Beweis AD Dreiecksmatrix mit A e SL(2;R) und D e SO(2;R) |
15.05.2009, 13:33 | peter_k | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Beweis AD Dreiecksmatrix mit A e SL(2;R) und D e SO(2;R) so gibt, dass eine obere Dreiecksmatrix ist. Ist eindeutig bestimmt? -------------------- Meine erste Frage: Was genau heißt das Das heißt doch nur, dass D eine orthogonale 2x2-Matrix ist, oder? |
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17.05.2009, 01:18 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Beweis AD Dreiecksmatrix mit A e SL(2;R) und D e SO(2;R) Hi peter, bedeutet einfach nur, dass eine -Matrix mit reellen Einträgen und der Determinante ist. Gruß, Reksilat. |
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17.05.2009, 11:53 | peter_k | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok, danke. Also weiß ich ja folgendes: mit und sowie mit und und aus der Aufgabenstellung folgt für das Produkt: Und z.z. gilt: Hier gilt dann: ------------------------------- Ist das soweit alles richtig? Wie zeige ich das aber nun? Bringen mir die Determinanten etwas? |
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17.05.2009, 12:41 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also was Du hier ja eigentlich machen musst, ist diese Matrix zu finden. Jetzt könnte man ein wenig probieren, und würde vielleicht sogar eine passende Belegung der finden, aber so löst man solche Aufgaben ja nicht. Wenn man das Problem nämlich rein geometrisch betrachtet, kann man die Lösung in einer Zeile angeben. Dazu muss man sich nur zuerst klarmachen, was die Matrix geometrisch darstellt. Gruß, Reksilat. Anmerkung: Die Matrix soll eine Dreiecksmatrix sein, nicht . |
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17.05.2009, 13:09 | peter_k | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Geometrisch...hm, also D und A spannen ja jeweils eine Ebene auf und stehen senkrecht aufeinander. Also durch rechnen bin ich nun wie folgt auf D gekommen: Das müsste doch richtig sein...Denn DA ist dann obere Dreiecksmatrix. Aber wie ich das geometrisch erkennen soll weiß ich nich wirklich... |
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17.05.2009, 13:31 | peter_k | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ach nee....quatsch, die Spaltenvektoren von D stehen ja senkrecht aufeinander...hm, kacke. |
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17.05.2009, 13:44 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wieso spannen Matrizen eine Ebene auf? Nein, was ich meinte, war, was für eine Abbildung ist - schließlich ist es ja keine stinknormale lineare Abbildung, sondern sie hat gewisse Eigenschaften. Es ist übrigens kein Zufall, dass genau mit diesem Buchstaben bezeichnet wurde - oft hilft auch ein Blick auf Wikipedia. Gruß, Reksilat. |
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17.05.2009, 14:52 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
A bildet den ersten Einheitsvektor auf einen Vektor v (ungleich Null) ab. Bilde diesen Vektor nun mit einer Orthogonalmatrix D ab auf |
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17.05.2009, 15:32 | peter_k | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok, also D ist offensichtlich laut Wiki eine Drehmatrix... @ Webfritzi: Soweit so gut, aber was ist nun zu tun? Etwa sowas?: Aber da komm ich auch nicht weiter |
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17.05.2009, 16:01 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Richtig, eine Drehmatrix. Einen Ansatz hattest Du ja weiter oben schon: Jetzt müssen noch und passend gewählt werden und die Matrix mit einem geeigneten Skalar multipliziert werden, damit auch wirklich eine Drehmatrix ist. Zusätzlich kannst Du Dir auch mal anschauen, was wir hier geometrisch machen: Wenn die erste Spalte von die Form hat, dann heißt das ja nur, dass der Einheitsvektor auf ein -faches von sich selbst abgebildet werden muss. Wird von auf den Vektor abgebildet, so müssen wir mittels der Rotationsmatrix nur noch wieder auf die Richtung von drehen, wir erhalten den Vektor Gruß, Reksilat. |
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17.05.2009, 17:02 | peter_k | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hm....aber wan wann ist D denn eine Rotationsmatrix? Bei Wiki stehn da ja cos und sin drin. Sorry, aber steh da irgendwie grad aufm Schlauch... |
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17.05.2009, 23:34 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Der Vektor v schließe mit der positiven x-Achse den Winkel ein. Um welchen Winkel musst du den Vektor v drehen, um wieder ein Vielfaches von zu erhalten? Hierbei beantwortet sich auch die Frage nach der Eindeutigkeit von D. |
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18.05.2009, 12:08 | peter_k | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hm... da v ja nur ein Vielfaches von e1 ist, wieder um alpha? Kann das sein? |
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18.05.2009, 12:35 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein. Vor allem ist v im allgemeinen kein Vielfaches von e_1. Wie kommst du nur darauf... |
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18.05.2009, 13:24 | peter_k | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sorry, ja hab mich verlesen. Aber wie komme ich denn auf diesen Winkel? Ich verstehe es einfach nicht, sorry...und hat denn D nun die Form ? : Falls ja, wie bitte komme ich auf die Werte d? Stehen da sinus und cosinus - Werte? |
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18.05.2009, 13:34 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Natürlich. D soll ja eine Drehmatrix sein. Du hast im übrigen immernoch nicht meine letzte Frage beantwortet. So kommst du sicher nicht schneller voran. __________________________________ EDIT: Man kann die Aufgabe auch viel allgemeiner lösen. Behauptung: "Zu jeder nxn-Matrix A gibt es eine orthogonale Matrix D, so dass der erste Spaltenvektor von DA ein Vielfaches des ersten Einheitsvektors ist." Ist der erste Spaltenvektor von A der Nullvektor, so wähle man für D die Eingeitsmatrix. Sei das mal nicht so. Dann wähle man als ersten Zeilenvektor von D den Vektor wobei der erste Spaltenvektor von A sei. Für die restlichen n-1 Zeilenvektoren von D wähle man irgendeine Orthonormalbasis von Fertig. Wie man sieht, spielt es auch keine Rolle, welchen Wert det(A) hat. |
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18.05.2009, 13:49 | peter_k | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok, also ich veruchs nochmal...ich stelle mir das so vor. liegt auf der x-Achse, da keiner widersprochen hat ergibt sich v mit: Dieses v schließt nun mit der pos. x-Achse den Winkel alpha ein, ok...auch wenn ich den Verdacht habe, dass ich wieder falsch liege, denke ich mir dass es doch sein müsste. Ist das nun richtig? |
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18.05.2009, 13:54 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Oder einfach ja. Man dreht den Vektor also einfach wieder zurück. Eine weitere Möglichkeit wäre Wie du den Winkel erhältst, kannst du z.B. unter http://www.rither.de/a/mathematik/linear...tor-und-vektor/ nachlesen. Schau dir übrigens auch mal mein obiges EDIT an. |
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18.05.2009, 14:15 | peter_k | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok, danke dir! Aber für meine Aufgabe ist das ja allgemein gehalten...sorry, dass ich das alles nur so langsam verstehe. Ergibt sich nun D so? |
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18.05.2009, 14:32 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein.
Hä? Setze einfach n = 2 und fertig. |
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18.05.2009, 15:01 | peter_k | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Aber wenn D diese Gestalt hat, dann ist DA ja keine obere Dreiecksmatrix!? |
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18.05.2009, 15:54 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Warum behauptest du nur andauernd falsche Sachen? Machen wir doch einfach mal ein Beispiel. Was sind jetzt v und alpha? |
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18.05.2009, 20:49 | peter_k | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Beweis AD Dreiecksmatrix mit A e SL(2;R) und D e SO(2;R)
Daraus habe ich geschlossen, dass das für alle A={a_ij aus R} gelten muss...dem scheint nun aber doch nicht so zu sein. Also ich glaub dann hab ichs...danke! |
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19.05.2009, 02:07 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Beweis AD Dreiecksmatrix mit A e SL(2;R) und D e SO(2;R)
Man versteht dich nicht.
Wenn du's hast, dann schreib bitte deine Lösung für andere hier rein. |
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