Mathepräsi Signifikanztest |
08.05.2009, 21:21 | Suesse | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Mathepräsi Signifikanztest ich muss demnächst meine Abipräsentation machen und bin bei der Bearbeitung auf foglendes Problem gestoßen...Das ich den Erwartungswert und die Standardabweichung ausrechnen muss,weiß ich und hab ich auch schon getan...aber wie sieht es mit Hypothesentests aus?Sind die für die Aufgabe notwendig und wenn ja iwe? Atomkraftwerke stehen in dem Verdacht, bei Kindern Leukämie zu verursachen. Deshalb wird über Leukämiefälle in der Umgebung von Atomkraftwerken genau Buch geführt. Manche betrachten dabei einen Kreis von 5 km um das Kraftwerk, andere einen Kreis von 15 km. In einem Zeitraum von einigen Jahren wurden bei den 15.000 Einwohnern des 5 km-Kreises um ein Kernkraftwerk neun Fälle von Leukämie bei Kindern und Ju-gendlichen beobachtet - im Bundesdurchschnitt ist es nur ein Fall auf 10.000 Ein-wohner! Insgesamt 310.000 Einwohner leben mehr als 5 km, aber höchstens 15 km vom Kraftwerk entfernt. 110.000 von ihnen gehören zum gleichen Landkreis wie die Leute im inneren Bereich, 200.000 gehören zu einer großen Stadt, deren Gebiet in den 15 km-Bereich hineinragt. Bei diesen 310.000 Leuten entspricht der Anteil der Leukämiefälle genau dem Bundesdurchschnitt. 2. Die Aufgaben 1. Überprüfe und kommentiere die folgenden Aussagen. a) Kritische Wissenschaftler schlagen Alarm: Im 5 km-Kreis ist die Anzahl der Leukämiefälle dramatisch erhöht. 2 b) Das Gesundheitsamt des Landkreises beruhigt: Im Kreisgebiet ist zwar eine gewisse Erhöhung festzustellen, aber es liegt keine signifikante Abweichung vom Bundesdurchschnitt vor. c) Das Bundesumweltministerium gibt bekannt, daß im Umkreis von 15 km um die kerntechnische Anlage kein erhöhtes Leukämierisiko für Kinder feststellbar ist. Vielen Dank für Antworten... |
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09.05.2009, 11:16 | Zellerli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Du musst dir zunächst mal überlegen was "dramatisch erhöht" oder "signifikante Abweichung" in Zahlen bedeutet. Dann kannst du einen Hypothesentest aufstellen, um die Aussage zu prüfen. |
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09.05.2009, 11:54 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Mathepräsi Signifikanztest Selbstverständlich musst du einen Hypothesentest machen. Dann wirst du wahrscheinlich feststellen, dass alle drei Aussagen a), b) und c) mathematisch korrekt sind. Ich habe es nicht nachgerechnet. Und das zeigt, wie leicht es ist, mit Statistik zu manipulieren. Wenn man mal annimmt, dass die Leukämierate in der engeren Umgebung von Kernkraftwerken erhöht ist, dann kann man das verschleiern, indem man die Statistik über einen größeren Umgebungsbereich verschmiert. Andererseits war dies die Statistik für ein spezielles Kernkraftwerk. Bei anderen Kernkraftwerken zeigt sich diese Erhöhung in der engeren Umgebung nicht. Was besagt dann dieses spezielle Ergebnis? Noch wichtiger: Die Hypothesentests, die gemacht wurden, beruhen auf der Annahme, das das Auftreten von Leukämiefällen normalerweise voneinander unabhängige Ereignisse sind. Dann ist diese lokale Häufung ein extrem unwahrscheinliches Ereignis. Was den Schluss nahelegt, dafür muss es eine spezifische Ursache geben: Das Kernkraftwerk!? Stimmt diese Hypothese? Es gibt seit langer Zeit den Befund (schon weit vor der Nutzung der Kernenergie), dass es bei der Leukämie aus bisher ungeklärten Gründen lokale Häufungen gibt. Wenn das stimmt, beruhen die oben genannten Hypothesentests auf einer falschen Annahme und sind deshalb sinnlos. Schlussfolgerung: Statistik ist nicht nur Mathematik, wenn man sie auf die reale Welt anwendet. Mathematik beruht auf Annahmen. Sind diese in der realen Welt erfüllt? Darüber lässt sich im Einzelfall trefflich streiten. Und deshalb sollte man sehr sorgfältig überprüfen, ob bestimmte mathematische Annahmen auch in der Realität gelten. |
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09.05.2009, 13:27 | Suesse | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Vielen Dank schon einmal für eure Antworten.Ich habe nur leider das Problem,dass ich mir ziemlich unsicher bin,was das Hypothesen aufstellen betrifft... Also müsste ich einen linksseitigen Test machen???-> H0: p>p0 und H1: p<po? In Teil a) würde es also so aussehen... H0: p>0,0001 und H1: p<0,0001 richtig? E(x)=1,5 -->wenn 1,5 Fälle in dem 5km Kreis auftreten würden,dann würde es noch dem Bundesdurchschnitt entsprechen. Sigma=1,22 -->1,5+1,22=2,72 ->wenn 2,72 Fälle auftreten würden,wäre es auch noch in Ordnung. Aber wie finde ich jetzt heraus,welche Hypothese stimmt und welche verworfen werden muss und wie kann ich die genaue Erhöhung berechnen? Habe im Internet gesehen,dass man die Abweichnug in Teil a) mit 9-1,5/sigma15.000 rechnen kann. Ergebnis 6,1475 woraus ich schließen würde,dass in dem 5km Kreis eine 6-fache Erhöhung des Leukämierisikos vorhanden ist.Allerdings kann ich mir nicht erklären,wie die oben genannte Formel zustande kommt.. |
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09.05.2009, 16:01 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Nein, genau umgekehrt! H0: p <= 0,0001 und H1: p > 0,0001
Ja.
Zunächst musst du ein Signifikanzniveau wählen. Ein üblicher Wert sind 5 %. Dann berechnest du P(>= 9 Fälle). Wenn das < 5 % (0,05) ist, wird die Nullhypothese auf dem gewählten Signifikanzniveau abgelehnt. Das bedeutet inhaltlich, es spricht einiges dafür, dass die Leukämiehäufigkeit tatsächlich erhöht ist. Das umgekehrte ist nicht richtig. Wäre P(>=9 Fälle) <= 5 %, heißt das nicht, dass die Nullhypothese richtig ist. Das würde lediglich bedeuten, das Datenmaterial ergibt keinen ausreichenden Grund, die Nullhypothese abzulehnen. Dieser feine Unterschied wird oft übersehen.
Diese Rechnung ergibt sich, wenn man die Binomialverteilung näherungsweise durch die Normalverteilung ersetzt. Ich bekomme als Faktor 6,124 heraus. Das bedeutet, 9 ist mehr als vom Mittelwert 1,5 entfernt. Und ist mächtig viel. |
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09.05.2009, 21:17 | Suesse | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Vielen Dank schon einmal, Huggy!!! Wenn ich nun von einem Signifikanzniveau von 5% ausgehe, wie berechnen ich dan P(>=9 Fälle)?Dazu kann ich ja nicht die Formel der Binomialverteilung nehmen,oder?Wenn doch wäre mein n=15.000 k<=8 und p=0,0001 da kommt allerdings 0,00014 raus und demnach müsste ich Ho verwerfen,weil p>=0,0001 ist?Aber was ist mit H1? Beim Vorstellen des Themas müsste ich doch folgende Reihenfolge bei der Berechnung beachten: 1. Ho und H1 aufstellen 2. P(>=9 Fälle) berechnen 3.E(x) berechnen 4. Sigma berechnen 5. Abweichung mithilfe der Normalverteilung berechnen Richtig? |
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10.05.2009, 09:22 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Du kannst P(>=9) mit der Binomialverteilung berechnen gemäß Und da das viel kleiner als 5 % ist, wird H0 abgelehnt und das heißt, H1 wird akzeptiert. Du könntest auch die Binomialverteilung durch die Normalverteilung ersetzen. Das ist eine brauchbare Näherung, wenn gilt (Faustformel): Diese Bedingung ist zwar nicht erfüllt. Aber auch damit wird H0 abgelehnt, weil P(>=9) so klein ist, dass die Abweichung nicht ins Gewicht fällt. |
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12.05.2009, 17:55 | Suesse | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Nur nochmal zum Verständnis,ob mein Vorgehen richtig ist. a) P(X<=8)=(15.000 über 8)*(0,0001)^8*(0,9999)^14992=0,00014 -->p>0,0001 H1 wird akzeptiert und Ho verworfen. Reicht das für den Hypothesentest? E(x)=15.000*0,0001=1,5 -->wenn 1,5 Fälle im 5km Kreis auftreten würden,enstpärche es dem Bundesdurchschnitt Sigma=wurzel(15.000*0,0001*0,9999)=1,22 --> 1,5+1,22=2,72 Fälle wären auf noch in Ordnung z=x-E(x)/Sigma=9-1,5/1,22=6,1475 -->Leukämierisiko ist im 5km Kreis um das 6fache vom Erwartungswert erhöht =>Aussage stimmt. Kann ich in meiner Präsentation nach dem Schema vorrechnen oder hab ich noch etwas vergessen? |
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13.05.2009, 10:57 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Jetzt bist du aber gewaltig vom Pfad der Tugend abgekommen. Du hast nicht P(X <= 8) berechnet sondern P(X = 8). Und gesucht war P(X >= 9) = 1 - P(X <= 8)! Es ist mit n = 15000, p = 0,0001 und q = 0,9999. Damit erhält man: P(X >= 9) = 0,000028 < 0,05 Deshalb wird H0 abgelehnt und als Folge davon H1 angenommen.
Das ist richtig.
Wie kommst du denn darauf, dass die Grenze bei liegt? Wenn du die Grenze für die Akzeptanz der Hypothese H0 bestimmen willst, musst du das größte k bestimmen, für das gilt: P(X >= k) > 0,05 Wenn du das nach obiger Methode machst, bekommst du k = 4. Denn es ist P(X >= 4) = 0,066 > 0,05 Dagegen wäre P(X >= 5) = 0,019 < 0,05 4 Fälle wären also gerade noch zulässig. Wenn du das statt mit der Binomialverteilung mit der Normalverteilung machen willst, ist zu berechnen: Und das ergibt X = 3,5 Jetzt wären 4 Fälle schon gerade nicht mehr zulässig, was zeigt, dass die Normalverteilung hier keine ausreichend gute Näherung ist. Siehe meine frühere Bemerkung.
Die Aussage stimmt zwar, nur die Rechnung ist falsch. Die Rechnung ist einfach 9/1,5 = 6.
Nach entsprechender Korrektur kannst du das so vorrechnen. Meiner Meinung nach gehört aber auch eine Diskussion dazu, ob der gesamte Ansatz überhaupt korrekt ist. Siehe dazu meine frühere Anmerkung zu lokalen Häufungen von Leukämie. |
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13.05.2009, 13:04 | Suesse | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Jetzt bist du aber gewaltig vom Pfad der Tugend abgekommen. Du hast nicht P(X <= 8) berechnet sondern P(X = 8). Und gesucht war P(X >= 9) = 1 - P(X <= 8)! Es ist mit n = 15000, p = 0,0001 und q = 0,9999. Damit erhält man: P(X >= 9) = 0,000028 < 0,05 Deshalb wird H0 abgelehnt und als Folge davon H1 angenommen. Wenn ich aber mit der Binomialverteilung im Taschenrchner mein P(X<=8) eingebe,erhalte ich 0,00014 als ergebnis. wenn ich nun P(x>=9) aurechnunen will,muss ich doch 1-P(x<=8) rechen: 1-0,00014=0,99986 wie kommst du auf 0,000028? Muss ich denn unbedingt die Grenze für die Akzeptanz von Ho berechnen oder reicht es einfach,wenn ich sie verwerfe und mit dem Erwartungswert,Siugma und der Abwechung zeige,dass ho nicht stimmen kann? |
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13.05.2009, 16:57 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Du musst beim Taschenrechner aufpassen, ob du die Wahrscheinlichkeitsfunktion oder die Verteilung aufrufst. Der Taschenrechner kann üblicherweise beides und du hast die Wahrscheinlichkeitsfunktion erwischt. Für das konkrete Beispiel ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion gleich Die Verteilungsfunktion ist gleich Das ist ein gewaltiger Unterschied! Schau im Handbuch nach, wie du was aufrufst.
Nach der Grenze für die Akpzetanz von H0 wird nicht explizit gefragt. Es empfiehlt sich aber generell, die Antworten nicht zu minimalistisch zu gestalten. Der Rest der Frage irritiert mich. Ich habe den Eindruck, dass dir nicht klar ist, dass der Weg über die Binomialverteilung und der Weg über die Normalverteilung (über und ) zwei alternative Wege zum selben Ziel sind. Der erste ist exakt, der zweite eine Näherung. |
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13.05.2009, 17:25 | Suesse | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Habe einfach die Summentaste übersehen.. aber wenn ich es mit der berechne,komme ich auch auf deine Ergebnisse*freu* Also mache ich generell einen Hypothesentest mit der Binomialverteilung.ist soweit klar. Ich dachte,wenn ich den Erwartungswert und sigma ausrechne,wird das alles anschaulicher,weil man Zahlen vor Augen hat und es somit leichter zu vergleichen ist.Sollte ich das lieber nicht so machen? Bei b) und c) habe ich doch die gleiche Nullhypothese und Alternativhypothese oder? Vielen Dank für deine Hilfe!!! |
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13.05.2009, 17:50 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ja, das ist schon anschaulicher! Was spricht dagegen, beides zu machen?
Ja, nur n ist interschiedlich. Außerdem musst du die Fallzahlen hochrechnen. Die Angaben in der Aufgabe sind recht unpräzise. Die Näherung über die Normalverteilung ist hier besser geeignet. Wünsche dir viel Erfolg bei der Präsentation! |
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15.05.2009, 11:25 | Suesse | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Wie kann ich jetzt noch einmal genau die grenze für die maximale anzahl an fällen berechnen?und wieso muss ich einen rechtssetigen test machen? anhand welcher rechnung kann ich in teil b) erkennen,ob es eine signifikante abweichung vom bundesdurchschnitt ist?habe alles bisher so berechnet wie schon besprochen.E(x)=12,5 und sigma 3,54.allerdings kann ich ja diesmal die abweichung nicht einfach mit 20-12,5 berechnen,denn das risiko ist ja nicht 7,5 fach vom erwartungwert erhöht,oder doch? mal noch einen ganz andere frage zum schluss.ist es möglich solche threads auch wieder zu löschen? |
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15.05.2009, 14:36 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Wenn du über die Binomialverteilung gehst, musst du einfach ein wenig probieren. Bei k = 9 wird H0 abgelehnt, bei k =8 auch, ... Bei k = 4 wird H0 das erste mal nicht abgelehnt. Damit hast du die Grenze für die Akzeptanz/Ablehnung der Hypothese gefunden. Wenn du über die Normalverteilung gehst, geht es etwas einfacher. Excel und - nehme ich zumindest an - die meisten heutigen wissenschaftlichen Taschenrechner kennen auch die Inverse der der Normalverteilung. Dann gibst du einfach das Signifikanzniveau ein und das Gerät spuckt aus, bei welchem Wert es gerade erreicht wird. Das ist die Grenze.
Müssen musst du gar nichts. Die Art des Tests hängt davon ab, was du wissen willst. Willst du wissen, ob die Leukämierate signifikant erhöht ist, machst du einen rechtsseitigen Test. Willst du wissen, ob sie signifikant erniedrigt ist, machst du einen linksseitigen Test. Und interessiert dich nur, ob sie überhaupt signifikant vom Erfahrungswert 0,0001 abweicht, machst du einen zweiseitigen Test.
Leider ist in der Aufgabe die Fallzahl für den Landkreis nicht abgegeben. Man muss also eine Annahme treffen. Der Landkreis hat insgesamt 125000 Einwohner, davon 15000 innerhalb der 5 km Zone unnd 110000 außerhalb. Wenn man annimmt, dass außerhalb der 5 km Zone die Fallzahl dem Erfahrungswert entspricht, wären das 11 Fälle. Zusammen mit den 9 Fällen innerhalb der 5 km Zone hat man dann insgesamt 20 Fälle. Mir scheint, so bist du auch vorgegangen. Es ist also zu prüfen, ob bei n = 125000 die Fallzahl k >= 20 das Signifikanzniveau unterschreitet.
Wie kommst du auf 7,5 fach erhöht? Das ist die Differenz und kein Faktor! Du musst einfach ausrechnen, wann gilt. Und wenn ich mich nicht verrechnet habe, gilt das für x = 18,3. Demnach wäre auch für den Landkreis die Leukämierate auf dem Signifikanzniveau 5 % signifikant erhöht, die Aussage b) der Aufgabe also falsch. Da aber in der Aufgabe kein Signifikanzniveau genannt ist, wäre die Frage, welches Signifikanzniveau wurde angenommen? Bei 1 % stimmt alles.
Keine Ahnung, da müsstest du einen Moderator fragen. Aber wozu überhaupt? Schließlich erleichtert es den gestressten Helfern im Jahr 9999 die Arbeit ungemein, wenn sie einfach bei einer ähnlichen Frage per Link auf deinen Thread aus 2009 verweisen können. |
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15.05.2009, 19:03 | Suesse | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
habe noch eine formel gefunde,mit der ich auch auf 18,3 fälle komme.E(x)+1,64sigma.wie kann ich nun den verwerfungsbereich bei teil b) berechnen,wenn ich ein signifikanzniveau von 1% hab?weil P(X>=20)=1-P(X<=19)=1-0,9694=0,0306<0,05 Wie siehts eigentlich aus mit fehlern 1. und 2. art.muss ich die auch berücksichtigen? leider kann mein taschenrechner in teil c)nicht P(X<= 39) = mit der binomailverteilung berechnen.da kommt nur error.n=325.000 p=0,0001 k<=39 |
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15.05.2009, 20:17 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Da 0,0306 > 0,01 ist, würde bei einem Signifikanzniveau von 1 % H0 nicht abgelehnt werden. Die Ablehnung würde erst bei einer Fallzahl von 22 erfolgen.
Danach ist nicht gefragt. Der (maximale) Fehler 1. Art ist identisch mit dem Signifikanzniveau. l
Bei b) und c) ist die Näherung durch die Normalverteilung zulässig. |
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16.05.2009, 10:41 | Suesse | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
ich dachte ho ist p<=0,0001 und h1:p>0,0001 genauso wie in a) und b) dann kann ich ho aber doch nicht akzeptieren... welche formel der normalverteilung muss ich denn für die berechnnung von c) verwenden? |
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16.05.2009, 11:46 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
und Du musst nur prüfen, ob die Näherung akzeptabel ist und das jeweilige n, p und q einsetzen. |
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16.05.2009, 11:59 | Suesse | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
beziehe mich auf das ergebnis von teil b) a 0,0306 > 0,01 ist, würde bei einem Signifikanzniveau von 1 % H0 nicht abgelehnt werden, aber ho ist doch p<=0,0001 in teil c) hab ich für E(X)=32,5 und sigma 5,7 wie erkenne ich nun welche hypothese akzeptiert und welche verworfen wird? |
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16.05.2009, 14:32 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Irgendwie verstehe ich dein Problem nicht. Es ist doch alles in bester Ordnung! H0 ist unverändert p <= 0,0001. Damit ergibt sich P(X >= 20) = 0,0306. Wegen 0,0306 < 0,05 wird H0 auf dem Signifikanzniveau 5 % abgelehnt und wegen 0,0306 > 0,01 wird H0 auf dem Signifikanzniveau 1 % nicht abgelehnt. Würde man das Signifikanzniveau auf 0 % absenken, würde H0 nie abgelehnt.
Im Prinzip genau wie mit der Binomialverteilung. Du berechnest P(X >= 40) und vergleichst das Ergebnis mit dem gewählten Signifikanzniveau. Da die Normalverteilung eine stetige Verteilung ist, hat man P(X >= 40) = 1 - P(X <=40) und es ist , wobei N für die Normalverteilung steht. Diese Rechnung kann und sollte man noch etwas verbessern. Denn beim Übergang zur Normalverteilung bekommt auch der Bereich 39 < X < 40 eine Wahrscheinlichkeit. Bei der Binomialverteilung gibt es kein X in diesem Bereich. Es ist nun besser, dieses 'Niemandsland' hälftig aufzuteilen, statt es einseitig zu vergeben. Konkret heißt das, man berechne nicht P( X >= 40) mit der Normalverteilung, sondern P(X >= 39,5). Diese Verbesserung ist als Stetigkeitskorrektur bekannt. |
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17.05.2009, 12:04 | Suesse | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
mal noch eine ganz andere frage.wenn ich den verwerfungsbereich berechne,zeigt mir dann das ergebnis schon an,ab wann man von einem erhöhten risiko sprechen kann?also wenn besipsielsweise c=3,5 (rechte grenze) würde das bedeuten wenn mehr wie 3,5 fälle auftreten kann man von einem erhöhten risiko ausgehen,oder? wieso kann ich mit der standardisierten normalverteilung z= (X-E(x))/sigma ausrechnen,wie viel die fälle von dem ausgerechneten erwartungswert abweichen?bsp teil b) z=(20-12,5)/3,54=2,12 kann ich nun darauf schließen, dass das erkrankungsrisiko doppelt so hoch ist wie der erwartungswert?!?oder was zeigt mir das ergebnis? |
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17.05.2009, 16:16 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ja, so ist das definiert. Und nein, die Grenze hängt ja von dem Signifikanzniveau ab und das musst du vorgeben. Und was man als signifikant ansieht, ist in gewissem Umfang Ansichtssache. Es hängt auch davon ab, welche Folgen eine Fehlentscheidung hat. Letzten Endes kann die Mathematik die Beurteilung durch den Menschen nicht ersetzen. Sie kann sie nur unterstützen. Ich hoffe, ich habe dich jetzt nicht verwirrt.
Nein! Die Erhöhung ergibt sich doch direkt aus dem Mittelwert und der Fallzahl in der Stichprobe. Bei E(x) = 12,5 und einer Fallzahl von 20 ist die Rate in der Stichprobe um den Faktor 20/12,5 =1,6 erhöht. Die Verteilung (standardisiert oder nicht standardisiert) sagt dir, wie wahrscheinlich es ist, eine solche Fallzahl oder eine höhere aus zufälligen Ursachen zu finden. Und wenn diese Wahrscheinlichkeit zu klein ist (kleiner als das Signifikanzniveau), geht man davon aus, dass die Ursache der Abweichung eher nicht zufällig ist. |
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17.05.2009, 16:24 | Suesse | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
also ist es einfacher,wenn ich den faktor aus 20/12,5=1,6 nehme und sage,dass die fallzahl um das 1,6fache vom erwartungwert abweicht mein gewöhltes signifikanzniveau ist bei 5% wie kann ich dann aus dem die rechte grenze bestimmen? |
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17.05.2009, 18:01 | Suesse | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
nochmal zu teil b)es heißt ja,dass eine gewisse erhöhung festzustellen ist,aber keine signifikante abweichung vom bundesdurchschnitt vorliegt.anhand welcher ergebnisse sehe ich,dass keine signifiknate abweichung vom bundesdurchschnitt vorliegt? |
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17.05.2009, 19:07 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Das hatten wir doch schon diskutiert. Auf dem Signifikanzniveau 5 % ist diese Aussage falsch. Auf dem Signifikanzniveau 1 % wäre sie richtig. Schau noch mal in die früheren Beiträge. |
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