Determinante umformen

13.05.2009, 19:32	Max Simon	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante umformen Hallo, Ich will einen Determinantenbeweis über Induktion führen und bleib bei folgendem Problem hängen: Ich hab die Induktionsvoraussetzung für folgende Determinante: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} a & b & b &... & b \\ b & a & b & ... & b \\ b & b & a & ... & b \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ b & b & b & ... & a\end{vmatrix} = det(A), A \in K^{n \times n} \end{eqnarray}$ (also nur die Hauptdiagonale ist a, der Rest b (a,b reell)) Die Determinante für n+1 sieht dann folgendermaßen aus: $\begin{eqnarray} x\begin{vmatrix} a+b & b & b &... & b \\ b & a+b & b & ... & b \\ b & b & a+b & ... & b \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ b & b & b & ... & a+b\end{vmatrix} = x det(A') \end{eqnarray}$ , wobei mir x bekannt ist $\begin{eqnarray} (A'\in K^{n \times n}) \end{eqnarray}$ . Nun weiß ich nicht, wie ich diese Determinante det(A') auf det(A) zurückführen kann. Meine Idee war, dass $\begin{eqnarray} A' = A+bE_n \end{eqnarray*}$ , doch auch damit komme ich nicht weiter, weil es keine Formel für det(A+B) gibt. Kann mir bitte jemand helfen?
13.05.2009, 20:25	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du was mit Induktion zeigen willst, ist auch irgendwas zu zeigen. WAS ist das hier?
13.05.2009, 23:35	Max Simon	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann doch die ganze Aufgabe - ich dachte, das Hauptproblem genügt hier. Also ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray} det(A) = (a+(n-1)b)(a-b)^{n-1} \end{eqnarray}$ . A vom Typ $\begin{eqnarray} K^{n \times n} \end{eqnarray}$ ist dabei die Matrix von oben, welche nur auf der Hauptdiagonalen a stehen hat, sonst b. Sowas kann man doch am besten über Induktion zeigen. Für n=1 stimmt die Aussage. Nun hab ich die Matrix für $\begin{eqnarray} K^{n+1 \times n+1} \end{eqnarray}$ aufgestellt, mit dem Gaußverfahren der "Grad" der Determinante um 1 verringert (also n Nullen erzeugt) und dann noch gemeinsame Faktoren herausgezogen (daher das x oben) $\begin{eqnarray} x = a(a-b)^{n} \end{eqnarray}$ . Dann erhalte ich die Determinante der Matrix A' oben (vom Typ $\begin{eqnarray} K^{n \times n} \end{eqnarray}$ ). Nun will ich die Induktionsvoraussetzung anwenden und muss dazu det(A') auf det(A) umformen. Das gelingt mir aber nicht und deswegen bitte ich euch um Hilfe. Ich hoffe, es ist nun verständlich.
14.05.2009, 00:24	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Du kannst direkt die Induktionsvoraussetzung auf A' anwenden. Ist doch egal, ob da a oder a+b steht. Schreibe in der Induktionsvoraussetzung (und in der Induktionsbehauptung) doch einfach: Für alle reellen a,b gilt det(A) = [...]. Dann ist deine Matrix A' vom Typ der Matrix in der Induktionsvoraussetzung, und du kannst letztere anwenden.
14.05.2009, 21:38	Max Simon	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, das ist natürlich richtig ... trotzdem scheint bei mir was nicht zu stimmen, da ich nicht auf das gewünschte Ergebnis komme. Deswegen nun die ganze Rechnung: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} a & b & b & b& ... & b \\ b & a & b & b & ... & b \\ b & b & a & b & ... & b \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ b & b & b & b & ... & b \\ b & b & b & b & ... & a \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b & b & b& ... & b \\ 0 & a^{2} - b^{2} & ab-b^{2} & ab-b^{2} & ... & ab-b^{2} \\ 0 & ab-b^{2} & a^{2} - b^{2} & ab-b^{2} & ... & ab-b^{2} \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & ab-b^{2} & ab-b^{2} & ab-b^{2} & ... & ab-b^{2} \\ 0 & ab-b^{2} & ab-b^{2} & ab-b^{2} & ... & a^{2} - b^{2} \end{vmatrix} \in \mathbb R^{n+1 \times n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = a(a-b)^{n}\begin{vmatrix} a+b & b & b & b& ... & b \\ b & a+b & b & b & ... & b \\ b & b & a+b & b & ... & b \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ b & b & b & b & ... & b \\ b & b & b & b & ... & a+b \end{vmatrix} (\in \mathbb R^{n \times n}) \end{eqnarray}$ Nun wende ich deinen Hinweis an. $\begin{eqnarray} = a(a-b)^{n}[((a+b) + (n-1)b)((a+b)-b)^{n-1}] = a(a-b)^{n}[(a+nb)(a)^{n-1}] = a^{n}(a-b)^{n}(a+nb) \end{eqnarray}$ Dummerweise stimmt diese Aussage aber nicht mit meiner Induktionsvoraussetzung überein (also die für n+1). Es müsste nämlich herauskommen: $\begin{eqnarray} (a+nb)(a-b)^{n} \end{eqnarray*}$ Wo ist mein Fehler?
14.05.2009, 21:58	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es richtig: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} a & b & b & b& ... & b \\ b & a & b & b & ... & b \\ b & b & a & b & ... & b \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ b & b & b & b & ... & b \\ b & b & b & b & ... & a \end{vmatrix} = \frac 1 {a^n}\,\begin{vmatrix} a & b & b & b& ... & b \\ 0 & a^{2} - b^{2} & ab-b^{2} & ab-b^{2} & ... & ab-b^{2} \\ 0 & ab-b^{2} & a^{2} - b^{2} & ab-b^{2} & ... & ab-b^{2} \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & ab-b^{2} & ab-b^{2} & ab-b^{2} & ... & ab-b^{2} \\ 0 & ab-b^{2} & ab-b^{2} & ab-b^{2} & ... & a^{2} - b^{2} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$
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14.05.2009, 22:36	Max Simon	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwer zu sehen mit fehlender Erfahrung, aber du hast recht^^ Ich wollte das (-b)-fache der 1. Zeile zu allen anderen mit a mutiplizierten Zeilen addieren, doch das ist ja keine äquivalente Umformung. Man darf nur das Vielfache einer Zeile zu einer anderen Zeile addieren, aber nicht diese Zeile auch noch vervielfachen... Du multiplizierst in den Zeilen 2 bis n+1 jedes Element mit a/a und ziehst dann den Nenner n-mal heraus. Jetzt braucht man ja nur noch das (-b)-fache der 1. Zeile zu allen anderen Zeilen addieren und hat die gewünschte Form. Das 1/(a^n) kürzt sich ja am Ende raus und damit passt alles. Super! Vielen Dank.

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