Darstellungsmatrix

16.05.2009, 10:17

Felix

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Darstellungsmatrix

Sei $\begin{eqnarray*} f: V \to W \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung, und sei B eine Basis von V. Zeigen sie: Dann gibt es eine Basis B' von W, so dass bei geeigneter Nummerierung von B die Darstellungsmatrix folgende Gestalt hat:

$\begin{eqnarray*} M(f)_{B'}^B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & . & & & 0 \\ 0 & & 1 & & 0 \\ . & & & 0 & . \\ 0 & 0 & 0 & ... & . \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich nehme aus B eine die maximale Anzahl an Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1, v_2, ..., v_m \end{eqnarray*}$ , deren Bilder $\begin{eqnarray*} w_1,w_2, ...; w_m \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind. Die Menge $\begin{eqnarray*} \{ w_1,w_2, ...; w_m \} \end{eqnarray*}$ erweitere ich nun zu einer Basis B' von W. Die ersten m Spalten der Darstellungsmatrix besitzen jetzt das gewünschte Aussehen.

Warum aber sollte der Rest der Basisvektoren auf Null abgebildet werden verwirrt

verwirrt

16.05.2009, 11:00

tigerbine

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RE: Darstellungsmatrix
Das Geheimnis liegt darin, dass wir zwischen 2 verschiedenen VR abbilden. Die Matrix drückt nun aus, Wie die Bilder der Basisvektoren von V bzgl. der Basis von W aussehen.

Nachzulesen als Lemma aus der Transformationsformel zum Beispiel im Fischer.

Ersten Teil hast du doch schon richtig gemacht. Das Buch fast sich Allgemeiner, man dar fauch B frei wählen. Aber egal, was nun gegeben ist. Es bleibt doch "w ist im Kern" oder "w ist nicht im Kern" enthalten. Kommst du nun drauf.

16.05.2009, 11:25

Felix

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Sei $\begin{eqnarray*} f(v_{m+1}) = w_1 + w_2 \end{eqnarray*}$ . Ich kann keinen Grund finden, warum das nicht gelten könnte. Gilt es aber, dann sind in der m+1 Spalte zwei 1nsen und nicht nur Nullen.

lg

16.05.2009, 11:44

Cordovan

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Was passiert denn mit den Vektoren, die im Kern von f liegen?

Cordovan

16.05.2009, 11:45

Felix

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Sie werden auf Null abgebildet. Aber warum sollten die Basis Vektoren $\begin{eqnarray*} v_{m+1}, ..., v_n \end{eqnarray*}$ im Kern(f) liegen ?

16.05.2009, 11:47

tigerbine

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Du darfst doch nummerieren wie du magst.

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16.05.2009, 11:52

Felix

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Das ändert ja nichts. Was ich meine ist, dass selbst wenn $\begin{eqnarray*} dim(Bild(f)) < dim( V) \end{eqnarray*}$ es möglich ist, dass kein einziger Vektor aus B in Kern von f liegt.

16.05.2009, 12:14

Cordovan

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Das ist nicht möglich; Stichwort Rangsatz.

Cordovan

16.05.2009, 12:19

Felix

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Hammer

Danke

Freude

17.05.2009, 01:02

WebFritzi

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Ich meine, Felix hat recht. Gebt mir mal bitte eine Basis B', so dass die Abbildung

f: IR² --> IR² mit f(x,y) = (x+y,0)

mit Standardbasis als B wie gewünscht dargestellt werden kann. Man muss auch die Basis B beliebig wählen können - nicht nur B'.

17.05.2009, 03:26

Felix

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Und nun darf ich zum zweiten mal den Hammer benutzen Big Laugh

Big Laugh

:

Hammer

17.05.2009, 12:51

tigerbine

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RE: Darstellungsmatrix

Zitat:

Original von tigerbine
Nachzulesen als Lemma aus der Transformationsformel zum Beispiel im Fischer.

Ersten Teil hast du doch schon richtig gemacht. Das Buch fast sich Allgemeiner, man dar fauch B frei wählen.

Mit WebFritzis Beispiel sollte dann gezeigt sein, dass eine Einschränkung nicht möglich ist?

17.05.2009, 13:38

Felix

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RE: Darstellungsmatrix

Zitat:

Original von tigerbine

Zitat:

Original von tigerbine
Nachzulesen als Lemma aus der Transformationsformel zum Beispiel im Fischer.

Ersten Teil hast du doch schon richtig gemacht. Das Buch fast sich Allgemeiner, man dar fauch B frei wählen.

Mit WebFritzis Beispiel sollte dann gezeigt sein, dass eine Einschränkung nicht möglich ist?

Wenn man frei wählt, dann findet man bestimmt eine Basis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ mit der eine Darstellungsmatrix der besprochenen Form möglich ist. Man nimmt einfach eine Basis von $\begin{eqnarray*} Kern(f) \end{eqnarray*}$ ergänzt diese zu einer Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und zwar so, dass die Bilder dieser ergänzend Vektoren linear unabhängig sind. Das ist auch möglich, da

$\begin{eqnarray*} dim(Bild(f)) = dim(V) - dim(Kern(f)) \end{eqnarray*}$

Wenn man die Basis nun noch entsprechend anordnet, dann hat man eine Darstellungsmatrix der gewünschten Form.

Offfensichtlich wieder mal ein grober Fehler in meinem Buch. Es wird nämlich sogar zweimal erwähnt, dass es in anfangs geschilderter Weise möglich sei. Es kann sich also auch nicht um einen Schreibfehler handeln.

Vielen Dank an alle und besonderen Dank an WebFritzi Freude

Freude

17.05.2009, 14:28

WebFritzi

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Da das nicht der erste grobe Fehler in deinem Buch ist: schmeiß es weg - ganz ehrlich. Darf man fragen, was für ein Buch das ist?

17.05.2009, 14:45

Felix

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Lineare Algebra von Beutelspacher. Das einzig positive an diesen Fehlern ist, dass ich mich dann intensiver mit dieser Thematik beschäftige Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.05.2009, 14:57

WebFritzi

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Zitat:

Original von Felix
Lineare Algebra von Beutelspacher.

Mein Eindruck aus seinen Fernsehauftritten hat mich also nicht getäuscht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.05.2009, 15:22

Felix

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Ich verstehe nur nicht, wie in der "6. durchgesehenen und ergänzten Ausgabe" noch immer solche Fehler sein können. Vorallem mit der Häufigkeit.

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