Habt Ihr schon ein paar weitere Eigenschaften des Matrixrangs behandelt? Auf Wiki findet man eigentlich alles, was man zur Lösung benötigt. Gruß, Reksilat. |
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08.05.2009, 15:26 | Svenja1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Naja, damit die Determinante ist, müsste vollen Rang haben. Ja, wir haben einige Eigenschaften des Matrixrangs behandelt, auch die, die man auf Wiki findet. Aber irgendwie bringt mich das im Moment nicht weiter. Ich verstehe einfach nicht, warum die Matrix keinen vollen Rang hat. Wie kommt das zustande? |
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08.05.2009, 16:03 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Der Rang beider Matrizen ist . Der Rang von müsste aber sein. Hilft dir das weiter? |
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08.05.2009, 17:56 | Svenja1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Naja, wenn der Rang der beiden Matrizen A und B jeweils ist, bedeutet das ja, dass die beiden Matrizen jeweils mindestens eine Nullzeile besitzen. Somit hat auch die Matrix AB^t mindestens eine Nullzeile und der Rang ist <m. |
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09.05.2009, 02:55 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das ist falsch. Es gibt beliebig große Matrizen vom Rang Eins, die keine Nullzeilen besitzen. Gehe über die Definition des Rangs. |
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09.05.2009, 22:39 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Oder sieh ein, dass es einen nichtverschwindenden Vektor x gibt mit Daraus folgt dann auch |
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10.05.2009, 17:21 | Svenja1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wenn doch der Rang ist, dann haben diese Matrizen doch eine Nullzeile, wenn man sie auf Zeilenstufenform bringt, oder nicht? Warum kann man das nicht als Erklärung benutzen?
Wie meinst du das genau? |
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10.05.2009, 19:14 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Weil hier nichts auf Zeilenstufenform zu bringen ist. Ganz einfach. Außerdem stimmt dein Statement nicht, wenn der Rang =n (also maximal) ist. MSS hat gesagt, du sollst die Definition des Rangs benutzen. Der Rang einer Matrix ist die Dimension des Bildes der zugehörigen linearen Abbildung.
A: "Es regnet." B: "Wie meinst du das genau?" |
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11.05.2009, 17:45 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Oben hast du aber noch nichts von Zeilenstufenform gesagt. Die Matrizen und selbst müssen nämlich keine Nullzeile besitzen. Drück dich also klarer aus und lass nicht einfach irgendwelche Schritte weg, sonst wird es falsch! Wenn es ein gibt mit , dann auch , also hat die Abbildung nichttrivialen Kern. Was heißt das? |
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15.05.2009, 18:30 | Svenja1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Sorry, habe ich dann auch gemerkt
Wenn die Abbildung AB^t einen nichttrivialen Kern besitzt, hat sie einen nichtvollen Spaltenrang. Übrigens: Danke für eure Hilfe |
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15.05.2009, 18:42 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Richtig. Und damit auch eine verschwindende Determinante. Wusstest du eigentlich schon, dass Spalten- und Zeilenrang gleich sind? |
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