R-integrierbarkeit und Verkettung

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Duedi Auf diesen Beitrag antworten »
R-integrierbarkeit und Verkettung
Beweisen Sie oder widerlegen Sie:

(R-Integrierbar = Riemannintegrierbar, L-Integrierbar = Lebesgueintegrierbar)

  1. Es seien und zwei R-Integrierbare Funktionen. Dann ist ebenfalls R-Integrierbar
  2. Es seien und zwei stetige Funktionen. Dann ist R-Integrierbar


Meine Vermutung (rein vom Aufbau der Frage Big Laugh ) ist natürlich, dass a. zu beweisen, b. zu widerlegen ist.

zu a.:



zur b.:

Müsste ich ein Gegenbeispiel finden, mir fällt aber keine Verkettung von stetigen Funktionen ein, die nicht beschränkt oder dessen Unstetigkeitsmenge keine Nullmenge ist. (Ansatz über L-Integrierbarkeit)
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
Du hast anscheinend so einiges nicht verstanden. Bei -Integrierbarkeit kann die Funktion überall unstetig sein, bei Riemann-Integrierbarkeit ist die Menge der Unstetigkeitsstellen eine Lebesguesche Nullmenge.

Stetige Funktionen sind immer Riemann-integrierbar, da sie auf kompakten Intervallen beschränkt sind und keine Unstetigkeitsstellen besitzen. Wenn a. gelten würde, dann müsste also auch b. gelten. Es wäre also schon allein deswegen gar nicht möglich, a. zu beweisen und b. zu widerlegen. Man muss es auch genau andersrum machen, b. ist beweisbar und a. ist widerlegbar.

Du hast bei a. geschrieben, dass die Menge der Unstetigkeitsstellen von auch eine Lebesgue-Nullmenge sein muss. Warum soll dies gelten?

Finde zu a. zwei Funktionen so, dass ihre Verknüpfung überall unstetig ist, womit sie dann auch nicht Riemann-integrierbar sein kann.
 
 
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Habe jetzt meinen Denkfehler gefunden: Unser Skript schreibt:

Lebesguesches Integrationskriterium:

Eine Funktion ... ist genau dann R-Integrierbar, wenn... Unstetigkeitspunkte etc.

Dachte also immer, dass dieses "R" ein Schreibfehler von mir wäre (weil schließlich "Lebesguesches" drüber steht Big Laugh ). Gut, das hilft mir schon mal weiter smile
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann also zweiter Versuch:

zu a.: Kann ich davon ausgehen, dass die Verknüpfung stetiger Funktionen immer stetig ist? Wenn ja, dann ist natürlich R-Integrierbar.

zub.: Führt die Dirichletfunktion zum Ziel? Wenn ja, kannst du mir einen Tipp geben, wie ich die als Verkettung darstellen kann? Mit

,



komme ich nicht weiter (da g dann immer unstetig ist).
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist kein Schreibfehler. Lebesgue hat einen allgemeineren Integralbegriff definiert und dann eben diesen Satz für die Riemann-Integrierbarkeit gefunden.

Zitat:
Original von Duedi
zu a.: Kann ich davon ausgehen, dass die Verknüpfung stetiger Funktionen immer stetig ist? Wenn ja, dann ist natürlich R-Integrierbar.

Das soll wohl "zu b." heißen. Ja, davon kannst du ausgehen und das solltest du auch wissen (und beweisen können)!

Zitat:
Original von Duedi

Riemann-integrierbare Funktionen sind auf abgeschlossenen Intervallen der reellen Zahlen definiert. Das, was du da hingeschrieben hast, ist das nicht.

Für sollte tatsächlich die Dirichlet-Funktion rauskommen, d.h. wenn man z.B. wählt:

.

Bewerkstelligen kann man das durch die Funktionen mit



und

.

Die Integrierbarkeit von ist klar, die von wurde schon einige Male im Forum besprochen, wobei es dabei ausreicht, zu zeigen, dass an allen irrationalen Punkten stetig ist (was du auch im Forum findest).
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Hilfe, ab jetzt schaff ich dass alleine. Bitte entschuldige meine Unkonzentriertheit, aber ich hab seit gestern ne Erkältung und Fieber, also danke auch für deine Geduld smile
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