Beweis : Expected Shortfall ist kohärentes Risikomaß

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r4nt4npl4n Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis : Expected Shortfall ist kohärentes Risikomaß
Hi Leute,

ich sitze gerade an dem Beweis zur Kohärenz des Expected Shortfalls.
Definiert haben wir den Expected Shortfall als ,

wobei das kleinste Quantil bezeichnet.

ist als ein Portfolio zu verstehen.

Nun, nach den Axiomen für kohärente Risikomaße (nach Artzner) muss für Translationsinvarianz folgendes gelten (die anderen 3 Axiome habe ich schon bewiesen, nur bei dem hab ich irgendwie probleme):

Für alle und beschränkte Zufallsvariablen gilt



Ich schreib mal auf was ich bis jetzt habe:

Es gilt die äquivalente Charakterisierung des Expected Shortfalls:



Also folgt nun:



Weiter:



Aber irgendwie komm ich jetzt nicht weiter, könnt ihr mir helfen?

Gruß
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis : Expected Shortfall ist kohärentes Risikomaß
Zitat:
Original von r4nt4npl4n
Für alle und beschränkte Zufallsvariablen gilt


Warum Artzner et al. diese Eigenschaft unbedingt "Translationsinvarianz" nennen mussten war mir schon immer ein Rätsel.

Zur Sache: Ich bin ein wenig irritiert, denn für fixiertes haben wir



und damit was aber nicht korrekt sein dürfte.

Wo habe ich mich also vertan?


Edit: Kann es sein, dass deine Definition vom Expected Shortfall einen Vorzeichenfehler hat, also dass es nicht eher



heißen sollte?
r4nt4npl4n Auf diesen Beitrag antworten »

Hey

oh mann, jetzt sehe ich meinen Fehler: Natürlich muss gelten.

Ok neuer Versuch:















Ist das soweit ok? wie krieg ich jetzt das blöde a raus?

gruß
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von r4nt4npl4n
oh mann, jetzt sehe ich meinen Fehler: Natürlich muss gelten.


Nein, das stimmt so nicht.

Für ein kohärentes Risikomaß gilt .

Schau lieber nach der Definition des Expected Shortfalls.
r4nt4npl4n Auf diesen Beitrag antworten »

hm echt komisch. also ich hab die ganzen infos aus einem paper. und da steht drin:

Ein Risikomaß heisst

monoton:

translationsinvariant:

sowie

Ein Risikomaß heisst kohärent, wenn es monoton, translationsinvariant, positiv homogen und subadditiv ist.

Und der Expected Shortfall ist wirklich so definiert, wie ich es im 1.Post geschrieben habe.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von r4nt4npl4n
translationsinvariant:


Das ist ökonomischer Blödsinn, denn damit folgte insbesondere

.

Die Eigenschaft der Translationsinvarianz besagt doch aber grade, dass es gleichwertig ist, einen Kapitalbetrag a>0 auf einem unverzinsten (bei euch wird kein Zins berücksichtigt) Marginkonto zu hinterlegen um den Kapitalbedarf der riskanten Position X auf zu reduzieren, oder a festverzinslich zum Zinssatz r (bei euch r=0) anzulegen und den Kapitalbedarf der
Auszahlung zu berechnen. Zwangsläufig muss also



gelten.

Irgendwas ist mit deinen Aufzeichnungen wohl nicht in Ordnung.
 
 
r4nt4npl4n Auf diesen Beitrag antworten »

hey,

hm ich seh gerade nicht, was sich ändern sollte, wenn der Expected Shortfall als definiert wäre?
r4nt4npl4n Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dual Space
Zitat:
Original von r4nt4npl4n
translationsinvariant:


Das ist ökonmischer Blödsinn, denn damit folgte insbesondere

.

Die Eigenschaft der Translationsinvarianz besagt doch aber grade, dass es gleichwertig ist, einen Kapitalbetrag a>0 auf einem unverzinsten (bei euch wird kein Zins berücksichtigt) Marginkonto zu hinterlegen um den Kapitalbedarf der riskanten Position auf zu reduzieren, oder a festverzinslich zum Zinssatz r (bei euch r=0) anzulegen und den Kapitalbedarf der
Auszahlung zu berechnen. Zwangsläufig muss also



gelten.

Irgendwas ist mit deinen Aufzeichnungen wohl nicht in Ordnung.


Kann das evtl etwas damit zu tun haben, dass in meinem Paper Portfolios durch ihre Verlustfunktion repräsentiert werden, aber bei Artzner et al. ja durch Wertefunktionen?

gruß
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von r4nt4npl4n
Kann das evtl etwas damit zu tun haben, dass in meinem Paper Portfolios durch ihre Verlustfunktion repräsentiert werden, aber bei Artzner et al. ja durch Wertefunktionen?

Poste mal die zugrundeliegende Definition eines Risikomaßes. Evtl. auch die Erklärung, was die Zufallsvariable X repräsentiert.


Zitat:
Original von r4nt4npl4n
hm ich seh gerade nicht, was sich ändern sollte, wenn der Expected Shortfall als definiert wäre?


Dann folgte aus , dass

,

also das Gewünschte.
r4nt4npl4n Auf diesen Beitrag antworten »

Also grundsätzlich geht es in dem Paper um Kapitalallokation.

ist dabei ein Portfolio, welches aus Teilportfolios besteht. wird wie gesagt mit ihrer Verlustfunktion identifiziert. spezifiert also den Verust von zu einem zukünftigen Zeitpunkt im Zustand .

Es wird noch eine Kapitalallokation definiert, aber das tut hier glaub ich nichts zur Sache: heisst Kapitalallokation bezgl wenn es erfüllt, d.h. das zu allozierte Kapital ist das Risikokapital von .

Und dann sagt er halt:Ein Risikomaß heisst

monoton:

translationsinvariant:

positiv homogen:

subadditiv:

Wenn alle vier Bedingungen erfüllt sind, heisst das Risikomaß kohärent.

( ist sozusagen der Raum aller Portfolios).
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Na wie auch immer ... ich habe dir bereits gezeigt, wie man die so definierte Translationsinvarianz des gegebenen Expected Shortfalls beweist.
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