R-integrierbarkeit und Verkettung

Neue Frage »

11.05.2009, 16:59

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

R-integrierbarkeit und Verkettung

Beweisen Sie oder widerlegen Sie:

(R-Integrierbar = Riemannintegrierbar, L-Integrierbar = Lebesgueintegrierbar)

Es seien $\begin{eqnarray*} f:[a;b]\rightarrow[c;d] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g:[c;d]\rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ zwei R-Integrierbare Funktionen. Dann ist $\begin{eqnarray*} g\circ f \end{eqnarray*}$ ebenfalls R-Integrierbar
Es seien $\begin{eqnarray*} f:[a;b]\rightarrow[c;d] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g:[c;d]\rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ zwei stetige Funktionen. Dann ist $\begin{eqnarray*} g\circ f \end{eqnarray*}$ R-Integrierbar

Meine Vermutung (rein vom Aufbau der Frage Big Laugh

) ist natürlich, dass a. zu beweisen, b. zu widerlegen ist.

zu a.:

$\begin{eqnarray*} \text{f, g R-Integrierbar} \ \Rightarrow \ \text{f, g L-Integrierbar} \ \Rightarrow \ \text{f, g beschränkt, Menge der Unstetigkeitspunkte ist Lebesguesche Nullmenge}\ \\ \Rightarrow \ \text{g $\circ$ f ist beschränkt, Menge der Unstetigkeitspunkte ist L. Nullmenge}\ \\ \Rightarrow \ \text{g $\circ$ f ist L-Integrierbar und damit auch R-Integrierbar} \end{eqnarray*}$

zur b.:

Müsste ich ein Gegenbeispiel finden, mir fällt aber keine Verkettung von stetigen Funktionen ein, die nicht beschränkt oder dessen Unstetigkeitsmenge keine Nullmenge ist. (Ansatz über L-Integrierbarkeit)

11.05.2009, 17:37

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
Du hast anscheinend so einiges nicht verstanden. Bei $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ -Integrierbarkeit kann die Funktion überall unstetig sein, bei Riemann-Integrierbarkeit ist die Menge der Unstetigkeitsstellen eine Lebesguesche Nullmenge.

Stetige Funktionen sind immer Riemann-integrierbar, da sie auf kompakten Intervallen beschränkt sind und keine Unstetigkeitsstellen besitzen. Wenn a. gelten würde, dann müsste also auch b. gelten. Es wäre also schon allein deswegen gar nicht möglich, a. zu beweisen und b. zu widerlegen. Man muss es auch genau andersrum machen, b. ist beweisbar und a. ist widerlegbar.

Du hast bei a. geschrieben, dass die Menge der Unstetigkeitsstellen von $\begin{eqnarray*} g\circ f \end{eqnarray*}$ auch eine Lebesgue-Nullmenge sein muss. Warum soll dies gelten?

Finde zu a. zwei Funktionen so, dass ihre Verknüpfung überall unstetig ist, womit sie dann auch nicht Riemann-integrierbar sein kann.

11.05.2009, 17:41

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

Habe jetzt meinen Denkfehler gefunden: Unser Skript schreibt:

Lebesguesches Integrationskriterium:

Eine Funktion ... ist genau dann R-Integrierbar, wenn... Unstetigkeitspunkte etc.

Dachte also immer, dass dieses "R" ein Schreibfehler von mir wäre (weil schließlich "Lebesguesches" drüber steht Big Laugh

). Gut, das hilft mir schon mal weiter smile

11.05.2009, 17:51

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann also zweiter Versuch:

zu a.: Kann ich davon ausgehen, dass die Verknüpfung stetiger Funktionen immer stetig ist? Wenn ja, dann ist $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ natürlich R-Integrierbar.

zub.: Führt die Dirichletfunktion zum Ziel? Wenn ja, kannst du mir einen Tipp geben, wie ich die als Verkettung darstellen kann? Mit

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb Q \rightarrow \mathbb R\\ x\mapsto 0 \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} g : ? \end{eqnarray*}$

komme ich nicht weiter (da g dann immer unstetig ist).

11.05.2009, 18:01

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist kein Schreibfehler. Lebesgue hat einen allgemeineren Integralbegriff definiert und dann eben diesen Satz für die Riemann-Integrierbarkeit gefunden.

Zitat:

Original von Duedi
zu a.: Kann ich davon ausgehen, dass die Verknüpfung stetiger Funktionen immer stetig ist? Wenn ja, dann ist $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ natürlich R-Integrierbar.

Das soll wohl "zu b." heißen. Ja, davon kannst du ausgehen und das solltest du auch wissen (und beweisen können)!

Zitat:

Original von Duedi
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb Q \rightarrow \mathbb R\\ x\mapsto 0 \end{eqnarray*}$

Riemann-integrierbare Funktionen sind auf abgeschlossenen Intervallen der reellen Zahlen definiert. Das, was du da hingeschrieben hast, ist das nicht.

Für $\begin{eqnarray*} g\circ f \end{eqnarray*}$ sollte tatsächlich die Dirichlet-Funktion rauskommen, d.h. wenn man z.B. $\begin{eqnarray*} [a,b]=[0,1]=[c,d] \end{eqnarray*}$ wählt:

$\begin{eqnarray*} (g\circ f)(x)=\begin{cases} 1 & \text{für }x\in\mathbb Q\cap [0,1] \\ 0 & \text{für }x\in [0,1]\setminus\mathbb Q\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Bewerkstelligen kann man das durch die Funktionen $\begin{eqnarray*} f,g:[0,1]\to [0,1] \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f(x):=\begin{cases} 1 & \text{für }x=0 \\ \frac{1}{q} & \text{für }x=\frac{p}{q}\text{ mit }p,q\in\mathbb N,\operatorname{ggT}(p,q)=1 \\ 0 & x\in [0,1]\setminus\mathbb Q \end{cases} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} g(x)=\begin{cases} 0 & \text{für }x=0 \\ 1 & \text{für }x\in (0,1]\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Die Integrierbarkeit von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist klar, die von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wurde schon einige Male im Forum besprochen, wobei es dabei ausreicht, zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an allen irrationalen Punkten stetig ist (was du auch im Forum findest).

11.05.2009, 18:05

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Hilfe, ab jetzt schaff ich dass alleine. Bitte entschuldige meine Unkonzentriertheit, aber ich hab seit gestern ne Erkältung und Fieber, also danke auch für deine Geduld smile

Neue Frage »

Antworten »

R-integrierbarkeit und Verkettung

Verwandte Themen