DGL und Euler (1)

Neue Frage »

16.05.2009, 02:11

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

DGL und Euler (1)

Das ist gegeben.

[attach]10551[/attach]

Die exakte Lösung müßte doch nach scharfem Hinsehen Prost

lauten

$\begin{eqnarray*} y(x)=\exp(-10x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(0)=1 \end{eqnarray*}$

Da f(y) = -10y Lipschitzstetig ist, ist die Lösung nach dem Satz von Picard-Lindelöf auch eindeutig. Euler-Verfahren ist doch nun dieser Polygonzug? Dabei bildet man Wertepaare im IR x IR. Die $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ haben den Abstand h und man berechnet die $\begin{eqnarray*} y_i \end{eqnarray*}$ nach einer Rekursionsformel:

$\begin{eqnarray*} \eta_{0} = y(0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \eta_{i+1} = \eta_i + h \cdot f(x_i,\eta_i) \end{eqnarray*}$

hier dann

$\begin{eqnarray*} \eta_{0} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \eta_{1} = 1 + h \cdot (-10 \cdot \exp(0)) = 1 + h \cdot (-10) \end{eqnarray*}$

Soweit richtig?

16.05.2009, 14:29

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: DGL und Euler (1)
Die exakte Lösung ist doch sogar streng monoton fallend.... Aber hier müsste die Forderung dann doch lauten, dass auch die y-Werte der Punkte im Polygonzug immer kleiner werden. Dann muss gelten:

$\begin{eqnarray*} \eta_{k+1} := \eta_k + h \cdot f(x_k,\eta_k) \stackrel{!}< \eta _k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h \cdot f(x_k,\eta_k) \stackrel{!}< 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x_k,\eta_k) \stackrel{!}< 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -10\cdot \exp(-10x_k) \stackrel{!}< 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \exp(-10x_k) \stackrel{!}> 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \exp\left(-10 (0 + k \cdot h)\right) \stackrel{!}> 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \exp\left(-10 k \cdot h\right) \stackrel{!}> 0 \end{eqnarray*}$

Das gilt nun aber doch für alle h.... Ist das nun die Antwort oder habe ich falsch angesetzt, falsch umgeformt?

16.05.2009, 14:44

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: DGL und Euler (1)
Berechne einfach mal mit h = 1 $\begin{eqnarray*} \eta_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \eta_2 \end{eqnarray*}$

Dann wird dir schon etwas auffallen!

Edit: Ist Quatsch! Rechenfehler!

16.05.2009, 14:50

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: DGL und Euler (1)
Grüß dich, Huggy. Wink

Hab ich berechnet. Mir ist eben aufgefallen, dass es keine Probleme gibt... verwirrt

16.05.2009, 21:00

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist
$\begin{eqnarray*} \eta_{k+1}=\eta_k+h\cdot f(x_k,\eta_k)=\eta_k+h(-10\eta_k)=\eta_k(1-10h) \end{eqnarray*}$
Und nun soll
$\begin{eqnarray*} \eta_{k+1}<\eta_k \end{eqnarray*}$ sein, also falls $\begin{eqnarray*} \eta_k>0 \end{eqnarray*}$ muss
$\begin{eqnarray*} h>\frac{1}{10} \end{eqnarray*}$ sein.

17.05.2009, 12:46

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Im Traum ist mir dies auch erschienen. Big Laugh

Wenn man sich das Richtungsfeld anschaut, muss man unterscheiden, ob $\begin{eqnarray*} \eta_k \end{eqnarray*}$ >0 oder <0 gilt. Da der Startwert positiv ist, ergibt sich der Rest.

Kannst du mir bei der zweiten Aufgabe noch helfen. Beseitigt Heun dieses Problem?

Danke und schönen Sonntag,
tigerbine Wink

17.05.2009, 16:09

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tigerbine

Da der Startwert positiv ist, ergibt sich der Rest.

Ja? Wer sagt dass es nicht möglich wäre, dass die numerische Lösung nicht doch mal negativ wird? [zb hat man eine komische Schrittweite genommen...]

Für Heun habe ich, unter der Voraussetzung dass ich mich nicht verrechnet habe:
$\begin{eqnarray*} y_{k+1}=y_k(1-10h+50h^2) \end{eqnarray*}$ .
Falls $\begin{eqnarray*} y_k>0 \end{eqnarray*}$ ist die Bedingung $\begin{eqnarray*} 1-10h+50h^2\leq0 \end{eqnarray*}$ für kein $\begin{eqnarray*} h>0 \end{eqnarray*}$ erfüllt, also müsste es immer gut gehen.

17.05.2009, 23:37

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ja? Wer sagt dass es nicht möglich wäre, dass die numerische Lösung nicht doch mal negativ wird? [zb hat man eine komische Schrittweite genommen...]

Wie meinst du das? verwirrt

Ich meinte, das Richtungsfeld zeigt einem, wenn man eine monoton fallende Folge mit Euler konstruieren will, dass man h so wählen muss, dass die $\begin{eqnarray*} y_k \end{eqnarray*}$ positiv bleiben (Dann ist die Richtung immer fallend). Sonst, man nehme h=1, bekommt man fallend * steigend * ???

Zu deiner Rechnung und meinem Traum nochmal zurück. Also nur aus der Aufstellung von $\begin{eqnarray*} y_{k+1} < y_k \end{eqnarray*}$ komme ich nicht auf das Intervall... Ziel ist es, egal, was ich für $\begin{eqnarray*} y_k \end{eqnarray*}$ einsetze, der Folgewert $\begin{eqnarray*} y_{k+1} \end{eqnarray*}$ muss kleiner werden.

$\begin{eqnarray*} y_{k+1} = y_k + h\cdot (-10y_k) = y_k - 10y_kh = y_k(1-10h) \end{eqnarray*}$

Fall 1: $\begin{eqnarray*} y_k >0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_k(1-10h) < y_k \Leftrightarrow 1-10h < 1\Leftrightarrow -10h < 0 \Leftrightarrow h > 0 \end{eqnarray*}$
Falls 2: $\begin{eqnarray*} y_k <0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_k(1-10h) < y_k \Leftrightarrow 1-10h > 1 \Leftrightarrow -10h > 0 \Leftrightarrow h < 0 \end{eqnarray*}$

Da es nun in Fall 2 kein h gibt, so dass wir weiter absteigen, muss dieser Fall verhindert werden. Wir starten in der Aufgabe ja positiv. Aber wie weit dürfen wir in einem Schritt maximal absteigen? Daher die Zusatzforderung 1a:

$\begin{eqnarray*} y_{k+1} >0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0< \underbrace{y_k}_{>0}(1-10h) \Leftrightarrow 1-10h > 0 \Leftrightarrow h < \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$

Zu Heun. Super, auf dem Schmierzettel, den ich heute in der Tasche mit mir rumgetragen habe, komme ich da auch drauf. Dann versuche ich das mal in Form zu bringen.

edit2:

Bei Heun ist sichergestellt, dass wegen y0=1>0 die Folge der Iterierten positiv bleibt. Will man auch die Monotonie, so komme ich auf das Intervall (0,0.2) [Wo ist deine quadr. Funktion < 1] Also nicht beliebig groß, aber doppelt so groß wie bei Euler.

Wink

19.05.2009, 15:34

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Das meinte ich eben, wenn man die Schrittgrösse zu gross nimmt, dann kann es durchaus negativ werden, aber das hast du ja mit deiner Zusatzforderung eliminiert.

19.05.2009, 20:38

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Die beiden Einschränkungen für h passen auch. Danke für deine Hilfe. Wir sind hier durch. Freude

Neue Frage »

Antworten »

DGL und Euler (1)

Verwandte Themen