Ableitung einer Potenzfunktion

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dennis82 Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung einer Potenzfunktion
Hallo,

ich hab ein Problem mit einer Übungsaufgabe bei der ich nicht den richtigen Ansatz finde.

Funktion lautet wie folgt:


Wie gesagt finde ich nicht den richtigen Ansatz um die Aufgabe lösen zu können.
Viellleicht kann mir jemand einen Tip geben...

Edit (mY+): Wir sagten schon so oft: Keine Hilfeersuchen im Titel. Entfernt.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilfe beim Ableiten einer Potenzfunktion
dennis82 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilfe beim Ableiten einer Potenzfunktion
Zitat:
Original von IfindU


Ist das wirklich das Gleiche? Und wenn ja warum?

Tut mir leid, aber auch das bringt mich leider gerade nicht weiter... Steh voll auf dem Schlauch...
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilfe beim Ableiten einer Potenzfunktion


Man kann es sich logisch erklären, dass e^(ln(a)) = a sein, aufgrund der Definitions des ln.
knups Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilfe beim Ableiten einer Potenzfunktion
das stimmt. Laut Def. gilt in Worten Basis hoch logarithmus = Numerus, wobei hier e die Basis und x der Numerus ist. Beispiel; 10 hoch 2 = 100, denn 10 = Basis, 2 = log und 100 = Numerus.
Frage zum letzten Beitrag: was gibt ln(x) * ln(x)?

Mir fehlt deine Aufanbenstellung - soll hier eine Kurvenuntersuchung gemavht werden oder ????
knups Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilfe beim Ableiten einer Potenzfunktion
vielleicht habe ich die Schreibweise falsch interpretiert.



bedeutet

 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilfe beim Ableiten einer Potenzfunktion
Ich fand die Klammer nutzlos, dachte es ist klar dass sich das Quadrat auf den kompletten ln und nur auf den ln bezieht.
knups Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilfe beim Ableiten einer Potenzfunktion
das ist schon ok - aber wer Probleme hat, da mag es hilfreich sein
Komand Auf diesen Beitrag antworten »

sagmal, da haben wir ja an der Uni "schönere" Ergebnisse. So etwas bekommt ihr tatsächlich im Unterricht gestellt?

Komand
Komand Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ich habe mich aus Interesse noch ein mal mit dieser Ableitung beschäftigt, weil ich mich gefragt habe, wie ich ohne die "e"-Umschreibung vorgehen würde. Und tatsächlich komme ich, wenn ich die Kettenregel anwende, nicht mehr auf die richtige Lösung. Seht selbst:

1. setze
2. gemäß , ergibt sich:
3. d.h. und das ist gleich zu , aber ungleich zu (-->richtige Lösung).

Irgendetwas habe ich verbockt! verwirrt

Vielen Dank für eure Hilfe!

Komand
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Der Kardinalfehler ist, für Strukturen der Form



Differentationsregeln anzuwenden, die nur für den Fall konstanter , oder im anderen Fall konstanter gültig sind.

Diese Regeln sind nicht anwendbar für den allgemeinen Fall (*) - alles Herumprobieren (wie dein 2. und 3.) damit ist nur Pfuscherei ohne jede mathematisch Begründung.


Gehe doch den empfohlenen Weg über

,

alles andere ist nur Zeitverschwendung.
Komand Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Arthur,

Zitat:
Gehe doch den empfohlenen Weg über , alles andere ist nur Zeitverschwendung.
Zeitverschwendung? -Im Gegenteil! Ich kann froh sein, dass ich aus Interesse eben nicht den empfohlenen Weg gegangen bin, sonst wäre ich nie auf diese Problematik aufmerksam geworden.

Also nun ins Detail: Bei wikipedia heisst es zur Kettenregel:

"Seien U, V offene Intervalle, und Funktionen mit . Die Funktion v sei im Punkt differenzierbar und u sei im Punkt differenzierbar. Dann ist die zusammengesetzte Funktion



im Punkt x0 differenzierbar und es gilt:

."

Da es sich in unserem Fall um eine unbestimmte Ableitung handelt, müssten also die beiden Funktionen stetig differenzierbar sein (das hast du wahrscheinlich mit "konstant" gemeint, oder?). Sind sie es denn hier etwa nicht?
Gilt obige einschränkung auch für die Produkt-/Quotientenregel oder andere bekannte Ableitungsregeln (wenn ja, für welche)?

Anderer Punkt. Wenn ich den Weg über gehe, muss ich doch auch die Kettenregel verwenden. Warum ist es denn hier zulässig?

Bitte bleib am Ball! Für mich ist das wirklich keine Zeitverschwendung, ich freue mich neues zu lernen!

Vielen Dank!

Gute Nacht, Komand
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Die Anwendung der Kettenregel ist zulässig, weil

mit und

ist.


Sag doch mal ganz konkret, auf welche Funktionen DU die Kettenregel anwenden willst! Dann wirst du nämlich sehen, dass du einem fatalen Denkfehler aufgesessen bist.
Komand Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Arthur,

Zitat:
Sag doch mal ganz konkret, auf welche Funktionen DU die Kettenregel anwenden willst!

Das habe ich doch schon:

Zitat:
1. setze

Ich kann hier keinen fatalen Denkfehler erkennen - bitte zeige ihn mir! Da ich aber aus

mit und
überhaupt nicht schlau werde, scheint tatsächlich etwas faul zu sein. Ich sehe nicht, was du anderst machst als ich (nur dass deine Potenzfunktion eben eine e-Funktion ist).

Was hast du denn genau mit "konstant" in deiner ersten Antwort gemeint? Stetig differenzierbar?

Grüße, Komand
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch gar nicht die Ableitung deiner Funktion zur Verfügung, also wie willst du dann eine Kettenregel da anwenden? unglücklich



P.S.: Vielleicht hilft nur ein Beispiel, dich aus deinem Starrsinn aufzurütteln: Du bist ja der Meinung, dass man



gemäß



ableiten kann. Das muss dann auch für die konstante Funktion mit Ableitung i gelten, ja? Setzen wir doch mal ein:



mit dann

. Finger1


Zitat:
Original von Komand
Was hast du denn genau mit "konstant" in deiner ersten Antwort gemeint? Stetig differenzierbar?

Wie kommst du denn darauf? Konstantheit bei einer Funktion heißt viel mehr, nämlich dass der Funktionswert vom Argument unabhängig ist.
domelius Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung einer Potenzfunktion
Man kann auch wie folgt vorgehen:



Dann:



oder



Beispiel:





Dann:
Komand Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Arthur,

ich bin nicht starrsinnig, ich verstehe es nur nicht. Das ist ein großer Unterschied. Schließlich behaupte ich ja nicht, dass meine Lösung stimmt (wäre ja auch zu dämlich, da mir mein Taschenrechner die richtige Lösung ausgibt), sondern suche nur meinen Denkfehler.

Dein Beispiel kann ich gut nachvollziehen. Aber dennoch verstehe ich einfach nicht, warum es mit der e-Funktion klappt und bei mir nicht traurig Deine Begründungen wollen nicht in mein Schädel:

Zitat:
Du hast doch gar nicht die Ableitung deiner Funktion zur Verfügung,
Die suche ich ja auch, also wie kann sie demnach schon vor der Rechnung zur Verfügung haben?

Nichts gegen dich, aber ich fürchte ich brauche noch einmal Erklärungen aus einem anderen Mund, um das zu begreifen!

Komand
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Du erkennst doch die Regel an, oder nicht? Also was ist dir an dem Weg nach dem aus den Potenzgesetzen begründbaren

Zitat:
Original von IfindU


Man kann es sich logisch erklären, dass e^(ln(a)) = a sein, aufgrund der Definitions des ln.

dann denn noch unklar?


Für gibt es keine solche Standardregel - du kannst gern suchen und sie mir dann zeigen.
kaguya_hime Auf diesen Beitrag antworten »

Die Kettenregel kann man auf Funktionen der Form anwenden.

Komands Funktionen sind

Wie soll man nun auf die Form mit der Kettenregel kommen?

a) u(i(x)) gibt murks
b) Ist vielleicht ? Dann greift Arthur Dents Einwand, da wir die Ableitung von x^x nicht kennen,außerdem wäre , was nicht unsere Funktion ist.

Man kann Komands Idee zumindest teilweise retten indem man in die mehrdimensionale Analysis ausweicht:


ist unsere gesuchte Funktion.


Die Ableitung von ist dann


Nicht besonders tiefsinnig, aber immerhin geht hier tatsächlich die Ableitung einer Potenzfunktion ein.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@kaguya_hime

Ich versuche es ein letztes Mal (ohne mehrdimensionale Analysis, wir sind hier ja noch in der Schulmathematik), dann kannst du gern vollständig übernehmen. Augenzwinkern



@Komand

Was du machst, ist in der Standardregel



einfach die Konstante willkürlich durch eine beliebige Funktion zu ersetzen. Als Alibi willst du dann noch dranmultiplizieren, was die generelle Falschheit dieses durch nicht begründeten Vorgehens dann aber auch nicht korrigieren kann.

Zitat:
Original von Komand
Schließlich behaupte ich ja nicht, dass meine Lösung stimmt (wäre ja auch zu dämlich, da mir mein Taschenrechner die richtige Lösung ausgibt), sondern suche nur meinen Denkfehler.

Also: Du hast keine Begründung für dieses Vorgehen, und ich habe dir am Beispiel aufgezeigt, dass was falsches rauskommt - was verlangst du denn noch? Es liegt nicht an der Kettenregel, sonderen an deren falscher Anwendung durch dich.
Komand Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung einer Potenzfunktion
Hi,

jetzt kommt doch noch richtig Leben in die Bude!

@domelius

Zitat:

Das ist super! Das rettet mir den Abend smile , denn jetzt kann ich ganz ohne e-Umschreibung, für mich intuitiv, und setzen und komme zum richtigen Ergebnis (das werde ich mir aufschreiben, hilft es doch immer für Konstrukte der Art .

@arthur

Zitat:
Du erkennst doch die Regel an, oder nicht? Also was ist dir an dem Weg nach dem aus den Potenzgesetzen begründbaren Zitat: Original von IfindU Man kann es sich logisch erklären, dass e^(ln(a)) = a sein, aufgrund der Definitions des ln. dann denn noch unklar? Für gibt es keine solche Standardregel - du kannst gern suchen und sie mir dann zeigen.

Du hast Recht, der Weg über die e-Funktion ist einfach und klar. Und ich verstehe ihn auch. Mein Problem liegt wohl tatsächlich in dem falschen Verständnis der Kettenregel. Das hat kaguya hier sehr gut analyisiert:

Zitat:
Komands Funktionen sind Wie soll man nun auf die Form mit der Kettenregel kommen?


Zitat:
Man kann Komands Idee zumindest teilweise retten indem man in die mehrdimensionale Analysis ausweicht:

Das ist wirklich herzlich gemeint, aber übersteigt mein Können/Wissen einfach zu weit. Ich glaube, ich lasse es jetzt mal "absitzen" und falls ich morgen immer noch Fragen haben sollte, melde ich mich einfach wieder.

Vielen Dank euch drei!!

Komand
domelius Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung einer Potenzfunktion
Also nach der obigen Formel geht es ganz einfach:



Komand Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Arthur,

habe deine zwischenzeitlich Antwort gerade nicht gesehen.

Zitat:
Was du machst, ist in der Standardregel einfach die Konstante willkürlich durch eine beliebige Funktion zu ersetzen. Als Alibi willst du dann noch dranmultiplizieren, was die generelle Falschheit dieses durch nicht begründeten Vorgehens dann aber auch nicht korrigieren kann.

Ja exakt, da liegt der Hase im Pfeffer! Das muss ich mir unbedingt austreiben. Hammer

Um der Angelegenheit noch eine andere Dimension abzugewinnen: Führt denn die e-Umschreibung bei den Konstrukten "immer" zum Ziel? (muss dann auch auf meine Zusammenfassung!)

Ihr seht schon, ich bin in Mathe eher ein Handwerker, dafür aber ein motivierter Augenzwinkern .

Komand
Komand Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also nach der obigen Formel geht es ganz einfach:

Ja, das macht mich ja so happy!

Komand
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ixh freue mich, dass es letztendlich keine vollkommene Zeitverschwendung war, da die Argumente in zigfacher Wiederholung dann doch noch durchgedrungen sind. Allerdings stand inhaltlich alles wesentliche schon in meinem ersten Threadbeitrag da. Wenn die Leute doch nur lesen würden... Augenzwinkern
Komand Auf diesen Beitrag antworten »

ja, jetzt wo ich es endlich gecheckt habe, gewinnt die Aussage
Zitat:
Differentationsregeln anzuwenden, die nur für den Fall konstanter , oder im anderen Fall konstanter gültig sind.
eine wirkliche Bedeutung! Vorher habe ich nicht verstanden (so peinlich das klingt), was du genau mit "konstant" meinst (ich dachte fälschlicherweise an die stetigen Ableitungen). Andererseits habe ich dich das auch zwei Mal konkret gefragt, ohne dass du mir geantwortet hättest!

komand

EDIT: habe grad gesehen, dass du in einem "edit" doch drauf eingegangen bist, habe ich aber leider überlesen - hätte mir vielleicht einiges erspart!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt Sachen, da würde ich im Traum nicht drauf kommen: Dass jemand Differenzierbarkeit mit Konstantheit verwechselt. unglücklich

Immerhin ist das diesbezügliche EDIT von mir uralt (22:03), und hat vor jedem der nächsten Beiträge stattgefunden, war also KEIN nachtträgliches EDIT und hätte von dir gelesen werden müssen. Dummerweise war es auf der letzten Seite, und für dich galt wohl: Kein Blick zurück - schade.
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