erwartungswert (Umformung)

12.05.2009, 19:15

hxh

erwartungswert (Umformung)

Hallo ,
ich hab da ein Problem, dass ich nicht hinbekomme.

F ist eine Verteilungsfunktion und f die Dichte davon.

$\begin{eqnarray*} \int_{- \infty}^{\infty} \lambda f(\lambda) d\lambda = \int_{0}^{\infty} (1- F(\lambda)) d \lambda - \int_{- \infty}^{0} F(\lambda) d\lambda \end{eqnarray*}$

Habs zuerst mit partieller Integration versucht , aber das führt zu nix. Ich vermute irgendwie, dass man mit Summen arbeiten muss, aber wie ich das genau anpacke weiß ich nicht. Eventuell kann mir jemand auf die Sprünge helfen.

Wink

12.05.2009, 19:20

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Nutze Fubini, am besten indem du in die rechte Seite den Zusammenhang

$\begin{eqnarray*} F(\lambda) = \int\limits_{-\infty}^{\lambda} f(x) ~ \dd x = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x)\cdot 1_{\{x\leq \lambda\}} ~ \dd x \end{eqnarray*}$

einsetzt und das dann versuchst, zur linken Seite umzuformen.

12.05.2009, 20:35

hxh

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RE: erwartungswert (Umformung)
Mit was ist es denn besser zu arbeiten , der ersten Umformung oder der zweiten ? Ich hab mal die erste genommen und rumprobiert aber finde den clue nicht.

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty} (1- F(\lambda)) d \lambda - \int_{- \infty}^{0} F(\lambda) d\lambda = \int_{0}^{\infty} ( 1- \int_{-\infty}^{\lambda} f(x) dx ) d\lambda - \int_{- \infty}^{0} (\int_{-\infty}^{\lambda} f(x) dx) d\lambda = \int_{0}^{\infty} ( \int_{\lambda}^{\infty} f(x) dx ) d\lambda - \int_{- \infty}^{0} (\int_{-\infty}^{\lambda} f(x) dx) d\lambda \end{eqnarray*}$

Ich sehe nicht so ganz was es bringt mit Fubini zu die Integrale zu vertauschen ?

12.05.2009, 20:48

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Zitat:

Original von hxh
Ich sehe nicht so ganz was es bringt mit Fubini zu die Integrale zu vertauschen ?

Wenn du es nicht tust, dann kannst du auch nichts sehen. Augenzwinkern

P.S.: Wann habe ich jemals einen Tipp gegeben, der nichts bringt? unglücklich

12.05.2009, 20:52

hxh

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Wenns bis dahin stimmt bekomm ichs auch noch hin.
Habs schon probiert zu tauschen, hab aber bestimmt tomaten auf den augen verwirrt

natürlich waren bisher alle deine Tipps hilfreich und sinnvoll Gott

12.05.2009, 20:58

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Zitat:

Original von hxh
natürlich waren bisher alle deine Tipps hilfreich und sinnvoll Gott

Keine Schmeicheleien - ich wollte eher, dass du mal das Tauschen aufschreibst und das entstehende Imtegral scharf anschaust! Ich nehme jetzt nur mal den ersten Summanden:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty} \left( \int_{\lambda}^{\infty} f(x) ~ \dd x \right) d\lambda = \int_{0}^{\infty} \left( \int_0^{\infty} f(x)\cdot 1_{\{x\geq \lambda\}} ~ \dd x \right) \dd\lambda = \int_0^{\infty} \left( \int_{0}^{\infty} f(x)\cdot 1_{\{x\geq \lambda\}} ~ \dd\lambda \right) \dd x = \int_0^{\infty} \left( \int_{0}^x f(x) ~ \dd\lambda \right) \dd x \end{eqnarray*}$

Jetzt überlege doch mal, was die innere Integration über $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ergibt!

P.S.: Das Aufschreiben mit Hilfe der Indikatorfunktion soll nur das Verständnis erleichtern - hoffentlich...

12.05.2009, 21:20

hxh

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Es bleibt dann halt dass übrig $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty} f(x)*x ~dx \end{eqnarray*}$
Ich kann heute auch nicht mehr weitermachen, auch wenn das hier trivial ist , bin schon zu lang in der Uni gewesen.
Aber danke , ich glaube es ist dann nicht mehr weit bis zum Ende ?

12.05.2009, 21:25

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Das ist es schon - beim zweiten Teilintegral läuft es so ähnlich ab, nur eben auf der negativen Achse. Dass man überhaupt Fubini anwenden darf, muss für beide Teilintegrale getrennt begründet werden und folgt aus der Existenz des Erwartungswertes (die hier natürlich vorausgesetzt werden muss, sonst gilt die Gleichung nicht!).

14.05.2009, 14:28

hxh

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Noch ne Frage zu.
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty} \left( \int_{\lambda}^{\infty} f(x) ~ \dd x \right) d\lambda = \int_{0}^{\infty} \left( \int_0^{\infty} f(x)\cdot 1_{\{x\geq \lambda\}} ~ \dd x \right) \dd\lambda \end{eqnarray*}$

Diesen Schritt verstehe ich noch nicht so ganz wieso dann beides mal von 0 bis unendlich integriert wird. Kannst du mir das erklären ?

14.05.2009, 16:38

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Das ist nur der übliche schreibtechnische Kunstgriff, denn Fubini ist ja im direkten Sinne nur für "rechteckige" Integrationsgebiete (bzw. gleich der ganze $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ ) formuliert.

Mit $\begin{eqnarray*} 1_{x\geq \lambda} \end{eqnarray*}$ wird der Teilbereich $\begin{eqnarray*} \int_0^{\lambda} \cdots \dd x \end{eqnarray*}$ ausmaskiert, da dort die Indikatorfunktion gleich Null ist.

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